解：当$1 - 3k ＞ 0$，即$k ＜ \dfrac{1}{3}$时，$y$随$x$增大而增大。
$x = 2$时，$y$最大，$2(1 - 3k) = 8$，解得$k = -1$。
当$1 - 3k ＜ 0$，即$k ＞ \dfrac{1}{3}$时，$y$随$x$增大而减小。
$x = -1$时，$y$最大，$-1(1 - 3k) = 8$，解得$k = 3$。
综上，$k = -1$或$3$。
D

解：当线段 $AB$ 最短时，$AB$ 垂直于直线 $y = x$。
直线 $y = x$ 的斜率为 $1$，故 $AB$ 的斜率为 $-1$。
设直线 $AB$ 的方程为 $y = -x + b$，将 $A(-1,0)$ 代入得：
$0 = -(-1) + b \Rightarrow b = -1$，即直线 $AB$：$y = -x - 1$。
联立 $\begin{cases} y = x \\ y = -x - 1 \end{cases}$，解得 $\begin{cases} x = -\dfrac{1}{2} \\ y = -\dfrac{1}{2} \end{cases}$。
故点 $B$ 的坐标为 $(-\dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{2})$。
答案：C

因为$y=(2m - 1)x^{m^2 - 3}$是正比例函数，所以$\begin{cases}m^2 - 3 = 1\\2m - 1 \neq 0\end{cases}$，解得$m = \pm 2$。又因为$y$随$x$的减小而减小，所以$2m - 1＞0$，即$m＞\frac{1}{2}$，故$m = 2$。

解：
∵点$A$的横坐标为$3$，$AH⊥x$轴，
∴$OH = 3$，设点$A$的纵坐标为$y$。
∵$\triangle AOH$的面积为$3$，
∴$\frac{1}{2}×OH×|y| = 3$，即$\frac{1}{2}×3×|y| = 3$，解得$|y| = 2$。
∵点$A$在第四象限，
∴$y = - 2$，则点$A$的坐标为$(3, - 2)$。
∵正比例函数$y = kx$的图象经过点$A$，
∴$- 2 = 3k$，解得$k=-\frac{2}{3}$。
∴该正比例函数的解析式为$y = -\frac{2}{3}x$。

解：因为正比例函数$y=(m - 1)x$的图象经过点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，当$x_1 ＜ x_2$时，$y_1 ＞ y_2$，所以$y$随$x$的增大而减小。
对于正比例函数$y = kx$（$k$为常数，$k≠0$），当$k ＜ 0$时，$y$随$x$的增大而减小。
所以$m - 1 ＜ 0$，解得$m ＜ 1$。
$m ＜ 1$

解：设点$B$的横坐标为$a(a＞0)$，则点$B$的纵坐标为$2a$，即$B(a,2a)$。
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AB=AD$，$AB⊥ AD$。
由于$A$是$x$轴上的点，且$B$的坐标为$(a,2a)$，所以$OA=a$，$AB=2a$，因此$AD=AB=2a$。
则$OD=OA+AD=a+2a=3a$，所以点$D$的坐标为$(3a,0)$。
因为$BC// AD$且$BC=AD=2a$，所以点$C$的坐标为$(3a,2a)$。
又因为点$C$在直线$y=kx$上，所以$2a=k·3a$。
因为$a＞0$，两边同时除以$a$得$2=3k$，解得$k=\frac{2}{3}$。
故$k$的值为$\frac{2}{3}$。