8. 如图，以$Rt\triangle ABC$的斜边$BC$为边，在$Rt\triangle ABC$的同侧作正方形$BCEF$，$O$为正方形对角线的交点，连接$AO$。若$AB = 4$，$AO = 6\sqrt{2}$，则$AC$的长为(
A.$12\sqrt{2}$
B.16
C.$8 + 6\sqrt{2}$
D.$4 + 6\sqrt{2}$
B
)A.$12\sqrt{2}$
B.16
C.$8 + 6\sqrt{2}$
D.$4 + 6\sqrt{2}$
答案：8. B
解析：
证明：过点$O$作$OM ⊥ AB$交$BA$的延长线于点$M$，作$ON ⊥ AC$于点$N$。
因为四边形$BCEF$是正方形，$O$为对角线交点，所以$OB = OC$，$\angle BOC = 90°$，$\angle OBC=\angle OCB = 45°$。
易证$\triangle OMB \cong \triangle ONC$（AAS），则$OM = ON$，$BM = CN$。
设$AM = AN = x$，$OM = ON = y$。
在$Rt\triangle AMO$中，$x^2 + y^2=(6\sqrt{2})^2 = 72$。
因为$AB = 4$，所以$BM = AB + AM = 4 + x$，则$CN = 4 + x$，$AC = AN + CN = x + 4 + x = 4 + 2x$。
又因为$AB ⊥ AC$，$OM ⊥ AB$，$ON ⊥ AC$，所以四边形$AMON$是矩形，又$OM = ON$，故为正方形，所以$x = y$。
联立$x^2 + x^2 = 72$，解得$x = 6$（负值舍去）。
则$AC = 4 + 2x = 4 + 12 = 16$。
答案：B
因为四边形$BCEF$是正方形，$O$为对角线交点，所以$OB = OC$，$\angle BOC = 90°$，$\angle OBC=\angle OCB = 45°$。
易证$\triangle OMB \cong \triangle ONC$（AAS），则$OM = ON$，$BM = CN$。
设$AM = AN = x$，$OM = ON = y$。
在$Rt\triangle AMO$中，$x^2 + y^2=(6\sqrt{2})^2 = 72$。
因为$AB = 4$，所以$BM = AB + AM = 4 + x$，则$CN = 4 + x$，$AC = AN + CN = x + 4 + x = 4 + 2x$。
又因为$AB ⊥ AC$，$OM ⊥ AB$，$ON ⊥ AC$，所以四边形$AMON$是矩形，又$OM = ON$，故为正方形，所以$x = y$。
联立$x^2 + x^2 = 72$，解得$x = 6$（负值舍去）。
则$AC = 4 + 2x = 4 + 12 = 16$。
答案：B
9. 如图，在四边形$ABCD$中，$AD // BC$，$\angle ABC + \angle DCB = 90^{\circ}$，且$BC = 2AD$，以$AB$，$BC$，$DC$为边向外作正方形，其面积分别为$S_{1}$，$S_{2}$，$S_{3}$。若$S_{1} = 3$，$S_{3} = 9$，则$S_{2}$的值为(
A.12
B.18
C.24
D.48
D
)A.12
B.18
C.24
D.48
答案：9. D
解析：
解：过点$A$作$AE // CD$交$BC$于点$E$。
$\because AD // BC$，$AE // CD$，
$\therefore$四边形$AECD$是平行四边形，
$\therefore EC = AD$，$AE = CD$。
$\because BC = 2AD$，$\therefore BE = BC - EC = AD$。
$\because \angle ABC + \angle DCB = 90^{\circ}$，$\angle AEB = \angle DCB$，
$\therefore \angle ABC + \angle AEB = 90^{\circ}$，$\therefore \angle BAE = 90^{\circ}$。
$\because S_{1} = AB^{2} = 3$，$S_{3} = CD^{2} = AE^{2} = 9$，
在$\mathrm{Rt}\triangle ABE$中，$BE^{2} = AB^{2} + AE^{2} = 3 + 9 = 12$，
$\therefore BE = 2\sqrt{3}$，$BC = 2BE = 4\sqrt{3}$，
$\therefore S_{2} = BC^{2} = (4\sqrt{3})^{2} = 48$。
答案：D
$\because AD // BC$，$AE // CD$，
$\therefore$四边形$AECD$是平行四边形，
$\therefore EC = AD$，$AE = CD$。
$\because BC = 2AD$，$\therefore BE = BC - EC = AD$。
$\because \angle ABC + \angle DCB = 90^{\circ}$，$\angle AEB = \angle DCB$，
$\therefore \angle ABC + \angle AEB = 90^{\circ}$，$\therefore \angle BAE = 90^{\circ}$。
$\because S_{1} = AB^{2} = 3$，$S_{3} = CD^{2} = AE^{2} = 9$，
在$\mathrm{Rt}\triangle ABE$中，$BE^{2} = AB^{2} + AE^{2} = 3 + 9 = 12$，
$\therefore BE = 2\sqrt{3}$，$BC = 2BE = 4\sqrt{3}$，
$\therefore S_{2} = BC^{2} = (4\sqrt{3})^{2} = 48$。
答案：D
10. 如图，在等边三角形$ABC$中，点$D$，$F$分别在$BC$，$AB$边上，且$CD = BF$，以$AD$为边作等边三角形$ADE$，连接$CF$，$EF$。当$\angle DEF = 45^{\circ}$时，$\frac{BD}{CD}$的值为(
A.$\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$
D.$\frac{\sqrt{2} + 1}{2}$
A
)A.$\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$
D.$\frac{\sqrt{2} + 1}{2}$
答案：10. A 解析：$\because \triangle ABC$是等边三角形，$\therefore AC=CB$，$\angle ACD=\angle B$。又$\because CD=BF$，$\therefore \triangle ACD\cong\triangle CBF$，$\therefore \angle ADC=\angle CFB$，$AD=CF$。$\because \triangle ADE$是等边三角形，$\therefore AD=DE$，$\therefore CF=DE$。$\because \triangle ACD\cong\triangle CBF$，$\therefore \angle DAC=\angle FCB$，$\therefore \angle BAD=\angle ACF$。$\because \angle EDB=180° - \angle ADE - \angle ADC=120° - \angle ADC$，$\angle FCB=180° - \angle B - \angle CFB=120° - \angle CFB$，$\therefore \angle EDB=\angle FCB$，$\therefore CF// DE$，$\therefore$四边形$CDEF$是平行四边形。过点$F$作$FG⊥ BC$于点$G$。$\because$四边形$CDEF$是平行四边形，$\angle DEF = 45°$，$\therefore \angle FCB=\angle DEF = 45°$，$\therefore$易得$FG=CG$。设$BG = x$，则易得$BF = 2x$，$CG = FG=\sqrt{3}x$，$\therefore CD = BF = 2x$，$\therefore BC=BG + CG=(1 + \sqrt{3})x$，$\therefore BD = BC - CD=(1 + \sqrt{3})x - 2x=(\sqrt{3} - 1)x$，$\therefore \frac{BD}{DC}=\frac{(\sqrt{3} - 1)x}{2x}=\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$。
11. 当$x = -6$时，$\sqrt{6 - 3x}$的值是
$2\sqrt{6}$
。答案：11. $2\sqrt{6}$
解析：
当$x = -6$时，$\sqrt{6 - 3x} = \sqrt{6 - 3×(-6)} = \sqrt{6 + 18} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$。
12. “尺”“寸”“丈”都是我国传统的长度单位，其中$1$丈$ = 10$尺，$1$尺$ = 10$寸。《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈。问户高、广各几何？”其译文如下：已知一矩形门的高比宽多$6$尺$8$寸，门的对角线长$1$丈，则门的高和宽各是多少？设门高$x$尺，根据题意，可列方程为
$x^{2}+(x - 6.8)^{2}=10^{2}$
。答案：12. $x^{2}+(x - 6.8)^{2}=10^{2}$
13. 如图，在数轴上作一个$5 × 5$的正方形网格，以点$O$为圆心，涂色正方形的边长$AO$为半径画弧，交数轴正半轴于点$B$，则点$B$在数轴上表示的数为
$\sqrt{13}$
。答案：13. $\sqrt{13}$
解析：
解：由图可知，涂色正方形的边长$AO$在网格中横向距离为$3$，纵向距离为$2$，根据勾股定理可得$AO = \sqrt{3^{2} + 2^{2}}=\sqrt{13}$。以点$O$为圆心，$AO$为半径画弧，交数轴正半轴于点$B$，则$OB = AO=\sqrt{13}$，所以点$B$在数轴上表示的数为$\sqrt{13}$。
$\sqrt{13}$
$\sqrt{13}$
14. 实数$a$，$b$在数轴上的位置如图所示，则化简$\vert b - a\vert - \sqrt[3]{a^{3}} + \sqrt{(b + 1)^{2}}$的结果为
1
。答案：14. 1
解析：
解：由数轴可知：$-1 ＜ b ＜ 0$，$a ＞ 1$，
$\therefore b - a ＜ 0$，$b + 1 ＞ 0$，
$\vert b - a\vert - \sqrt[3]{a^{3}} + \sqrt{(b + 1)^{2}}$
$= a - b - a + (b + 1)$
$= a - b - a + b + 1$
$= 1$
$\therefore b - a ＜ 0$，$b + 1 ＞ 0$，
$\vert b - a\vert - \sqrt[3]{a^{3}} + \sqrt{(b + 1)^{2}}$
$= a - b - a + (b + 1)$
$= a - b - a + b + 1$
$= 1$
15. 如图，菱形$ABCD$的对角线交于点$O$，$DF$为$\angle ADB$的平分线，$\angle ADB = 60^{\circ}$，$E$为$DF$的中点，连接$OE$。若菱形$ABCD$的周长为$24$，则$\triangle OED$的面积为
$\frac{9\sqrt{3}}{8}$
。答案：15. $\frac{9\sqrt{3}}{8}$
16. 如图，在四边形$ABCD$中，$\angle ABC = \angle ADC = 60^{\circ}$，$\angle BAD ＞ 90^{\circ}$，$AC ⊥ BC$，若$AB = 4\sqrt{2}$，$AD = 4$，则$\angle ACD$的度数是
$45°$
，$CD$的长为$2 + 2\sqrt{3}$
。答案：
16. $45°$ $2 + 2\sqrt{3}$ 解析：如图，过点$A$作$AE⊥ CD$于点$E$。$\because \angle ADC = 60°$，$\therefore \angle DAE = 30°$。又$\because AD = 4$，$\therefore DE=\frac{1}{2}AD = 2$。$\therefore$在$Rt\triangle AED$中，由勾股定理，得$AE=\sqrt{AD^{2}-DE^{2}}=2\sqrt{3}$。在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90°$，$\angle ABC = 60°$，$\therefore \angle BAC = 30°$，$\therefore BC=\frac{1}{2}AB = 2\sqrt{2}$。$\therefore$由勾股定理，得$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=2\sqrt{6}$。$\therefore$在$Rt\triangle AEC$中，由勾股定理，得$CE=\sqrt{AC^{2}-AE^{2}}=2\sqrt{3}$，$\therefore AE = CE$，$\therefore \triangle ACE$是等腰直角三角形，$\therefore \angle ACD = 45°$，$CD = ED + CE=2 + 2\sqrt{3}$。
16. $45°$ $2 + 2\sqrt{3}$ 解析：如图，过点$A$作$AE⊥ CD$于点$E$。$\because \angle ADC = 60°$，$\therefore \angle DAE = 30°$。又$\because AD = 4$，$\therefore DE=\frac{1}{2}AD = 2$。$\therefore$在$Rt\triangle AED$中，由勾股定理，得$AE=\sqrt{AD^{2}-DE^{2}}=2\sqrt{3}$。在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90°$，$\angle ABC = 60°$，$\therefore \angle BAC = 30°$，$\therefore BC=\frac{1}{2}AB = 2\sqrt{2}$。$\therefore$由勾股定理，得$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=2\sqrt{6}$。$\therefore$在$Rt\triangle AEC$中，由勾股定理，得$CE=\sqrt{AC^{2}-AE^{2}}=2\sqrt{3}$，$\therefore AE = CE$，$\therefore \triangle ACE$是等腰直角三角形，$\therefore \angle ACD = 45°$，$CD = ED + CE=2 + 2\sqrt{3}$。