9. 已知点 $ A(x_1,y_1) $, $ B(x_2,y_2) $ 在函数 $ y = (a - 2)x - 7 $ 的图象上. 当 $ x_1 ＞ x_2 $ 时, $ y_1 ＜ y_2 $, 则 $ a $ 的取值范围是
$a ＜ 2$
.答案：9.$a ＜ 2$
解析：
解：因为当$x_1 ＞ x_2$时，$y_1 ＜ y_2$，所以函数$y=(a - 2)x - 7$是减函数。
对于一次函数$y = kx + b$，当$k ＜ 0$时，函数单调递减。
在函数$y=(a - 2)x - 7$中，$k = a - 2$，所以$a - 2 ＜ 0$，解得$a ＜ 2$。
$a ＜ 2$
对于一次函数$y = kx + b$，当$k ＜ 0$时，函数单调递减。
在函数$y=(a - 2)x - 7$中，$k = a - 2$，所以$a - 2 ＜ 0$，解得$a ＜ 2$。
$a ＜ 2$
10. (2025·海安期中)已知一次函数 $ y = x - k $. 若对于 $ x ＜ 2 $ 范围内任意自变量 $ x $ 的值, 其对应的函数值 $ y $ 都小于 $ k $, 则 $ k $ 的取值范围是
$k \geq 1$
.答案：10.$k \geq 1$
解析：
解：对于一次函数$y = x - k$，当$x ＜ 2$时，$y ＜ k$恒成立，即$x - k ＜ k$对$x ＜ 2$恒成立。
化简得$x ＜ 2k$。
因为$x ＜ 2$时上式恒成立，所以$2k \geq 2$，解得$k \geq 1$。
$k \geq 1$
化简得$x ＜ 2k$。
因为$x ＜ 2$时上式恒成立，所以$2k \geq 2$，解得$k \geq 1$。
$k \geq 1$
11. 在平面直角坐标系中, $ O $ 为原点, 直线 $ y = kx + b $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A(-2,0) $, 与 $ y $ 轴交于点 $ B $. 若 $ \triangle AOB $ 的面积为 8, 则 $ k $ 的值为
$4$或$-4$
.答案：11.$4$或$-4$
解析：
解：
∵直线$y = kx + b$与$x$轴交于点$A(-2,0)$，
∴$0 = -2k + b$，即$b = 2k$，
∴直线方程为$y = kx + 2k$。
令$x = 0$，得$y = 2k$，则点$B(0,2k)$。
∵$\triangle AOB$的面积为$8$，
∴$\frac{1}{2} × |OA| × |OB| = 8$，
$OA = |-2| = 2$，$OB = |2k|$，
∴$\frac{1}{2} × 2 × |2k| = 8$，
$|2k| = 8$，
$2k = \pm 8$，
解得$k = 4$或$k = -4$。
$4$或$-4$
∵直线$y = kx + b$与$x$轴交于点$A(-2,0)$，
∴$0 = -2k + b$，即$b = 2k$，
∴直线方程为$y = kx + 2k$。
令$x = 0$，得$y = 2k$，则点$B(0,2k)$。
∵$\triangle AOB$的面积为$8$，
∴$\frac{1}{2} × |OA| × |OB| = 8$，
$OA = |-2| = 2$，$OB = |2k|$，
∴$\frac{1}{2} × 2 × |2k| = 8$，
$|2k| = 8$，
$2k = \pm 8$，
解得$k = 4$或$k = -4$。
$4$或$-4$
12. 如图, 在平面直角坐标系中, $ A(1,3) $, $ B(3,1) $ 为直线 $ y = -x + 4 $ 上的两点, $ P $ 是 $ x $ 轴上的一个动点, 则 $ PA + PB $ 的最小值为
$2\sqrt{5}$
.答案：12.$2\sqrt{5}$
解析：
解：作点$A(1,3)$关于$x$轴的对称点$A'(1,-3)$，连接$A'B$交$x$轴于点$P$，此时$PA + PB$的值最小，且$PA + PB = A'B$。
已知$A'(1,-3)$，$B(3,1)$，根据两点间距离公式：
$\begin{aligned}A'B&=\sqrt{(3 - 1)^2 + [1 - (-3)]^2}\\&=\sqrt{2^2 + 4^2}\\&=\sqrt{4 + 16}\\&=\sqrt{20}\\&=2\sqrt{5}\end{aligned}$
故$PA + PB$的最小值为$2\sqrt{5}$。
$2\sqrt{5}$
已知$A'(1,-3)$，$B(3,1)$，根据两点间距离公式：
$\begin{aligned}A'B&=\sqrt{(3 - 1)^2 + [1 - (-3)]^2}\\&=\sqrt{2^2 + 4^2}\\&=\sqrt{4 + 16}\\&=\sqrt{20}\\&=2\sqrt{5}\end{aligned}$
故$PA + PB$的最小值为$2\sqrt{5}$。
$2\sqrt{5}$
13. 已知一次函数 $ y = (3 - m)x + 2m - 9 $ 的图象与 $ y $ 轴的负半轴相交, $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小, 且 $ m $ 为整数.
(1) 求 $ m $ 的值;
(2) 当 $ -3 \leq x \leq 5 $ 时, 求 $ y $ 的取值范围.
(1) 求 $ m $ 的值;
(2) 当 $ -3 \leq x \leq 5 $ 时, 求 $ y $ 的取值范围.
答案：13.(1)由题意知，$\begin{cases}3 - m ＜ 0, \\2m - 9 ＜ 0. \end{cases}$解得$3 ＜ m ＜ 4.5.\because m$为整数，$\therefore m = 4$ (2)由(1)知，$m = 4.\therefore y = -x - 1$.当$x = -3$时，$y = -(-3) - 1 = 2$;当$x = 5$时，$y = -5 - 1 = -6.\therefore y$的取值范围是$-6 \leq y \leq 2$
14. 已知一次函数 $ y = ax - a + 1 $ ( $ a $ 为常数, 且 $ a \neq 0 $ ).
(1) 若点 $ (-\frac{1}{2},3) $ 在该函数的图象上, 求 $ a $ 的值;
(2) 当 $ -1 \leq x \leq 2 $ 时, 函数有最大值 2, 求 $ a $ 的值.
(1) 若点 $ (-\frac{1}{2},3) $ 在该函数的图象上, 求 $ a $ 的值;
(2) 当 $ -1 \leq x \leq 2 $ 时, 函数有最大值 2, 求 $ a $ 的值.
答案：14.(1)把$(-\frac{1}{2},3)$代入$y = ax - a + 1$，得$-\frac{1}{2}a - a + 1 = 3$，解得$a = -\frac{4}{3}$ (2)①若$a ＞ 0$，则$y$随$x$的增大而增大，$\therefore$当$x = 2$时，$y$取得最大值$2$.把$x = 2$，$y = 2$代入$y = ax - a + 1$，得$2 = 2a - a + 1$，解得$a = 1$.②若$a ＜ 0$，则$y$随$x$的增大而减小，$\therefore$当$x = -1$时，$y$取得最大值$2$.把$x = -1$，$y = 2$代入$y = ax - a + 1$，得$2 = -a - a + 1$，解得$a = -\frac{1}{2}$.综上所述，$a$的值为$-\frac{1}{2}$或$1$
15. 已知 $ y - 4 $ 与 $ x $ 成正比例函数关系, 且当 $ x = 6 $ 时, $ y = -4 $.
(1) 求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式;
(2) 已知(1)中函数的图象与 $ x $ 轴交于点 $ A $, 与 $ y $ 轴交于点 $ B $, 求点 $ O(0,0) $ 到直线 $ AB $ 的距离;
(3) 在第一象限内, (1)中函数的图象上有一动点 $ P(x,y) $, 点 $ C $ 的坐标为 $ (-2,0) $, 求 $ \triangle PAC $ 的面积 $ S $ 与 $ x $ 之间的函数解析式, 并指出自变量 $ x $ 的取值范围.
(1) 求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式;
(2) 已知(1)中函数的图象与 $ x $ 轴交于点 $ A $, 与 $ y $ 轴交于点 $ B $, 求点 $ O(0,0) $ 到直线 $ AB $ 的距离;
(3) 在第一象限内, (1)中函数的图象上有一动点 $ P(x,y) $, 点 $ C $ 的坐标为 $ (-2,0) $, 求 $ \triangle PAC $ 的面积 $ S $ 与 $ x $ 之间的函数解析式, 并指出自变量 $ x $ 的取值范围.
答案：15.(1)由题意，设$y - 4 = kx(k \neq 0).\because$当$x = 6$时，$y = -4$，$\therefore -4 - 4 = 6k$，解得$k = -\frac{4}{3}.\therefore y$关于$x$的函数解析式为$y = -\frac{4}{3}x + 4$ (2)设点$O(0,0)$到直线$AB$的距离为$d$.在$y = -\frac{4}{3}x + 4$中，令$x = 0$，则$y = 4$;令$y = 0$，则$x = 3.\therefore$点$A$的坐标为$(3,0)$，点$B$的坐标为$(0,4).\therefore OA = 3$，$OB = 4.\therefore$在$Rt\triangle AOB$中，由勾股定理，得$AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = 5.\because S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2}OA · OB = \frac{1}{2}AB · d$，$\therefore d = \frac{OA · OB}{AB} = \frac{12}{5}$，即点$O(0,0)$到直线$AB$的距离为$\frac{12}{5}$ (3)由(2)，知点$A$的坐标为$(3,0).\because$点$C$的坐标为$(-2,0)$，$\therefore AC = 5.\because$动点$P(x,y)$在函数$y = -\frac{4}{3}x + 4$在第一象限内的图象上，$\therefore 0 ＜ x ＜ 3$，$0 ＜ y ＜ 4.\therefore S = \frac{1}{2}AC · y = -\frac{10}{3}x + 10.\therefore \triangle PAC$的面积$S$与$x$之间的函数解析式为$S = -\frac{10}{3}x + 10$，自变量$x$的取值范围是$0 ＜ x ＜ 3$