1. (2024·通州期中)如图所示的“漏壶”是一种古代计时器. 在壶内盛一定量的水，水从壶底的小孔漏出，壶内壁画有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间. 用 $ x $ 表示漏水时间，$ y $ 表示壶底到水面的高度，不考虑水量变化对压力的影响，下列图象能表示 $ y $ 与 $ x $ 的对应关系的是 (
C
)答案：1. C
解析：
解：漏壶漏水时，壶底到水面的高度$y$随漏水时间$x$的增加而减小，且不考虑水量变化对压力的影响时，漏水速度均匀，$y$与$x$成一次函数关系，其图象是一条从左上到右下的线段。
观察选项：
A选项图象呈上升趋势，不符合$y$随$x$增大而减小，错误；
B选项图象先上升后水平，不符合实际情况，错误；
C选项图象是从左上到右下的线段，符合$y$随$x$均匀减小，正确；
D选项图象先水平后下降，不符合漏水开始时高度就变化的实际，错误。
答案：C
观察选项：
A选项图象呈上升趋势，不符合$y$随$x$增大而减小，错误；
B选项图象先上升后水平，不符合实际情况，错误；
C选项图象是从左上到右下的线段，符合$y$随$x$均匀减小，正确；
D选项图象先水平后下降，不符合漏水开始时高度就变化的实际，错误。
答案：C
2. 如图，在矩形 $ ABCD $ 中，$ AB = 3 $，$ BC = 4 $，动点 $ P $ 沿折线 $ BCD $ 从点 $ B $ 开始匀速运动到点 $ D $. 设点 $ P $ 运动的路程为 $ x $，$ \triangle ADP $ 的面积为 $ y $，则 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系图象是 (
D
)答案：2. D
解析：
解：在矩形 $ABCD$ 中，$AD = BC = 4$，$AB = CD = 3$。
当点 $P$ 在 $BC$ 上运动时（$0 \leq x \leq 4$），$\triangle ADP$ 的底为 $AD = 4$，高为 $AB = 3$，面积 $y = \frac{1}{2} × 4 × 3 = 6$。
当点 $P$ 在 $CD$ 上运动时（$4 ＜ x \leq 7$），$CP = x - 4$，$DP = CD - CP = 3 - (x - 4) = 7 - x$，$\triangle ADP$ 的底为 $AD = 4$，高为 $DP = 7 - x$，面积 $y = \frac{1}{2} × 4 × (7 - x) = 14 - 2x$，此时 $y$ 随 $x$ 增大而减小，当 $x = 7$ 时，$y = 0$。
综上，函数图象先为水平线段 $y = 6$（$0 \leq x \leq 4$），再为下降线段（$4 ＜ x \leq 7$），对应选项 D。
D
当点 $P$ 在 $BC$ 上运动时（$0 \leq x \leq 4$），$\triangle ADP$ 的底为 $AD = 4$，高为 $AB = 3$，面积 $y = \frac{1}{2} × 4 × 3 = 6$。
当点 $P$ 在 $CD$ 上运动时（$4 ＜ x \leq 7$），$CP = x - 4$，$DP = CD - CP = 3 - (x - 4) = 7 - x$，$\triangle ADP$ 的底为 $AD = 4$，高为 $DP = 7 - x$，面积 $y = \frac{1}{2} × 4 × (7 - x) = 14 - 2x$，此时 $y$ 随 $x$ 增大而减小，当 $x = 7$ 时，$y = 0$。
综上，函数图象先为水平线段 $y = 6$（$0 \leq x \leq 4$），再为下降线段（$4 ＜ x \leq 7$），对应选项 D。
D
3. 火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度 $ y $(米)与火车行驶时间 $ x $(秒)之间的函数关系如图所示，有下列结论：① 火车的长度为 120 米；② 火车的速度为 30 米/秒；③ 火车整体都在隧道内的时间为 25 秒；④ 隧道长度为 750 米. 其中，正确的个数为 (
A.1
B.2
C.3
D.4
B
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案：3. B
解析：
解：②火车速度：$v=\frac{150}{35-30}=30$米/秒，正确；
④隧道长度：$150 + 30×30=1050$米，错误；
①火车长度：$30×5=150$米，错误；
③整体在隧道内时间：$35 - 5 - 5=25$秒，正确。
正确个数为2，选B。
④隧道长度：$150 + 30×30=1050$米，错误；
①火车长度：$30×5=150$米，错误；
③整体在隧道内时间：$35 - 5 - 5=25$秒，正确。
正确个数为2，选B。
4. (2025·河南)汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素之一，在一定条件下，它会随车速的变化而变化. 研究发现，某款轮胎的摩擦系数 $ \mu $ 与车速 $ v $($ \mathrm{km/h} $)之间的函数关系如图所示，则下列说法中，错误的是 (
A.汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 $ 0.9 $
B.当 $ 0 \leqslant v \leqslant 60 $ 时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小
C.要使这款轮胎的摩擦系数不低于 $ 0.71 $，车速应不低于 $ 60 \mathrm{ km/h} $
D.若车速从 $ 25 \mathrm{ km/h} $ 增大到 $ 60 \mathrm{ km/h} $，则这款轮胎的摩擦系数减小 $ 0.04 $
C
)A.汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 $ 0.9 $
B.当 $ 0 \leqslant v \leqslant 60 $ 时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小
C.要使这款轮胎的摩擦系数不低于 $ 0.71 $，车速应不低于 $ 60 \mathrm{ km/h} $
D.若车速从 $ 25 \mathrm{ km/h} $ 增大到 $ 60 \mathrm{ km/h} $，则这款轮胎的摩擦系数减小 $ 0.04 $
答案：4. C
解析：
A. 由图可知，当$v=0$时，$\mu=0.9$，即汽车静止时，摩擦系数为$0.9$，正确。
B. 当$0 \leqslant v \leqslant 60$时，图像呈下降趋势，摩擦系数随车速增大而减小，正确。
C. 由图可知，当$\mu=0.71$时，$v=60\ \mathrm{km/h}$，且摩擦系数随车速增大而减小，要使$\mu \geqslant 0.71$，车速应不高于$60\ \mathrm{km/h}$，错误。
D. 当$v=25\ \mathrm{km/h}$时，$\mu=0.75$；当$v=60\ \mathrm{km/h}$时，$\mu=0.71$，$0.75 - 0.71=0.04$，正确。
答案：C
B. 当$0 \leqslant v \leqslant 60$时，图像呈下降趋势，摩擦系数随车速增大而减小，正确。
C. 由图可知，当$\mu=0.71$时，$v=60\ \mathrm{km/h}$，且摩擦系数随车速增大而减小，要使$\mu \geqslant 0.71$，车速应不高于$60\ \mathrm{km/h}$，错误。
D. 当$v=25\ \mathrm{km/h}$时，$\mu=0.75$；当$v=60\ \mathrm{km/h}$时，$\mu=0.71$，$0.75 - 0.71=0.04$，正确。
答案：C
5. 如图①，动点 $ P $ 在矩形 $ ABCD $ 的边上沿 $ B \to C \to D \to A $ 的路径运动，其运动速度为每秒 1 个单位长度，连接 $ AP $，记点 $ P $ 的运动时间为 $ t \mathrm{ s} $，$ \triangle ABP $ 的面积为 $ S $，图②是 $ S $ 关于 $ t $ 的函数图象，则线段 $ AB $ 的长为
3
，$ a $ 的值为$\frac{15}{2}$
.答案：$5. 3 \frac{15}{2}$
解析：
解：设 $AB = x$，$BC = y$。
当点 $P$ 在 $BC$ 上运动时，$BP = t$，$S = \frac{1}{2} · AB · BP = \frac{1}{2}xt$。由图②知，此阶段对应 $0 \leq t \leq 5$，故 $BC = 5$，即 $y = 5$。
当点 $P$ 在 $CD$ 上运动时，$S = \frac{1}{2} · AB · BC = \frac{1}{2}xy$，面积不变，对应 $5 \leq t \leq 8$，则 $CD = 8 - 5 = 3$，因为 $CD = AB$，所以 $x = 3$，即 $AB = 3$。
此时 $a = S = \frac{1}{2} × 3 × 5 = \frac{15}{2}$。
答案：$3$；$\frac{15}{2}$
当点 $P$ 在 $BC$ 上运动时，$BP = t$，$S = \frac{1}{2} · AB · BP = \frac{1}{2}xt$。由图②知，此阶段对应 $0 \leq t \leq 5$，故 $BC = 5$，即 $y = 5$。
当点 $P$ 在 $CD$ 上运动时，$S = \frac{1}{2} · AB · BC = \frac{1}{2}xy$，面积不变，对应 $5 \leq t \leq 8$，则 $CD = 8 - 5 = 3$，因为 $CD = AB$，所以 $x = 3$，即 $AB = 3$。
此时 $a = S = \frac{1}{2} × 3 × 5 = \frac{15}{2}$。
答案：$3$；$\frac{15}{2}$