∵一次函数$y = kx + b$的图象过点$A(1,m)$，$B(4,n)$，且$1 ＜ 4$时，$m ＞ n$，
∴$y$随$x$的增大而减小，
∴$k ＜ 0$。
A

解：
∵直线$y = kx + b$经过第一、第二、第四象限，
∴$k ＜ 0$，$b ＞ 0$。
对于函数$y = bx - k$，
∵$b ＞ 0$，$-k ＞ 0$，
∴函数$y = bx - k$的图象经过第一、第二、第三象限。
故答案为B。

解：
∵一次函数$y = mx + n$的图象经过点$P(-2,3)$，且由图象可知$y$随$x$的增大而减小，
∴不等式$mx + n＞3$的解集为$x＜-2$。
D

解：由题意得，直线$y = mx - 3m + 2$可变形为$y - 2 = m(x - 3)$，所以该直线恒过点$A(3,2)$。
已知$O(0,0)$，$B(4,0)$，则$OB$在$x$轴上，$OB = 4$，$\triangle OAB$的高为点$A$的纵坐标$2$，所以$\triangle OAB$的面积为$\frac{1}{2}×4×2 = 4$，要使直线将其分成面积相等的两部分，则每部分面积为$2$。
设直线与$OB$交于点$C(t,0)$（$0 ＜ t ＜ 4$），则$\triangle AOC$的面积为$\frac{1}{2}×t×2 = t$，由$t = 2$，得$t = 2$，即点$C(2,0)$。
将$C(2,0)$代入直线方程$y = mx - 3m + 2$，得$0 = 2m - 3m + 2$，解得$m = 2$。
答案：B

联立$y_1 = 2x + 2$与$y_2 = -3x + 7$，得$2x + 2=-3x + 7$，解得$x=1$。
当$x ＜ 1$时，$y_1 ＜ y_2$，$y=2x + 2$，此时$y ＜ 4$；
当$x \geq 1$时，$y_2 \leq y_1$，$y=-3x + 7$，此时$y \leq 4$。
综上，$y$的最大值为$4$。
C

联立两直线方程：$\begin{cases}y = -2x + m \\ y = 2x - 1\end{cases}$
解得：$x = \frac{m + 1}{4}$，$y = \frac{m - 1}{2}$
因为交点在第四象限，所以$\begin{cases}\frac{m + 1}{4} ＞ 0 \\ \frac{m - 1}{2} ＜ 0\end{cases}$
解不等式$\frac{m + 1}{4} ＞ 0$，得$m + 1 ＞ 0$，$m ＞ -1$
解不等式$\frac{m - 1}{2} ＜ 0$，得$m - 1 ＜ 0$，$m ＜ 1$
综上，$-1 ＜ m ＜ 1$
C

解：对于直线$y = -\sqrt{3}x + 2\sqrt{3}$，
令$y = 0$，得$-\sqrt{3}x + 2\sqrt{3}=0$，解得$x = 2$，则$A(2,0)$；
令$x = 0$，得$y = 2\sqrt{3}$，则$B(0,2\sqrt{3})$。
设$C(t,0)(t ＞ 2)$，因$D$为$BC$中点，$B(0,2\sqrt{3})$，$C(t,0)$，故$D(\frac{t}{2},\sqrt{3})$。
$AD$的距离为$\sqrt{(\frac{t}{2}-2)^2 + (\sqrt{3}-0)^2} = \sqrt{(\frac{t}{2}-2)^2 + 3}$。
当$\frac{t}{2}-2 = 0$，即$t = 4$时，$AD$取最小值$\sqrt{0 + 3} = \sqrt{3}$。
答案：B

将函数$y = -2x + 1$的图象向下平移$3$个单位长度，根据函数图象平移规律“上加下减”，所得函数解析式为$y=-2x + 1-3=-2x-2$。
因为所得函数图象过点$(a,3)$，所以将$x = a$，$y = 3$代入$y=-2x-2$，可得$3=-2a-2$。
解方程$3=-2a-2$，移项得$2a=-2 - 3$，即$2a=-5$，解得$a=-\frac{5}{2}$。
$-\frac{5}{2}$

由不等式 $kx + b ＞ 2$ 的解集是 $x ＞ 4$，可得 $k ＞ 0$ 且 $\frac{2 - b}{k} = 4$，即 $b = 2 - 4k$，直线方程为 $y = kx + 2 - 4k$。
分别将各点代入：
点 $A(5,1)$：$1 = 5k + 2 - 4k$，解得 $k = -1$（与 $k ＞ 0$ 矛盾，舍去）；
点 $B(5,3)$：$3 = 5k + 2 - 4k$，解得 $k = 1$（符合 $k ＞ 0$）；
点 $C(3,3)$：$3 = 3k + 2 - 4k$，解得 $k = -1$（与 $k ＞ 0$ 矛盾，舍去）；
点 $D(3,4)$：$4 = 3k + 2 - 4k$，解得 $k = -2$（与 $k ＞ 0$ 矛盾，舍去）。
故这个点是 $B$。
B

解：因为一次函数$y = kx + b(k \neq 0)$的图象经过点$(2,0)$，所以$2k + b = 0$，即$b=-2k$。
当$x = 0$时，$y = b$，所以函数与$y$轴交点为$(0,b)$。
已知与两条坐标轴围成的三角形面积为$1$，则$\frac{1}{2}×|2|×|b| = 1$，即$|b| = 1$，所以$b = 1$或$b=-1$。
当$b = 1$时，$1=-2k$，解得$k=-\frac{1}{2}$，函数解析式为$y=-\frac{1}{2}x + 1$；
当$b=-1$时，$-1=-2k$，解得$k=\frac{1}{2}$，函数解析式为$y=\frac{1}{2}x - 1$。
综上，这个一次函数的解析式为$y=\frac{1}{2}x - 1$或$y=-\frac{1}{2}x + 1$。