20. （8 分）如图，在 $ □ ABCD $ 中，对角线 $ AC $，$ BD $ 交于点 $ O $，$ E $ 为 $ BC $ 的中点，$ EF ⊥ CD $ 于点 $ F $，$ G $ 为 $ CD $ 上一点，连接 $ OG $，$ OE $，且 $ OG // EF $。
（1）求证：四边形 $ OEFG $ 为矩形；
（2）若 $ AD = 13 $，$ OG = 6 $，$ \angle ABD = 45^{\circ} $，求 $ AB $ 的长。
（1）求证：四边形 $ OEFG $ 为矩形；
（2）若 $ AD = 13 $，$ OG = 6 $，$ \angle ABD = 45^{\circ} $，求 $ AB $ 的长。
答案：20. (1)
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OB = OD.
∵ E为BC的中点，
∴ OE是△BCD的中位线.
∴ OE//CD.
∵ OG//EF，
∴ 四边形OEFG是平行四边形.
∵ EF ⊥ CD，
∴ ∠EFG = 90°.
∴ 四边形OEFG为矩形. (2) 过点D作DM ⊥ AB于点M.
∵ ∠ABD = 45°，
∴ △BDM是等腰直角三角形.
∴ 易得BD = $\sqrt{2}$DM.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，OB = OD.
∴ ∠ODG = ∠ABD = 45°.
∴ △ODG是等腰直角三角形.
∵ OG = 6，
∴ DG = OG = 6.
∴ OD = 6$\sqrt{2}$.
∴ BD = 2OD = 12$\sqrt{2}$.
∴ 12$\sqrt{2}$ = $\sqrt{2}$DM.
∴ DM = 12.
∵ AD = 13，
∴ AM = $\sqrt{AD² - DM²}$ = $\sqrt{13² - 12²}$ = 5.
∴ AB = AM + MB = 5 + 12 = 17
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OB = OD.
∵ E为BC的中点，
∴ OE是△BCD的中位线.
∴ OE//CD.
∵ OG//EF，
∴ 四边形OEFG是平行四边形.
∵ EF ⊥ CD，
∴ ∠EFG = 90°.
∴ 四边形OEFG为矩形. (2) 过点D作DM ⊥ AB于点M.
∵ ∠ABD = 45°，
∴ △BDM是等腰直角三角形.
∴ 易得BD = $\sqrt{2}$DM.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，OB = OD.
∴ ∠ODG = ∠ABD = 45°.
∴ △ODG是等腰直角三角形.
∵ OG = 6，
∴ DG = OG = 6.
∴ OD = 6$\sqrt{2}$.
∴ BD = 2OD = 12$\sqrt{2}$.
∴ 12$\sqrt{2}$ = $\sqrt{2}$DM.
∴ DM = 12.
∵ AD = 13，
∴ AM = $\sqrt{AD² - DM²}$ = $\sqrt{13² - 12²}$ = 5.
∴ AB = AM + MB = 5 + 12 = 17
21. （10 分）如图，在正方形 $ ABCD $ 中，$ G $ 是对角线 $ BD $ 上的一点（不与点 $ B $，$ D $ 重合），$ GE ⊥ CD $，$ GF ⊥ BC $，垂足分别为 $ E $，$ F $，连接 $ EF $，$ AG $，延长 $ AG $，交 $ EF $ 于点 $ H $。
（1）求证：$ \angle DAG = \angle EGH $；
（2）判断 $ AH $ 与 $ EF $ 是否垂直，并说明理由。
（1）求证：$ \angle DAG = \angle EGH $；
（2）判断 $ AH $ 与 $ EF $ 是否垂直，并说明理由。
答案：21. (1)
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ ∠ADC = 90°，AD = CD. 又
∵ GE ⊥ CD，
∴ ∠GEC = ∠ADC = 90°.
∴ AD//GE.
∴ ∠DAG = ∠EGH. (2) AH ⊥ EF 理由:连接GC，交EF于点O.
∵ BD为正方形ABCD的对角线，
∴ ∠ADG = ∠CDG = 45°. 又
∵ DG = DG，AD = CD，
∴ △ADG ≌ △CDG.
∴ ∠DAG = ∠DCG. 在正方形ABCD中，∠ECF = 90°，又
∵ GE ⊥ CD，GF ⊥ BC，
∴ 四边形FCEG为矩形.
∴ 易得OE = OC.
∴ ∠OEC = ∠OCE.
∴ ∠DAG = ∠OEC. 由(1)，得∠DAG = ∠EGH，
∴ ∠EGH = ∠OEC.
∴ ∠EGH + ∠GEH = ∠OEC + ∠GEH = ∠GEC = 90°.
∴ ∠GHE = 90°.
∴ AH ⊥ EF.
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ ∠ADC = 90°，AD = CD. 又
∵ GE ⊥ CD，
∴ ∠GEC = ∠ADC = 90°.
∴ AD//GE.
∴ ∠DAG = ∠EGH. (2) AH ⊥ EF 理由:连接GC，交EF于点O.
∵ BD为正方形ABCD的对角线，
∴ ∠ADG = ∠CDG = 45°. 又
∵ DG = DG，AD = CD，
∴ △ADG ≌ △CDG.
∴ ∠DAG = ∠DCG. 在正方形ABCD中，∠ECF = 90°，又
∵ GE ⊥ CD，GF ⊥ BC，
∴ 四边形FCEG为矩形.
∴ 易得OE = OC.
∴ ∠OEC = ∠OCE.
∴ ∠DAG = ∠OEC. 由(1)，得∠DAG = ∠EGH，
∴ ∠EGH = ∠OEC.
∴ ∠EGH + ∠GEH = ∠OEC + ∠GEH = ∠GEC = 90°.
∴ ∠GHE = 90°.
∴ AH ⊥ EF.
22. (10 分)如图，在矩形纸片 $ ABCD $ 中，$ AB = 4 $，$ BC = 8 $，$ E $，$ F $ 分别是边 $ AD $，$ BC $ 上的动点，且 $ AE = CF $。将四边形 $ ABFE $ 沿 $ EF $ 折叠，点 $ A $，$ B $ 分别落在点 $ G $，$ H $ 处，$ FH $ 与边 $ AD $ 相交于点 $ M $，连接 $ EH $。
(1)$ \triangle EFM $ 面积的最小值为
(2)求证：$ HM = DM $；
(3)若 $ \triangle EFH $ 是以 $ EH $ 为腰的等腰三角形，求 $ AE $ 的长。
(1)$ \triangle EFM $ 面积的最小值为
8
；(2)求证：$ HM = DM $；
(3)若 $ \triangle EFH $ 是以 $ EH $ 为腰的等腰三角形，求 $ AE $ 的长。
答案：
22. (1) 8 (2) 如图①，连接FD. 由折叠的性质，可得∠G = ∠A = ∠GHF = ∠B = 90°，AE = GE，AB = GH.
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AB = CD，∠A = ∠B = ∠C = ∠ADC = 90°.
∴ CD = GH，∠G = ∠C = 90°.
∵ AE = CF，
∴ CF = GE. 在△HGE和△DCF中，$\begin{cases}HG = DC \\ ∠G = ∠C \\ GE = CF\end{cases}$，
∴ △HGE ≌ △DCF.
∴ EH = FD，∠EHG = ∠FDC.
∴ 易得∠EHM = ∠FDM. 在△HME和△DMF中，$\begin{cases}∠HME = ∠DMF \\ ∠EHM = ∠FDM \\ EH = FD\end{cases}$，
∴ △HME ≌ △DMF.
∴ HM = DM. (3)
∵ △EFH是以EH为腰的等腰三角形，
∴ 分两种情况讨论. ① 当EH = EF时，如图②，连接EB，过点E作EN ⊥ BC于点N. 由折叠的性质，可得BE = HE，
∴ BE = EF.
∵ EN ⊥ BC，
∴ BN = NF.
∵ ∠A = ∠ABC = 90°，EN ⊥ BC，
∴ 四边形ABNE为矩形.
∴ AE = BN.
∵ AE = CF，
∴ BN = NF = CF.
∵ BC = 8，
∴ BN = NF = CF = $\frac{8}{3}$.
∴ AE = CF = $\frac{8}{3}$. ② 当EH = HF时，∠HEF = ∠HFE. 由折叠的性质，可得∠BFE = ∠HFE，
∴ ∠BFE = ∠HEF.
∴ HE//BF.
∴ 此时点H落在AD上. 如图③，连接BE. 由折叠的性质，可得BE = HE，BF = HF. 又
∵ EH = HF，
∴ EH = BF.
∵ AE = CF，
∴ 易得点D与点H，M重合. 设AE = x，则EH = BE = 8 - x.
∵ ∠A = 90°，
∴ AB² + AE² = BE²，即4² + x² = (8 - x)²，解得x = 3.
∴ AE = 3. 综上所述，AE的长为$\frac{8}{3}$或3
22. (1) 8 (2) 如图①，连接FD. 由折叠的性质，可得∠G = ∠A = ∠GHF = ∠B = 90°，AE = GE，AB = GH.
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AB = CD，∠A = ∠B = ∠C = ∠ADC = 90°.
∴ CD = GH，∠G = ∠C = 90°.
∵ AE = CF，
∴ CF = GE. 在△HGE和△DCF中，$\begin{cases}HG = DC \\ ∠G = ∠C \\ GE = CF\end{cases}$，
∴ △HGE ≌ △DCF.
∴ EH = FD，∠EHG = ∠FDC.
∴ 易得∠EHM = ∠FDM. 在△HME和△DMF中，$\begin{cases}∠HME = ∠DMF \\ ∠EHM = ∠FDM \\ EH = FD\end{cases}$，
∴ △HME ≌ △DMF.
∴ HM = DM. (3)
∵ △EFH是以EH为腰的等腰三角形，
∴ 分两种情况讨论. ① 当EH = EF时，如图②，连接EB，过点E作EN ⊥ BC于点N. 由折叠的性质，可得BE = HE，
∴ BE = EF.
∵ EN ⊥ BC，
∴ BN = NF.
∵ ∠A = ∠ABC = 90°，EN ⊥ BC，
∴ 四边形ABNE为矩形.
∴ AE = BN.
∵ AE = CF，
∴ BN = NF = CF.
∵ BC = 8，
∴ BN = NF = CF = $\frac{8}{3}$.
∴ AE = CF = $\frac{8}{3}$. ② 当EH = HF时，∠HEF = ∠HFE. 由折叠的性质，可得∠BFE = ∠HFE，
∴ ∠BFE = ∠HEF.
∴ HE//BF.
∴ 此时点H落在AD上. 如图③，连接BE. 由折叠的性质，可得BE = HE，BF = HF. 又
∵ EH = HF，
∴ EH = BF.
∵ AE = CF，
∴ 易得点D与点H，M重合. 设AE = x，则EH = BE = 8 - x.
∵ ∠A = 90°，
∴ AB² + AE² = BE²，即4² + x² = (8 - x)²，解得x = 3.
∴ AE = 3. 综上所述，AE的长为$\frac{8}{3}$或3