8. 已知 $ \triangle ABC $ 的顶点坐标分别为 $ A(-5,0) $, $ B(3,0) $, $ C(0,3) $. 当过点 $ C $ 的直线 $ l $ 将 $ \triangle ABC $ 分成面积相等的两部分时, 直线 $ l $ 对应的函数解析式为
$y = 3x + 3$
.答案：8. $y = 3x + 3$
解析：
解：已知$A(-5,0)$，$B(3,0)$，$C(0,3)$。
$AB$在$x$轴上，$AB$的长度为$3 - (-5) = 8$，$C$到$AB$的距离为$3$，则$\triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2}×8×3 = 12$，所以直线$l$分$\triangle ABC$的面积为$6$。
设直线$l$与$AB$交于点$D(m,0)$，则$\triangle CDB$的面积为$\frac{1}{2}×|3 - m|×3 = 6$，解得$m = -1$（$m = 7$舍去），即$D(-1,0)$。
设直线$l$的解析式为$y = kx + b$，将$C(0,3)$，$D(-1,0)$代入得$\begin{cases}b = 3 \\ -k + b = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 3 \\ b = 3\end{cases}$。
所以直线$l$的函数解析式为$y = 3x + 3$。
$AB$在$x$轴上，$AB$的长度为$3 - (-5) = 8$，$C$到$AB$的距离为$3$，则$\triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2}×8×3 = 12$，所以直线$l$分$\triangle ABC$的面积为$6$。
设直线$l$与$AB$交于点$D(m,0)$，则$\triangle CDB$的面积为$\frac{1}{2}×|3 - m|×3 = 6$，解得$m = -1$（$m = 7$舍去），即$D(-1,0)$。
设直线$l$的解析式为$y = kx + b$，将$C(0,3)$，$D(-1,0)$代入得$\begin{cases}b = 3 \\ -k + b = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 3 \\ b = 3\end{cases}$。
所以直线$l$的函数解析式为$y = 3x + 3$。
9. 如图, 直线 $ l $ 经过 $ (1,3) $, $ (3,1) $ 两点, 且与 $ x $ 轴、 $ y $ 轴分别交于 $ A $, $ B $ 两点.
(1) 求直线 $ l $ 对应的函数解析式;
(2) 求 $ \triangle AOB $ 的面积;
(3) 在 $ x $ 轴上找一点 $ C $, 使 $ \triangle ABC $ 为等腰三角形, 求点 $ C $ 的坐标.
(1) 求直线 $ l $ 对应的函数解析式;
(2) 求 $ \triangle AOB $ 的面积;
(3) 在 $ x $ 轴上找一点 $ C $, 使 $ \triangle ABC $ 为等腰三角形, 求点 $ C $ 的坐标.
答案：9. (1)设直线$l$对应的函数解析式为$y = kx + b$.将$(1, 3),(3, 1)$代入，得$\begin{cases}k + b = 3,\\3k + b = 1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = -1,\\b = 4.\end{cases}\therefore$直线$l$对应的函数解析式为$y = -x + 4$ (2)在$y = -x + 4$中，令$x = 0$,则$y = 4$;令$y = 0$,则$x = 4.\therefore$点$A,B$的坐标分别为$(4, 0),(0, 4).\therefore OA = OB = 4$.
$\therefore S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}OA· OB = 8$ (3)由(2)，易得$AB = 4\sqrt{2}$.当$AB = AC$时，$x_C = x_A\pm4\sqrt{2},\therefore x_C = 4\pm4\sqrt{2}$，即点$C$的坐标为$(4 + 4\sqrt{2},0)$或$(4 - 4\sqrt{2},0)$.当$AB = BC$时，易得点$C$的坐标为$(-4,0)$.当$AC = BC$时，易得点$C$的坐标为$(0,0)$.综上所述，点$C$的坐标为$(0,0)$或$(-4,0)$或$(4 + 4\sqrt{2},0)$或$(4 - 4\sqrt{2},0)$
$\therefore S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}OA· OB = 8$ (3)由(2)，易得$AB = 4\sqrt{2}$.当$AB = AC$时，$x_C = x_A\pm4\sqrt{2},\therefore x_C = 4\pm4\sqrt{2}$，即点$C$的坐标为$(4 + 4\sqrt{2},0)$或$(4 - 4\sqrt{2},0)$.当$AB = BC$时，易得点$C$的坐标为$(-4,0)$.当$AC = BC$时，易得点$C$的坐标为$(0,0)$.综上所述，点$C$的坐标为$(0,0)$或$(-4,0)$或$(4 + 4\sqrt{2},0)$或$(4 - 4\sqrt{2},0)$
10. (2025·海安期中)如图, 在平面直角坐标系中, 直线 $ l_1:y = kx + b(k \neq 0) $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A(6,0) $, 与 $ y $ 轴交于点 $ B $, 与直线 $ l_2:y = \frac{1}{2}x $ 相交于点 $ M(m,\frac{3}{2}) $.
(1) 求直线 $ l_1 $ 对应的函数解析式;
(2) $ C $ 为 $ x $ 轴上一点, 若 $ \triangle ABC $ 的面积为 $ 12 $, 求点 $ C $ 的坐标.
(1) 求直线 $ l_1 $ 对应的函数解析式;
(2) $ C $ 为 $ x $ 轴上一点, 若 $ \triangle ABC $ 的面积为 $ 12 $, 求点 $ C $ 的坐标.
答案：10. (1)$\because$点$M(m,\frac{3}{2})$在直线$l_2$上，$\therefore\frac{3}{2}=\frac{1}{2}m$,解得$m = 3.\therefore M(3,\frac{3}{2}).\because$点$A(6,0),M(3,\frac{3}{2})$在直线$l_1$上，
$\therefore\begin{cases}6k + b = 0,\\3k + b = \frac{3}{2},\end{cases}$解得$\begin{cases}k = -\frac{1}{2},\\b = 3.\end{cases}\therefore$直线$l_1$对应的函数解析式为$y = -\frac{1}{2}x + 3$ (2)$\because$直线$l_1$对应的函数解析式为$y = -\frac{1}{2}x + 3,\therefore$当$x = 0$时，$y = 3.\therefore B(0,3)$，即$OB = 3$.设点$C$的坐标为$(n,0)$，则$AC = |6 - n|.\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×|6 - n|×3 = 12$,解得$n = -2$或$n = 14.\therefore C(-2,0)$或$(14,0)$
$\therefore\begin{cases}6k + b = 0,\\3k + b = \frac{3}{2},\end{cases}$解得$\begin{cases}k = -\frac{1}{2},\\b = 3.\end{cases}\therefore$直线$l_1$对应的函数解析式为$y = -\frac{1}{2}x + 3$ (2)$\because$直线$l_1$对应的函数解析式为$y = -\frac{1}{2}x + 3,\therefore$当$x = 0$时，$y = 3.\therefore B(0,3)$，即$OB = 3$.设点$C$的坐标为$(n,0)$，则$AC = |6 - n|.\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×|6 - n|×3 = 12$,解得$n = -2$或$n = 14.\therefore C(-2,0)$或$(14,0)$
11. (2024·包头)如图所示为 $ 1 $ 个碗和 $ 4 $ 个整齐叠放成一摞的碗的示意图, 碗的规格都是相同的. 小亮尝试结合学习函数的经验, 探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度 $ y(\mathrm{cm}) $ 随着碗的数量 $ x $(个)变化的规律. 小亮经过测量得到的 $ y $ 与 $ x $ 之间的对应数据如下表:
(1) 依据小亮测量的数据, 写出 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数解析式;
(2) 若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过 $ 28.8 \mathrm{cm} $, 则此时碗的数量最多为多少个?
(1) 依据小亮测量的数据, 写出 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数解析式;
(2) 若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过 $ 28.8 \mathrm{cm} $, 则此时碗的数量最多为多少个?
答案：11. (1)由题表中的数据，可得$y$是$x$的一次函数.设$y = kx + b$.把$(1, 6),(2, 8.4)$代入，得$\begin{cases}k + b = 6,\\2k + b = 8.4,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = 2.4,\\b = 3.6.\end{cases}\therefore y$与$x$之间的函数解析式为$y = 2.4x + 3.6$ (2)由题意，令$2.4x + 3.6\leqslant28.8$,解得$x\leqslant10.5.\because x$为整数，$\therefore$碗的数量最多为$10$个
解析：
(1)设$y = kx + b$，把$(1, 6)$，$(2, 8.4)$代入，得$\begin{cases}k + b = 6 \\ 2k + b = 8.4\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 2.4 \\ b = 3.6\end{cases}$，$\therefore y = 2.4x + 3.6$
(2)令$2.4x + 3.6 \leq 28.8$，解得$x \leq 10.5$，$\because x$为整数，$\therefore$碗的数量最多为$10$个
(2)令$2.4x + 3.6 \leq 28.8$，解得$x \leq 10.5$，$\because x$为整数，$\therefore$碗的数量最多为$10$个