12. 如图，一次函数 $ y = ax + b $ 和 $ y = kx $ 的图象交于点 $ P(-4,-2) $，则关于 $ x $ 的不等式组 $ ax + b \leq kx ＜ 1 $ 的解集为
$-4\leq x\lt2$
.答案：12.$-4\leq x\lt2$
解析：
解：因为一次函数$y = ax + b$和$y = kx$的图象交于点$P(-4,-2)$，所以当$x=-4$时，$ax + b = kx$。
观察图象可知，当$x\geq -4$时，$ax + b \leq kx$。
对于$kx ＜ 1$，因为点$P(-4,-2)$在$y = kx$上，所以$-2 = k×(-4)$，解得$k=\frac{1}{2}$，则$y = \frac{1}{2}x$。令$\frac{1}{2}x ＜ 1$，解得$x ＜ 2$。
综上，不等式组$ax + b \leq kx ＜ 1$的解集为$-4\leq x ＜ 2$。
$-4\leq x ＜ 2$
观察图象可知，当$x\geq -4$时，$ax + b \leq kx$。
对于$kx ＜ 1$，因为点$P(-4,-2)$在$y = kx$上，所以$-2 = k×(-4)$，解得$k=\frac{1}{2}$，则$y = \frac{1}{2}x$。令$\frac{1}{2}x ＜ 1$，解得$x ＜ 2$。
综上，不等式组$ax + b \leq kx ＜ 1$的解集为$-4\leq x ＜ 2$。
$-4\leq x ＜ 2$
13. (2025·济南)$ A $，$ B $ 两地相距 $ 100\ \mathrm{km} $，甲、乙两人骑车分别从 $ A $，$ B $ 两地同时相向而行.假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自离 $ A $ 地的距离 $ s(\mathrm{km}) $ 与骑车时间 $ t(\mathrm{h}) $ 的关系如图所示，则他们相遇时距离 $ A $ 地
$\frac{300}{7}$
$ \mathrm{km} $.答案：13.$\frac{300}{7}$
解析：
解：设甲的函数解析式为$s_{甲}=kt$，将$(2,30)$代入得$30 = 2k$，解得$k = 15$，故$s_{甲}=15t$。
设乙的函数解析式为$s_{乙}=mt + n$，将$(0,100)$，$(1,80)$代入得$\begin{cases}n = 100 \\ m + n = 80\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=-20 \\ n = 100\end{cases}$，故$s_{乙}=-20t + 100$。
令$15t=-20t + 100$，解得$t=\frac{20}{7}$。
相遇时距离$A$地的距离为$s_{甲}=15×\frac{20}{7}=\frac{300}{7}\ \mathrm{km}$。
$\frac{300}{7}$
设乙的函数解析式为$s_{乙}=mt + n$，将$(0,100)$，$(1,80)$代入得$\begin{cases}n = 100 \\ m + n = 80\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=-20 \\ n = 100\end{cases}$，故$s_{乙}=-20t + 100$。
令$15t=-20t + 100$，解得$t=\frac{20}{7}$。
相遇时距离$A$地的距离为$s_{甲}=15×\frac{20}{7}=\frac{300}{7}\ \mathrm{km}$。
$\frac{300}{7}$
14. 如图，一次函数 $ y = kx + b(k \neq 0) $ 的图象交 $ x $ 轴于点 $ A $，交 $ y $ 轴于点 $ C $，且 $ OA = 5 $，并与一次函数 $ y = - \frac{3}{4}x - 1 $ 的图象交于点 $ B $，已知点 $ B $ 的横坐标为 $ - 4 $.
（1）求一次函数 $ y = kx + b $ 的解析式；
（2）求 $ \triangle AOC $ 的面积；
（3）请直接写出当 $ kx + b ＜ - \frac{3}{4}x - 1 $ 时 $ x $ 的取值范围.
（1）求一次函数 $ y = kx + b $ 的解析式；
（2）求 $ \triangle AOC $ 的面积；
（3）请直接写出当 $ kx + b ＜ - \frac{3}{4}x - 1 $ 时 $ x $ 的取值范围.
答案：14.(1)
∵$OA = 5$，
∴$A(-5,0)$。
∵点B的横坐标为$-4$，且点B在一次函数$y = -\frac{3}{4}x - 1$的图象上，
∴$y = -\frac{3}{4}×(-4) - 1 = 2$。
∴$B(-4,2)$。将$A(-5,0)$，$B(-4,2)$代入$y = kx + b$，得$\begin{cases}-5k + b = 0\\-4k + b = 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 2\\b = 10\end{cases}$，
∴$y = 2x + 10$。(2)由(1)可知，$OA = 5$，$y = 2x + 10$。当$x = 0$时，$y = 10$，
∴$OC = 10$。
∴$S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}OA· OC = 25$。(3)$x\lt -4$
∵$OA = 5$，
∴$A(-5,0)$。
∵点B的横坐标为$-4$，且点B在一次函数$y = -\frac{3}{4}x - 1$的图象上，
∴$y = -\frac{3}{4}×(-4) - 1 = 2$。
∴$B(-4,2)$。将$A(-5,0)$，$B(-4,2)$代入$y = kx + b$，得$\begin{cases}-5k + b = 0\\-4k + b = 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 2\\b = 10\end{cases}$，
∴$y = 2x + 10$。(2)由(1)可知，$OA = 5$，$y = 2x + 10$。当$x = 0$时，$y = 10$，
∴$OC = 10$。
∴$S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}OA· OC = 25$。(3)$x\lt -4$
15. 工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工过程中因故停产检修机器一次，然后以原来的工作效率继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也加入共同加工零件.设甲组的加工时间为 $ t $（小时），甲组加工零件的数量为 $ y_{\mathrm{甲}} $（个），乙组加工零件的数量为 $ y_{\mathrm{乙}} $（个），其函数图象如图所示.
（1）求 $ y_{\mathrm{乙}} $ 与 $ t $ 之间的函数解析式，并写出 $ t $ 的取值范围；
（2）求 $ a $ 的值，并说明 $ a $ 的实际意义；
（3）甲组加工多长时间时，甲、乙两组加工零件的总数量为 $ 480 $ 个？
（1）求 $ y_{\mathrm{乙}} $ 与 $ t $ 之间的函数解析式，并写出 $ t $ 的取值范围；
（2）求 $ a $ 的值，并说明 $ a $ 的实际意义；
（3）甲组加工多长时间时，甲、乙两组加工零件的总数量为 $ 480 $ 个？
答案：15.(1)设$y_{Z}$与$t$之间的函数解析式为$y_{Z}=kt + b$。将$(5,0)$，$(8,360)$代入，得$\begin{cases}5k + b = 0\\8k + b = 360\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 120\\b = -600\end{cases}$，
∴$y_{Z}$与$t$之间的函数解析式为$y_{Z}=120t - 600(5\leq t\leq8)$。(2)由图象，可得甲组的工作效率为$120÷3 = 40$(个/时)，
∴$a = 120 + 40×(8 - 4) = 280$。$a$的实际意义是当甲组加工$8$小时时，一共加工了$280$个零件。(3)设甲组加工$c$小时时，甲、乙两组加工零件的总数量为$480$个。由题意，得$120 + 40(c - 4)+(120c - 600) = 480$，解得$c = 7$。
∴甲组加工$7$小时时，甲、乙两组加工零件的总数量为$480$个。
∴$y_{Z}$与$t$之间的函数解析式为$y_{Z}=120t - 600(5\leq t\leq8)$。(2)由图象，可得甲组的工作效率为$120÷3 = 40$(个/时)，
∴$a = 120 + 40×(8 - 4) = 280$。$a$的实际意义是当甲组加工$8$小时时，一共加工了$280$个零件。(3)设甲组加工$c$小时时，甲、乙两组加工零件的总数量为$480$个。由题意，得$120 + 40(c - 4)+(120c - 600) = 480$，解得$c = 7$。
∴甲组加工$7$小时时，甲、乙两组加工零件的总数量为$480$个。