20. （10 分）
(1) 求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（参考如图①所示的图形，写出已知、求证以及证明过程）。
(2) 如图②，在四边形$ABCD$中，$\angle BAD = 90^{\circ}$，$\angle BCD = 90^{\circ}$，$E$，$F$分别是$BD$，$AC$的中点。当$AC = 8$，$BD = 10$时，求$EF$的长。
(1) 求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（参考如图①所示的图形，写出已知、求证以及证明过程）。
(2) 如图②，在四边形$ABCD$中，$\angle BAD = 90^{\circ}$，$\angle BCD = 90^{\circ}$，$E$，$F$分别是$BD$，$AC$的中点。当$AC = 8$，$BD = 10$时，求$EF$的长。
答案：
20. (1)已知：如题图①，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90°$，$CD$是斜边$AB$上的中线。求证：$CD=\frac{1}{2}AB$。证明：延长$CD$至点$E$，使$DE = CD$，连接$AE$，$BE$，则$CD=\frac{1}{2}CE$。由题意，可得$AD = BD$，$\therefore$四边形$ACBE$是平行四边形。$\because \angle ACB = 90°$，$\therefore$四边形$ACBE$是矩形，$\therefore CE = AB$，$\therefore CD=\frac{1}{2}AB$。(2)如图，连接$AE$，$CE$。$\because \angle BAD = 90°$，$E$为$BD$的中点，$\therefore AE=\frac{1}{2}BD$。$\because \angle DCB = 90°$，$\therefore CE=\frac{1}{2}BD$，$\therefore AE = CE$。$\because F$是$AC$的中点，$\therefore EF⊥ AC$。$\because AC = 8$，$BD = 10$，$\therefore AE = 5$，$AF = 4$。在$Rt\triangle AFE$中，$EF=\sqrt{AE^{2}-AF^{2}} = 3$。
20. (1)已知：如题图①，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90°$，$CD$是斜边$AB$上的中线。求证：$CD=\frac{1}{2}AB$。证明：延长$CD$至点$E$，使$DE = CD$，连接$AE$，$BE$，则$CD=\frac{1}{2}CE$。由题意，可得$AD = BD$，$\therefore$四边形$ACBE$是平行四边形。$\because \angle ACB = 90°$，$\therefore$四边形$ACBE$是矩形，$\therefore CE = AB$，$\therefore CD=\frac{1}{2}AB$。(2)如图，连接$AE$，$CE$。$\because \angle BAD = 90°$，$E$为$BD$的中点，$\therefore AE=\frac{1}{2}BD$。$\because \angle DCB = 90°$，$\therefore CE=\frac{1}{2}BD$，$\therefore AE = CE$。$\because F$是$AC$的中点，$\therefore EF⊥ AC$。$\because AC = 8$，$BD = 10$，$\therefore AE = 5$，$AF = 4$。在$Rt\triangle AFE$中，$EF=\sqrt{AE^{2}-AF^{2}} = 3$。
21. （10 分）如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$AD ⊥ BD$，$E$是$CD$的中点，连接$OE$，过点$E$作$EF // BD$，交$BC$于点$F$。
(1) 求证：四边形$OEFB$是矩形；
(2) 若$AD = 8$，$DC = 12$，求四边形$OEFB$的面积。
(1) 求证：四边形$OEFB$是矩形；
(2) 若$AD = 8$，$DC = 12$，求四边形$OEFB$的面积。
答案：21. (1)$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore BO = DO$，$AD = BC$，$DC = AB$，$AD// BC$。$\because E$是$CD$的中点，$\therefore OE$是$\triangle BCD$的中位线，$\therefore OE// BC$。又$\because EF// BD$，$\therefore$四边形$OEFB$是平行四边形。$\because AD⊥ BD$，$AD// BC$，$\therefore BC⊥ BD$，$\therefore \angle CBD = 90°$，$\therefore$四边形$OEFB$是矩形。(2)$\because AD = 8$，$\therefore OE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD = 4$。$\because AD⊥ BD$，$AB = DC = 12$，$\therefore BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{12^{2}-8^{2}} = 4\sqrt{5}$，$\therefore OB=\frac{1}{2}BD = 2\sqrt{5}$，$\therefore$矩形$OEFB$的面积$=OB· OE = 2\sqrt{5}×4 = 8\sqrt{5}$。
解析：
(1) 证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $BO = DO$，$AD // BC$。
∵ $E$ 是 $CD$ 的中点，
∴ $OE$ 是 $\triangle BCD$ 的中位线，
∴ $OE // BC$。
∵ $EF // BD$，
∴ 四边形 $OEFB$ 是平行四边形。
∵ $AD ⊥ BD$，$AD // BC$，
∴ $BC ⊥ BD$，即 $\angle CBD = 90°$，
∴ 四边形 $OEFB$ 是矩形。
(2) 解：
∵ $AD = 8$，四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $BC = AD = 8$。
∵ $OE$ 是 $\triangle BCD$ 的中位线，
∴ $OE = \frac{1}{2}BC = 4$。
∵ $AD ⊥ BD$，$AD = 8$，$AB = DC = 12$，
∴ $BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{12^2 - 8^2} = 4\sqrt{5}$。
∵ $O$ 是 $BD$ 中点，
∴ $OB = \frac{1}{2}BD = 2\sqrt{5}$。
∴ 矩形 $OEFB$ 的面积 $= OB · OE = 2\sqrt{5} × 4 = 8\sqrt{5}$。
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $BO = DO$，$AD // BC$。
∵ $E$ 是 $CD$ 的中点，
∴ $OE$ 是 $\triangle BCD$ 的中位线，
∴ $OE // BC$。
∵ $EF // BD$，
∴ 四边形 $OEFB$ 是平行四边形。
∵ $AD ⊥ BD$，$AD // BC$，
∴ $BC ⊥ BD$，即 $\angle CBD = 90°$，
∴ 四边形 $OEFB$ 是矩形。
(2) 解：
∵ $AD = 8$，四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $BC = AD = 8$。
∵ $OE$ 是 $\triangle BCD$ 的中位线，
∴ $OE = \frac{1}{2}BC = 4$。
∵ $AD ⊥ BD$，$AD = 8$，$AB = DC = 12$，
∴ $BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{12^2 - 8^2} = 4\sqrt{5}$。
∵ $O$ 是 $BD$ 中点，
∴ $OB = \frac{1}{2}BD = 2\sqrt{5}$。
∴ 矩形 $OEFB$ 的面积 $= OB · OE = 2\sqrt{5} × 4 = 8\sqrt{5}$。