设一次函数为$y = kx + b$。
当$x$的值减少$1$时，新的$x$值为$x - 1$，此时$y$的值为$y' = k(x - 1) + b$。
已知$y - y' = 2$，即：
$kx + b - [k(x - 1) + b] = 2$
化简得：
$kx + b - kx + k - b = 2 \implies k = 2$
当$x$的值增加$2$时，新的$x$值为$x + 2$，此时$y$的值为$y'' = k(x + 2) + b$。
$y'' - y = k(x + 2) + b - (kx + b) = 2k$，将$k = 2$代入得：
$y'' - y = 2 × 2 = 4$
A

因为函数$y=(m - 2)x + m^{2} - 4$是正比例函数，所以$\begin{cases}m - 2 \neq 0 \\ m^{2} - 4 = 0\end{cases}$。
由$m^{2} - 4 = 0$，得$m^{2}=4$，解得$m = \pm 2$。
又因为$m - 2 \neq 0$，所以$m \neq 2$，故$m=-2$。
-2

要使函数$y=(m + 3)x^{2m - 1} + 8x + 5$（$x \neq 0$）是关于$x$的一次函数，分以下情况讨论：
情况一：$x^{2m - 1}$的系数为$0$
当$m + 3 = 0$时，即$m=-3$，此时函数化简为$y = 8x + 5$，是一次函数。
情况二：$x^{2m - 1}$的指数为$1$
当$2m - 1 = 1$时，解得$m=1$，此时函数为$y=(1 + 3)x + 8x + 5 = 12x + 5$，是一次函数。
情况三：$x^{2m - 1}$的指数为$0$
当$2m - 1 = 0$时，解得$m=\frac{1}{2}$，此时函数为$y=(\frac{1}{2} + 3)x^{0} + 8x + 5 = \frac{7}{2} + 8x + 5 = 8x + \frac{17}{2}$，是一次函数。
综上，$m=1$或$m=-3$或$m=\frac{1}{2}$。
1或-3或$\frac{1}{2}$