1. 若二次根式$\sqrt{3a + 2}$在实数范围内有意义，则$a$的取值范围是(
A.$a \geqslant -\frac{2}{3}$
B.$a ＜ -\frac{2}{3}$
C.$a \leqslant -\frac{2}{3}$
D.$a ＞ -\frac{2}{3}$
A
)A.$a \geqslant -\frac{2}{3}$
B.$a ＜ -\frac{2}{3}$
C.$a \leqslant -\frac{2}{3}$
D.$a ＞ -\frac{2}{3}$
答案：1. A
解析：
要使二次根式$\sqrt{3a + 2}$在实数范围内有意义，被开方数必须是非负数，即：
$3a + 2 \geq 0$
解不等式：
$3a \geq -2$
$a \geq -\frac{2}{3}$
A
$3a + 2 \geq 0$
解不等式：
$3a \geq -2$
$a \geq -\frac{2}{3}$
A
2. 一个多边形每一个内角为$150^{\circ}$，则这个多边形的边数为(
A.10
B.12
C.13
D.15
B
)A.10
B.12
C.13
D.15
答案：2. B
解析：
设这个多边形的边数为$n$。
因为多边形的内角和公式为$(n - 2)×180^{\circ}$，且该多边形每个内角为$150^{\circ}$，所以可得方程：
$(n - 2)×180^{\circ} = 150^{\circ}×n$
$180n - 360 = 150n$
$180n - 150n = 360$
$30n = 360$
$n = 12$
B
因为多边形的内角和公式为$(n - 2)×180^{\circ}$，且该多边形每个内角为$150^{\circ}$，所以可得方程：
$(n - 2)×180^{\circ} = 150^{\circ}×n$
$180n - 360 = 150n$
$180n - 150n = 360$
$30n = 360$
$n = 12$
B
3. 如图，在$\triangle ABC$中，$D$，$E$分别是边$AB$，$BC$的中点，点$F$在$DE$的延长线上. 添加一个条件，使得四边形$ADFC$为平行四边形，则这个条件可以是(
A.$\angle B = \angle F$
B.$DE = EF$
C.$AC = CF$
D.$AD = CF$
B
)A.$\angle B = \angle F$
B.$DE = EF$
C.$AC = CF$
D.$AD = CF$
答案：3. B
解析：
证明：
∵D，E分别是边AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//AC，且DE=$\frac{1}{2}$AC.
若添加条件DE=EF，则DF=DE+EF=2DE=AC.
∵DF//AC且DF=AC，
∴四边形ADFC为平行四边形.
B
∵D，E分别是边AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//AC，且DE=$\frac{1}{2}$AC.
若添加条件DE=EF，则DF=DE+EF=2DE=AC.
∵DF//AC且DF=AC，
∴四边形ADFC为平行四边形.
B
4. 若$\sqrt{2} = m$，$\sqrt{35} = n$，则$\sqrt{\frac{7}{10}}$可以表示为(
A.$\frac{mn}{10}$
B.$\frac{m + n}{10}$
C.$\frac{10}{mn}$
D.$\frac{10}{m + n}$
A
)A.$\frac{mn}{10}$
B.$\frac{m + n}{10}$
C.$\frac{10}{mn}$
D.$\frac{10}{m + n}$
答案：4. A
解析：
$\sqrt{\frac{7}{10}}=\sqrt{\frac{7×10}{10×10}}=\frac{\sqrt{70}}{10}=\frac{\sqrt{2×35}}{10}=\frac{\sqrt{2}×\sqrt{35}}{10}=\frac{mn}{10}$，A
5. 《九章算术》是我国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数$a$，$b$，$c$的计算公式：$a = \frac{1}{2}(m^{2} - n^{2})$，$b = mn$，$c = \frac{1}{2}(m^{2} + n^{2})$，其中$m ＞ n ＞ 0$，$m$，$n$是互质的奇数. 下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是(
A.3，4，5
B.5，12，13
C.6，8，10
D.7，24，25
C
)A.3，4，5
B.5，12，13
C.6，8，10
D.7，24，25
答案：5. C
解析：
A. 令$m=3$，$n=1$（$m＞n＞0$，互质奇数），则$a=\frac{1}{2}(3^{2}-1^{2})=4$，$b=3×1=3$，$c=\frac{1}{2}(3^{2}+1^{2})=5$，可得3，4，5。
B. 令$m=5$，$n=1$（$m＞n＞0$，互质奇数），则$a=\frac{1}{2}(5^{2}-1^{2})=12$，$b=5×1=5$，$c=\frac{1}{2}(5^{2}+1^{2})=13$，可得5，12，13。
C. 6，8，10是3，4，5的倍数，原公式中$m$，$n$为互质奇数，计算结果$a$，$b$，$c$无公因数，不能直接得出。
D. 令$m=7$，$n=1$（$m＞n＞0$，互质奇数），则$a=\frac{1}{2}(7^{2}-1^{2})=24$，$b=7×1=7$，$c=\frac{1}{2}(7^{2}+1^{2})=25$，可得7，24，25。
C
B. 令$m=5$，$n=1$（$m＞n＞0$，互质奇数），则$a=\frac{1}{2}(5^{2}-1^{2})=12$，$b=5×1=5$，$c=\frac{1}{2}(5^{2}+1^{2})=13$，可得5，12，13。
C. 6，8，10是3，4，5的倍数，原公式中$m$，$n$为互质奇数，计算结果$a$，$b$，$c$无公因数，不能直接得出。
D. 令$m=7$，$n=1$（$m＞n＞0$，互质奇数），则$a=\frac{1}{2}(7^{2}-1^{2})=24$，$b=7×1=7$，$c=\frac{1}{2}(7^{2}+1^{2})=25$，可得7，24，25。
C
6. 如图，四边形$OABC$为矩形，点$A$，$C$分别在$x$轴和$y$轴上，连接$AC$，点$B$的坐标为$(8,6)$，以点$A$为圆心，任意长为半径画弧，分别交$AC$，$AO$于点$M$，$N$，再分别以点$M$，$N$为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧，两弧交于点$Q$，作射线$AQ$交$y$轴于点$D$，则点$D$的坐标为(
A.$(0,1)$
B.$(0,\frac{8}{3})$
C.$(0,\frac{5}{3})$
D.$(0,2)$
B
)A.$(0,1)$
B.$(0,\frac{8}{3})$
C.$(0,\frac{5}{3})$
D.$(0,2)$
答案：6. B
解析：
解：
∵四边形$OABC$为矩形，点$B(8,6)$，
∴$OA=8$，$OC=6$，$∠AOC=90°$。
由作图知，$AQ$平分$∠OAC$，设$OD=m$，则$CD=6 - m$。
∵$AQ$平分$∠OAC$，$∠AOD=90°$，过$D$作$DE⊥AC$于$E$，则$DE=OD=m$。
在$Rt△AOC$中，$AC=\sqrt{OA^{2}+OC^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=10$。
$S_{△AOC}=S_{△AOD}+S_{△ACD}$，即$\frac{1}{2}×8×6=\frac{1}{2}×8×m+\frac{1}{2}×10×m$，
$24 = 4m + 5m$，$9m=24$，$m=\frac{8}{3}$。
∴点$D$的坐标为$(0,\frac{8}{3})$。
答案：B
∵四边形$OABC$为矩形，点$B(8,6)$，
∴$OA=8$，$OC=6$，$∠AOC=90°$。
由作图知，$AQ$平分$∠OAC$，设$OD=m$，则$CD=6 - m$。
∵$AQ$平分$∠OAC$，$∠AOD=90°$，过$D$作$DE⊥AC$于$E$，则$DE=OD=m$。
在$Rt△AOC$中，$AC=\sqrt{OA^{2}+OC^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=10$。
$S_{△AOC}=S_{△AOD}+S_{△ACD}$，即$\frac{1}{2}×8×6=\frac{1}{2}×8×m+\frac{1}{2}×10×m$，
$24 = 4m + 5m$，$9m=24$，$m=\frac{8}{3}$。
∴点$D$的坐标为$(0,\frac{8}{3})$。
答案：B
7. 如图，在$\triangle ABC$和$\triangle ABD$中，$AB = AC = AD$，$AC ⊥ AD$，$AE ⊥ BC$于点$E$，$AE$的反向延长线与$BD$交于点$F$，连接$CD$，则线段$BF$，$DF$，$CD$之间的关系为(
A.$BF - DF = CD$
B.$BF + DF = CD$
C.$BF^{2} + DF^{2} = CD^{2}$
D.$2BF - 2DF = CD$
C
)A.$BF - DF = CD$
B.$BF + DF = CD$
C.$BF^{2} + DF^{2} = CD^{2}$
D.$2BF - 2DF = CD$
答案：7. C
解析：
证明：过点$D$作$DG ⊥ AF$交$AF$的延长线于点$G$。
$\because AB = AC$，$AE ⊥ BC$，$\therefore \angle BAE = \angle CAE$。
$\because AC ⊥ AD$，$\therefore \angle CAD = 90°$，即$\angle CAE + \angle DAG = 90°$。
$\because DG ⊥ AF$，$\therefore \angle DGA = 90°$，$\angle ADG + \angle DAG = 90°$，$\therefore \angle CAE = \angle ADG$。
在$\triangle ABE$和$\triangle DAG$中，
$\begin{cases}\angle AEB = \angle DGA = 90° \\\angle BAE = \angle ADG \\AB = AD\end{cases}$
$\therefore \triangle ABE \cong \triangle DAG$（AAS），$\therefore AE = DG$，$BE = AG$。
在$\triangle AEF$和$\triangle DGF$中，
$\begin{cases}\angle AEF = \angle DGF = 90° \\\angle AFE = \angle DFG \\AE = DG\end{cases}$
$\therefore \triangle AEF \cong \triangle DGF$（AAS），$\therefore AF = GF$，$EF = GF$。
设$BF = x$，$DF = y$，$EF = GF = m$，$AF = n$，则$AG = AF + FG = n + m$，$BE = AG = n + m$，$AE = n$。
在$Rt\triangle BEF$中，$BF^2 = BE^2 + EF^2$，即$x^2 = (n + m)^2 + m^2$。
在$Rt\triangle DGF$中，$DF^2 = DG^2 + GF^2$，$\because DG = AE = n$，$\therefore y^2 = n^2 + m^2$。
$\because AC = AD$，$\angle CAD = 90°$，$\therefore CD^2 = AC^2 + AD^2 = 2AD^2$。
在$Rt\triangle ABD$中，$BD = BF + FD = x + y$，$AB = AD$，$\therefore BD^2 = AB^2 + AD^2 = 2AD^2$，$\therefore CD = BD$。
又$\because BD^2 = (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$，而$x^2 + y^2 = (n + m)^2 + m^2 + n^2 + m^2 = 2n^2 + 2nm + 2m^2$，$2AD^2 = 2(AE^2 + BE^2) = 2(n^2 + (n + m)^2) = 2(2n^2 + 2nm + m^2) = 4n^2 + 4nm + 2m^2$，$\therefore x^2 + y^2 = 2AD^2 = CD^2$，即$BF^2 + DF^2 = CD^2$。
C
$\because AB = AC$，$AE ⊥ BC$，$\therefore \angle BAE = \angle CAE$。
$\because AC ⊥ AD$，$\therefore \angle CAD = 90°$，即$\angle CAE + \angle DAG = 90°$。
$\because DG ⊥ AF$，$\therefore \angle DGA = 90°$，$\angle ADG + \angle DAG = 90°$，$\therefore \angle CAE = \angle ADG$。
在$\triangle ABE$和$\triangle DAG$中，
$\begin{cases}\angle AEB = \angle DGA = 90° \\\angle BAE = \angle ADG \\AB = AD\end{cases}$
$\therefore \triangle ABE \cong \triangle DAG$（AAS），$\therefore AE = DG$，$BE = AG$。
在$\triangle AEF$和$\triangle DGF$中，
$\begin{cases}\angle AEF = \angle DGF = 90° \\\angle AFE = \angle DFG \\AE = DG\end{cases}$
$\therefore \triangle AEF \cong \triangle DGF$（AAS），$\therefore AF = GF$，$EF = GF$。
设$BF = x$，$DF = y$，$EF = GF = m$，$AF = n$，则$AG = AF + FG = n + m$，$BE = AG = n + m$，$AE = n$。
在$Rt\triangle BEF$中，$BF^2 = BE^2 + EF^2$，即$x^2 = (n + m)^2 + m^2$。
在$Rt\triangle DGF$中，$DF^2 = DG^2 + GF^2$，$\because DG = AE = n$，$\therefore y^2 = n^2 + m^2$。
$\because AC = AD$，$\angle CAD = 90°$，$\therefore CD^2 = AC^2 + AD^2 = 2AD^2$。
在$Rt\triangle ABD$中，$BD = BF + FD = x + y$，$AB = AD$，$\therefore BD^2 = AB^2 + AD^2 = 2AD^2$，$\therefore CD = BD$。
又$\because BD^2 = (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$，而$x^2 + y^2 = (n + m)^2 + m^2 + n^2 + m^2 = 2n^2 + 2nm + 2m^2$，$2AD^2 = 2(AE^2 + BE^2) = 2(n^2 + (n + m)^2) = 2(2n^2 + 2nm + m^2) = 4n^2 + 4nm + 2m^2$，$\therefore x^2 + y^2 = 2AD^2 = CD^2$，即$BF^2 + DF^2 = CD^2$。
C