8. 如图，直线$y = -x + m$与直线$y = nx + 4n(n \neq 0)$的交点的横坐标为$-2$，则关于$x$的不等式组$-x + m ＞ nx + 4n ＞ 0$的整数解为(
A.$x = -1$
B.$x = -5$
C.$x = -4$
D.$x = -3$
D
)A.$x = -1$
B.$x = -5$
C.$x = -4$
D.$x = -3$
答案：8.D
解析：
解：
1. 由交点横坐标为$-2$，当$x=-2$时，$-x+m=nx+4n$，且此时$-x+m ＞ nx+4n$的解集为$x ＜ -2$。
2. 对于$y=nx+4n$，令$y=0$，得$nx+4n=0$，解得$x=-4$，故$nx+4n ＞ 0$的解集为$x ＞ -4$（由图像知$n＞0$）。
3. 不等式组$-x + m ＞ nx + 4n ＞ 0$的解集为$-4 ＜ x ＜ -2$，整数解为$x=-3$。
D
1. 由交点横坐标为$-2$，当$x=-2$时，$-x+m=nx+4n$，且此时$-x+m ＞ nx+4n$的解集为$x ＜ -2$。
2. 对于$y=nx+4n$，令$y=0$，得$nx+4n=0$，解得$x=-4$，故$nx+4n ＞ 0$的解集为$x ＞ -4$（由图像知$n＞0$）。
3. 不等式组$-x + m ＞ nx + 4n ＞ 0$的解集为$-4 ＜ x ＜ -2$，整数解为$x=-3$。
D
9. 甲、乙两人赛跑，两人所跑的路程$y$(米)与所用的时间$x$(分钟)的函数关系如图所示. 给出下列说法：① 比赛全程共$1500$米；② 赛跑$2$分钟时，甲、乙相距$300$米；③ 比赛结果是乙比甲领先$50$秒到达终点；④ 赛跑$3$分钟$40$秒时，乙追上甲. 其中，正确的个数为(
A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$
C
)A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$
答案：9.C 解析：①由函数图象，可得比赛全程共1500米，故①正确。②甲的速度为$\frac{1500}{5}=300(米/分)$，
∴赛跑2分钟时，甲、乙相距$300 × 2 - 300 = 300(米)$。故②正确。③由函数图象，可得乙比甲领先$0.5 × 60 = 30(秒)$到达终点，故③错误。④设赛跑2分钟后，$y_乙=kx+b$。将$(2,300)$，$(4.5,1500)$代入$y_乙=kx+b$，可得$\begin{cases}300 = 2k + b\\1500 = 4.5k + b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 480\\b = -660\end{cases}$。
∴$y_乙=480x - 660$。设$y_甲=k_1x$，将$(5,1500)$代入$y_甲=k_1x$，得$1500 = 5k_1$，解得$k_1 = 300$，
∴$y_甲=300x$。令$y_甲=y_乙$，即$300x = 480x - 660$，解得$x=\frac{11}{3}$。
∴乙追上甲用了$\frac{11}{3}$分钟，即3分钟40秒。故④正确。综上所述，正确的是①②④，共3个。
∴赛跑2分钟时，甲、乙相距$300 × 2 - 300 = 300(米)$。故②正确。③由函数图象，可得乙比甲领先$0.5 × 60 = 30(秒)$到达终点，故③错误。④设赛跑2分钟后，$y_乙=kx+b$。将$(2,300)$，$(4.5,1500)$代入$y_乙=kx+b$，可得$\begin{cases}300 = 2k + b\\1500 = 4.5k + b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 480\\b = -660\end{cases}$。
∴$y_乙=480x - 660$。设$y_甲=k_1x$，将$(5,1500)$代入$y_甲=k_1x$，得$1500 = 5k_1$，解得$k_1 = 300$，
∴$y_甲=300x$。令$y_甲=y_乙$，即$300x = 480x - 660$，解得$x=\frac{11}{3}$。
∴乙追上甲用了$\frac{11}{3}$分钟，即3分钟40秒。故④正确。综上所述，正确的是①②④，共3个。
10. 如图，点$A$的坐标为$(-1,0)$，直线$y = x - 2$与$x$轴交于点$C$，与$y$轴交于点$D$，点$B$在直线$y = x - 2$上运
A.$(\frac{1}{2},-\frac{3}{2})$
B.$(1,-1)$
C.$(\frac{1}{3},-\frac{5}{3})$
D.$(0,-2)$
动
. 当线段$AB$最短时，点$B$的坐标为(A
)A.$(\frac{1}{2},-\frac{3}{2})$
B.$(1,-1)$
C.$(\frac{1}{3},-\frac{5}{3})$
D.$(0,-2)$
答案：10.A
解析：
解：当线段$AB$最短时，$AB⊥$直线$y = x - 2$。
直线$y = x - 2$的斜率为$1$，故$AB$所在直线的斜率为$-1$。
设直线$AB$的解析式为$y=-x + b$，将$A(-1,0)$代入得：$0=1 + b$，解得$b=-1$，
即直线$AB$的解析式为$y=-x - 1$。
联立$\begin{cases}y=x - 2\\y=-x - 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\y=-\frac{3}{2}\end{cases}$。
故点$B$的坐标为$(\frac{1}{2},-\frac{3}{2})$。
A
直线$y = x - 2$的斜率为$1$，故$AB$所在直线的斜率为$-1$。
设直线$AB$的解析式为$y=-x + b$，将$A(-1,0)$代入得：$0=1 + b$，解得$b=-1$，
即直线$AB$的解析式为$y=-x - 1$。
联立$\begin{cases}y=x - 2\\y=-x - 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\y=-\frac{3}{2}\end{cases}$。
故点$B$的坐标为$(\frac{1}{2},-\frac{3}{2})$。
A
11. 一次函数$y = (3m + 1)x - 2$的函数值$y$随$x$的增大而增大，请写出一个满足条件的$m$的值：
答案不唯一，如1
.答案：11.答案不唯一，如1
12. 如图，根据图象，可得关于$x$的不等式$(k + 1)x - 3 \leqslant 0$的解集是
$x \leq 1$
.答案：12.$x \leq 1$
解析：
解：由图可知，直线$y = kx$与直线$y=-x + 3$交于点$(1,2)$，
将$(1,2)$代入$y = kx$，得$k×1=2$，即$k = 2$。
将$k = 2$代入不等式$(k + 1)x-3\leqslant0$，得$(2 + 1)x-3\leqslant0$，
即$3x-3\leqslant0$，
移项得$3x\leqslant3$，
解得$x\leqslant1$。
故不等式$(k + 1)x-3\leqslant0$的解集是$x\leqslant1$。
将$(1,2)$代入$y = kx$，得$k×1=2$，即$k = 2$。
将$k = 2$代入不等式$(k + 1)x-3\leqslant0$，得$(2 + 1)x-3\leqslant0$，
即$3x-3\leqslant0$，
移项得$3x\leqslant3$，
解得$x\leqslant1$。
故不等式$(k + 1)x-3\leqslant0$的解集是$x\leqslant1$。
13. 当$2 \leqslant x \leqslant 5$时，一次函数$y = (m + 1)x + 2m - 1$有最大值$11$，则实数$m$的值为
1
.答案：13.1
解析：
当$m + 1 ＞ 0$，即$m ＞ -1$时，函数$y=(m + 1)x + 2m - 1$在$2 \leqslant x \leqslant 5$上单调递增，最大值在$x = 5$处取得，可得$5(m + 1)+2m - 1 = 11$，解得$m = 1$；当$m + 1 ＜ 0$，即$m ＜ -1$时，函数单调递减，最大值在$x = 2$处取得，可得$2(m + 1)+2m - 1 = 11$，解得$m=\frac{5}{2}$，与$m ＜ -1$矛盾，舍去；当$m + 1 = 0$，即$m=-1$时，$y=-3$，不符合最大值为11。综上，$m = 1$。
14. 生物活动小组的同学们观察某植物生长，得到该植物高度$y(cm)$与观察时间$x$(天)的关系，画出如图所示的函数图象($CD // x$轴)，则该植物最高长到
31
$cm$.答案：14.31
解析：
解：设AB段的函数解析式为$y=kx+b$，将$(0,6)$，$(30,21)$代入得：
$\begin{cases}b=6 \\30k + b=21\end{cases}$
解得$k=\frac{1}{2}$，$b=6$，即$y=\frac{1}{2}x + 6$。
当$x=50$时，$y=\frac{1}{2}×50 + 6=31$。
因为$CD// x$轴，所以植物最高长到$31\space cm$。
31
$\begin{cases}b=6 \\30k + b=21\end{cases}$
解得$k=\frac{1}{2}$，$b=6$，即$y=\frac{1}{2}x + 6$。
当$x=50$时，$y=\frac{1}{2}×50 + 6=31$。
因为$CD// x$轴，所以植物最高长到$31\space cm$。
31
15. 如图，在平面直角坐标系中，点$A$的坐标是$(5,12)$，$B$是$x$轴负半轴上一点. $OP$平分$\angle AOB$，则$OP$所在直线对应的函数解析式为
$y=-\frac{3}{2}x$
.答案：15.$y=-\frac{3}{2}x$
解析：
解：
∵点$A$的坐标是$(5,12)$，
$\therefore OA=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=13$。
过点$A$作$AC⊥ x$轴于点$C$，则$AC=12$，$OC=5$。
$\because OP$平分$\angle AOB$，$\angle AOB$为$x$轴正半轴与射线$OA$的夹角，$B$在$x$轴负半轴，$\therefore OP$是第二、四象限的角平分线附近，设$OP$上一点$P(x,y)$（$x＜0$，$y＞0$），过$P$作$PD⊥ x$轴于$D$，$PE⊥ OA$于$E$，则$PD=PE$。
设$P(x,y)$，则$PD=|y|=y$，$OD=|x|=-x$。
直线$OA$的方程为$y=\frac{12}{5}x$，即$12x - 5y = 0$。
点$P(x,y)$到$OA$的距离$PE=\frac{|12x - 5y|}{\sqrt{12^{2}+(-5)^{2}}}=\frac{|12x - 5y|}{13}$。
$\because PD = PE$，$\therefore y=\frac{|12x - 5y|}{13}$，又$x＜0$，$y＞0$，$12x - 5y＜0$，
$\therefore y=\frac{5y - 12x}{13}$，$13y = 5y - 12x$，$8y=-12x$，$y=-\frac{3}{2}x$。
$\therefore OP$所在直线对应的函数解析式为$y=-\frac{3}{2}x$。
∵点$A$的坐标是$(5,12)$，
$\therefore OA=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=13$。
过点$A$作$AC⊥ x$轴于点$C$，则$AC=12$，$OC=5$。
$\because OP$平分$\angle AOB$，$\angle AOB$为$x$轴正半轴与射线$OA$的夹角，$B$在$x$轴负半轴，$\therefore OP$是第二、四象限的角平分线附近，设$OP$上一点$P(x,y)$（$x＜0$，$y＞0$），过$P$作$PD⊥ x$轴于$D$，$PE⊥ OA$于$E$，则$PD=PE$。
设$P(x,y)$，则$PD=|y|=y$，$OD=|x|=-x$。
直线$OA$的方程为$y=\frac{12}{5}x$，即$12x - 5y = 0$。
点$P(x,y)$到$OA$的距离$PE=\frac{|12x - 5y|}{\sqrt{12^{2}+(-5)^{2}}}=\frac{|12x - 5y|}{13}$。
$\because PD = PE$，$\therefore y=\frac{|12x - 5y|}{13}$，又$x＜0$，$y＞0$，$12x - 5y＜0$，
$\therefore y=\frac{5y - 12x}{13}$，$13y = 5y - 12x$，$8y=-12x$，$y=-\frac{3}{2}x$。
$\therefore OP$所在直线对应的函数解析式为$y=-\frac{3}{2}x$。
16. 如图，直线$y = \frac{1}{2}x - 4$与$x$轴交于点$A$，以$OA$为斜边在$x$轴上方作等腰直角三角形$OAB$，将$\triangle OAB$沿$y$轴向下平移，当点$B$落在直线$y = \frac{1}{2}x - 4$上时，$\triangle OAB$平移的距离是
6
.答案：16.6
解析：
解：令$y=0$，则$\frac{1}{2}x - 4=0$，解得$x=8$，所以点$A(8,0)$，$OA=8$。
因为$\triangle OAB$是等腰直角三角形，$OA$为斜边，所以点$B$的坐标为$(4,4)$。
设平移后点$B$的坐标为$(4,4 - h)$（$h＞0$为平移距离），代入直线$y = \frac{1}{2}x - 4$，得$4 - h=\frac{1}{2}×4 - 4$，解得$h=6$。
6
因为$\triangle OAB$是等腰直角三角形，$OA$为斜边，所以点$B$的坐标为$(4,4)$。
设平移后点$B$的坐标为$(4,4 - h)$（$h＞0$为平移距离），代入直线$y = \frac{1}{2}x - 4$，得$4 - h=\frac{1}{2}×4 - 4$，解得$h=6$。
6