1. (2025·通州期中)一次函数 $ y = kx + b $ 的自变量 $ x $ 和函数值 $ y $ 的部分对应值如下表所示:
则这个函数的图象不经过(
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
则这个函数的图象不经过(
D
)A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案：1. D
解析：
解：将$x=-5$，$y=1$和$x=0$，$y=3$代入$y=kx+b$，得
$\begin{cases}-5k + b = 1 \\ b = 3\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = \dfrac{2}{5} \\ b = 3\end{cases}$
$\therefore y = \dfrac{2}{5}x + 3$
$\because k = \dfrac{2}{5} ＞ 0$，$b = 3 ＞ 0$
$\therefore$函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限。
D
$\begin{cases}-5k + b = 1 \\ b = 3\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = \dfrac{2}{5} \\ b = 3\end{cases}$
$\therefore y = \dfrac{2}{5}x + 3$
$\because k = \dfrac{2}{5} ＞ 0$，$b = 3 ＞ 0$
$\therefore$函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限。
D
2. 如图, 在平面直角坐标系中, 直线 $ y = -\frac{3}{4}x + 3 $ 交 $ x $ 轴于点 $ A $, 交 $ y $ 轴于点 $ B $, 以点 $ A $ 为圆心, $ AB $ 长为半径画弧, 交 $ x $ 轴的负半轴于点 $ C $, 则直线 $ BC $ 对应的函数解析式为(
A.$ y = 3x + 3 $
B.$ y = 4x + 3 $
C.$ y = 4x + 4 $
D.$ y = -4x + 4 $
A
)A.$ y = 3x + 3 $
B.$ y = 4x + 3 $
C.$ y = 4x + 4 $
D.$ y = -4x + 4 $
答案：2. A
解析：
解：对于直线$y = -\frac{3}{4}x + 3$，
令$y = 0$，则$-\frac{3}{4}x + 3 = 0$，解得$x = 4$，故点$A(4,0)$；
令$x = 0$，则$y = 3$，故点$B(0,3)$。
$AB=\sqrt{(4 - 0)^2+(0 - 3)^2}=\sqrt{16 + 9}=5$。
因为以点$A$为圆心，$AB$长为半径画弧交$x$轴负半轴于点$C$，所以$AC = AB = 5$。
点$A(4,0)$，点$C$在$x$轴负半轴，设$C(x,0)$，则$AC=|4 - x| = 5$，解得$x=-1$（$x=9$舍去），故$C(-1,0)$。
设直线$BC$的解析式为$y = kx + b$，将$B(0,3)$，$C(-1,0)$代入得：
$\begin{cases}b = 3\\-k + b = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 3\\b = 3\end{cases}$。
所以直线$BC$的解析式为$y = 3x + 3$。
A
令$y = 0$，则$-\frac{3}{4}x + 3 = 0$，解得$x = 4$，故点$A(4,0)$；
令$x = 0$，则$y = 3$，故点$B(0,3)$。
$AB=\sqrt{(4 - 0)^2+(0 - 3)^2}=\sqrt{16 + 9}=5$。
因为以点$A$为圆心，$AB$长为半径画弧交$x$轴负半轴于点$C$，所以$AC = AB = 5$。
点$A(4,0)$，点$C$在$x$轴负半轴，设$C(x,0)$，则$AC=|4 - x| = 5$，解得$x=-1$（$x=9$舍去），故$C(-1,0)$。
设直线$BC$的解析式为$y = kx + b$，将$B(0,3)$，$C(-1,0)$代入得：
$\begin{cases}b = 3\\-k + b = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 3\\b = 3\end{cases}$。
所以直线$BC$的解析式为$y = 3x + 3$。
A
3. (易错题)已知某直线经过点 $ (0,-2) $, 且与两坐标轴围成的三角形的面积为 $ 3 $, 则该直线对应的函数解析式为
$y=\frac{2}{3}x - 2$或$y = -\frac{2}{3}x - 2$
.答案：3. $y=\frac{2}{3}x - 2$或$y = -\frac{2}{3}x - 2$[易错分析]距离与坐标转化未进行分类讨论而致错.
解析：
解：设该直线对应的函数解析式为$y = kx + b$。
因为直线经过点$(0, -2)$，所以$b=-2$，函数解析式为$y = kx - 2$。
令$y = 0$，则$kx - 2 = 0$，解得$x=\frac{2}{k}$，所以直线与$x$轴交点坐标为$(\frac{2}{k}, 0)$。
直线与两坐标轴围成的三角形面积为$3$，则$\frac{1}{2}×\left|\frac{2}{k}\right|×|-2| = 3$，即$\frac{1}{2}×\left|\frac{2}{k}\right|×2 = 3$，$\left|\frac{2}{k}\right| = 3$，$|k|=\frac{2}{3}$，解得$k = \frac{2}{3}$或$k=-\frac{2}{3}$。
所以该直线对应的函数解析式为$y=\frac{2}{3}x - 2$或$y = -\frac{2}{3}x - 2$。
因为直线经过点$(0, -2)$，所以$b=-2$，函数解析式为$y = kx - 2$。
令$y = 0$，则$kx - 2 = 0$，解得$x=\frac{2}{k}$，所以直线与$x$轴交点坐标为$(\frac{2}{k}, 0)$。
直线与两坐标轴围成的三角形面积为$3$，则$\frac{1}{2}×\left|\frac{2}{k}\right|×|-2| = 3$，即$\frac{1}{2}×\left|\frac{2}{k}\right|×2 = 3$，$\left|\frac{2}{k}\right| = 3$，$|k|=\frac{2}{3}$，解得$k = \frac{2}{3}$或$k=-\frac{2}{3}$。
所以该直线对应的函数解析式为$y=\frac{2}{3}x - 2$或$y = -\frac{2}{3}x - 2$。
4. (2025·海门期中)如果函数 $ y = kx + b(k ＜ 0) $ 的自变量 $ x $ 的取值范围是 $ -2 \leq x \leq 6 $, 相应的函数值 $ y $ 的取值范围是 $ -8 \leq y \leq 4 $, 那么此函数的解析式为
$y = -\frac{3}{2}x + 1$
.答案：4. $y = -\frac{3}{2}x + 1$
解析：
解：因为$k ＜ 0$，所以$y$随$x$的增大而减小。
当$x = -2$时，$y = 4$；当$x = 6$时，$y = -8$。
将$\begin{cases}x=-2,y=4\\x=6,y=-8\end{cases}$代入$y = kx + b$，得：
$\begin{cases}-2k + b = 4 \\6k + b = -8\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程：$(-2k + b)-(6k + b)=4 - (-8)$
$-2k + b - 6k - b = 12$
$-8k = 12$
$k=-\frac{12}{8}=-\frac{3}{2}$
将$k = -\frac{3}{2}$代入$-2k + b = 4$：
$-2×(-\frac{3}{2}) + b = 4$
$3 + b = 4$
$b = 1$
所以函数解析式为$y=-\frac{3}{2}x + 1$
当$x = -2$时，$y = 4$；当$x = 6$时，$y = -8$。
将$\begin{cases}x=-2,y=4\\x=6,y=-8\end{cases}$代入$y = kx + b$，得：
$\begin{cases}-2k + b = 4 \\6k + b = -8\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程：$(-2k + b)-(6k + b)=4 - (-8)$
$-2k + b - 6k - b = 12$
$-8k = 12$
$k=-\frac{12}{8}=-\frac{3}{2}$
将$k = -\frac{3}{2}$代入$-2k + b = 4$：
$-2×(-\frac{3}{2}) + b = 4$
$3 + b = 4$
$b = 1$
所以函数解析式为$y=-\frac{3}{2}x + 1$
5. (教材变式)按要求分别求出对应的函数解析式.
(1) 已知直线过点 $ A(1,1) $, $ B(2,-1) $;
(2) 已知一次函数的图象经过点 $ (5,3) $, 且平行于直线 $ y = 3x - \frac{1}{2} $;
(3) 将直线 $ y = -2x + 1 $ 先向左平移 $ 2 $ 个单位长度, 再向上平移 $ 1 $ 个单位长度.
(1) 已知直线过点 $ A(1,1) $, $ B(2,-1) $;
(2) 已知一次函数的图象经过点 $ (5,3) $, 且平行于直线 $ y = 3x - \frac{1}{2} $;
(3) 将直线 $ y = -2x + 1 $ 先向左平移 $ 2 $ 个单位长度, 再向上平移 $ 1 $ 个单位长度.
答案：5. (1)设该直线对应的函数解析式为$y = kx + b$.由题意，得$\begin{cases}k + b = 1,\\2k + b = -1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = -2,\\b = 3.\end{cases}\therefore$该直线对应的函数解析式为$y = -2x + 3$ (2)设该一次函数的解析式为$y = 3x + m$.由题意，得$3×5 + m = 3$,解得$m = -12.\therefore$该一次函数的解析式为$y = 3x - 12$ (3)设直线$y = -2x + 1$平移后的直线对应的函数解析式为$y = -2x + n.\because$直线$y = -2x + 1$经过点$(1, -1),\therefore$把该直线先向左平移$2$个单位长度，再向上平移$1$个单位长度，得直线$y = -2x + n$经过点$(-1, 0)$.将$(-1, 0)$代入$y = -2x + n$，得$-2×(-1) + n = 0$,解得$n = -2.\therefore$平移后的直线对应的函数解析式为$y = -2x - 2$
6. (数形结合思想)一个有进水管与出水管的容器, 从某时刻开始 $ 5 \min $ 内只进水不出水, 在随后的 $ 10 \min $ 内既进水又出水, 每分钟的进水量和出水量是两个常数. 容器内的水量 $ y(\mathrm{L}) $ 与时间 $ x(\mathrm{min}) $ 之间的关系如图所示, 当 $ x = 13 $ 时, $ y $ 的值为(
A.$ 40 $
B.$ 42 $
C.$ 44 $
D.$ 46 $
D
)A.$ 40 $
B.$ 42 $
C.$ 44 $
D.$ 46 $
答案：6. D
解析：
解：由图可知，前5分钟只进水不出水，水量从0增加到30L，
则进水管每分钟进水量为：$30÷5 = 6\ \mathrm{L/min}$。
设出水管每分钟出水量为$a\ \mathrm{L/min}$，
在随后的10分钟（5到15分钟）内，水量从30L增加到50L，
可得：$(6 - a)×(15 - 5)=50 - 30$，
即$10(6 - a)=20$，解得$a = 4\ \mathrm{L/min}$。
当$x = 13\ \mathrm{min}$时，处于5到15分钟之间，此时已进水$13\ \mathrm{min}$，出水$13 - 5 = 8\ \mathrm{min}$，
则$y=6×13 - 4×8=78 - 32 = 46\ \mathrm{L}$。
答案：D
则进水管每分钟进水量为：$30÷5 = 6\ \mathrm{L/min}$。
设出水管每分钟出水量为$a\ \mathrm{L/min}$，
在随后的10分钟（5到15分钟）内，水量从30L增加到50L，
可得：$(6 - a)×(15 - 5)=50 - 30$，
即$10(6 - a)=20$，解得$a = 4\ \mathrm{L/min}$。
当$x = 13\ \mathrm{min}$时，处于5到15分钟之间，此时已进水$13\ \mathrm{min}$，出水$13 - 5 = 8\ \mathrm{min}$，
则$y=6×13 - 4×8=78 - 32 = 46\ \mathrm{L}$。
答案：D
7. 不论 $ m $ 取何值, 如果点 $ P(2m,m + 1) $ 都在某一条直线上, 那么这条直线对应的函数解析式为(
A.$ y = 2x - 1 $
B.$ y = 2x + 1 $
C.$ y = \frac{1}{2}x - 1 $
D.$ y = \frac{1}{2}x + 1 $
D
)A.$ y = 2x - 1 $
B.$ y = 2x + 1 $
C.$ y = \frac{1}{2}x - 1 $
D.$ y = \frac{1}{2}x + 1 $
答案：7. D
解析：
设点$P(2m,m + 1)$在直线$y = kx + b$上，将$x = 2m$，$y = m + 1$代入得：$m + 1 = k(2m) + b$，整理得$(2k - 1)m + (b - 1) = 0$。因为不论$m$取何值等式都成立，所以$\begin{cases}2k - 1 = 0 \\ b - 1 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = \frac{1}{2} \\ b = 1\end{cases}$，故直线解析式为$y = \frac{1}{2}x + 1$。
D
D