20. （$10$ 分）如图，$A(1,3)$，$B(4,6)$为平面直角坐标系内的两点，$P$ 为 $x$ 轴上一点，连接 $PA$，$PB$.
（1）求直线 $AB$ 对应的函数解析式；
（2）当$\triangle PAB$ 的周长最小时，求点 $P$ 的坐标；
（3）$C(3,a)$，$D(3,a + 1)$为平面直角坐标系内的两点，在（2）的条件下，若线段 $CD$ 始终在$\triangle PAB$ 的内部（含边界），求 $a$ 的取值范围.
（1）求直线 $AB$ 对应的函数解析式；
（2）当$\triangle PAB$ 的周长最小时，求点 $P$ 的坐标；
（3）$C(3,a)$，$D(3,a + 1)$为平面直角坐标系内的两点，在（2）的条件下，若线段 $CD$ 始终在$\triangle PAB$ 的内部（含边界），求 $a$ 的取值范围.
答案：
20.(1)设直线AB对应的函数解析式为$y = kx + b(k \neq 0)$。由条件，可得$\begin{cases}3 = k + b\\6 = 4k + b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 1\\b = 2\end{cases}$。
∴直线AB对应的函数解析式为$y = x + 2$ (2)
∵$\triangle PAB$的周长要最小，且AB的长为定值，
∴$PA + PB$的值最小即可。如图①，作点A关于$x$轴的对称点$A'$，连接$A'B$交$x$轴于点P，则点$A'$的坐标为$(1,-3)$，$PA + PB$的最小值即为$A'B$的长。设直线$A'B$对应的函数解析式为$y = mx + n(m \neq 0)$。由条件，可得$\begin{cases}-3 = m + n\\6 = 4m + n\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = 3\ = -6\end{cases}$。
∴直线$A'B$对应的函数解析式为$y = 3x - 6$。令$y = 3x - 6 = 0$，则$x = 2$，
∴$P(2,0)$ (3)如图②，点C在线段PB上方(包含线段上)，点D在线段AB下方(包含线段上)。将$x = 3$代入$y = x + 2$，得$y = 5$；将$x = 3$代入$y = 3x - 6$，得$y = 3$，结合图象可知，$\begin{cases}a \geq 3\\a + 1 \leq 5\end{cases}$，解得$3 \leq a \leq 4$。
∴$a$的取值范围是$3 \leq a \leq 4$
20.(1)设直线AB对应的函数解析式为$y = kx + b(k \neq 0)$。由条件，可得$\begin{cases}3 = k + b\\6 = 4k + b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 1\\b = 2\end{cases}$。
∴直线AB对应的函数解析式为$y = x + 2$ (2)
∵$\triangle PAB$的周长要最小，且AB的长为定值，
∴$PA + PB$的值最小即可。如图①，作点A关于$x$轴的对称点$A'$，连接$A'B$交$x$轴于点P，则点$A'$的坐标为$(1,-3)$，$PA + PB$的最小值即为$A'B$的长。设直线$A'B$对应的函数解析式为$y = mx + n(m \neq 0)$。由条件，可得$\begin{cases}-3 = m + n\\6 = 4m + n\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = 3\ = -6\end{cases}$。
∴直线$A'B$对应的函数解析式为$y = 3x - 6$。令$y = 3x - 6 = 0$，则$x = 2$，
∴$P(2,0)$ (3)如图②，点C在线段PB上方(包含线段上)，点D在线段AB下方(包含线段上)。将$x = 3$代入$y = x + 2$，得$y = 5$；将$x = 3$代入$y = 3x - 6$，得$y = 3$，结合图象可知，$\begin{cases}a \geq 3\\a + 1 \leq 5\end{cases}$，解得$3 \leq a \leq 4$。
∴$a$的取值范围是$3 \leq a \leq 4$
21. ($12$ 分)$2024$ 年某市中招体育考试的总分值提高到 $100$ 分，考试项目增加至 $5$ 项，其中技能类考试项目除篮球和足球外增加了排球垫球. 某校为更好开展排球课程，计划购买一批排球，该市两家体育用品商店分别推出了自己的优惠方案：
$A$ 商店：若购买超过 $20$ 个，则超过部分按标价的八折出售.
$B$ 商店：若购买超过 $15$ 个，则超过部分按标价的九折出售，然后超过部分每个再优惠 $10$ 元.
若用 $x$(个)表示购买排球的数量，$y$(元)表示购买排球的价格，其函数图象如图所示.
(1)分别求出两家商店每个排球的标价.
(2)当 $x ＞ 20$ 时，$A$ 商店的应付总价 $y_{A}$(元)与数量 $x$(个)之间的函数解析式为
(3)请求出图中点 $M$ 的坐标，并简要说明点 $M$ 表示的实际意义.
(4)根据图象直接写出选择哪家商店购买排球更合算.
$A$ 商店：若购买超过 $20$ 个，则超过部分按标价的八折出售.
$B$ 商店：若购买超过 $15$ 个，则超过部分按标价的九折出售，然后超过部分每个再优惠 $10$ 元.
若用 $x$(个)表示购买排球的数量，$y$(元)表示购买排球的价格，其函数图象如图所示.
(1)分别求出两家商店每个排球的标价.
(2)当 $x ＞ 20$ 时，$A$ 商店的应付总价 $y_{A}$(元)与数量 $x$(个)之间的函数解析式为
$y_A = 96x + 480$
；当 $x ＞ 15$ 时，$B$ 商店的应付总价 $y_{B}$(元)与数量 $x$(个)之间的函数解析式为$y_B = 98x + 330$
.(3)请求出图中点 $M$ 的坐标，并简要说明点 $M$ 表示的实际意义.
(4)根据图象直接写出选择哪家商店购买排球更合算.
答案：21.(1)
∵在A商店购买20个排球的总价为2400元，
∴每个排球的标价为$2400 ÷ 20 = 120(元)$。
∵在B商店购买15个排球的总价为1800元，
∴每个排球的标价为$1800 ÷ 15 = 120(元)$。
∴两家商店排球的标价是一样的，且每个排球的标价是120元
(2)$y_A = 96x + 480$ $y_B = 98x + 330$ 解析：当$x ＞ 20$时，$y_A = 120 × 20 + 120 × 0.8(x - 20) = 96x + 480$，
∴$y_A$(元)与数量$x$(个)之间的函数解析式为$y_A = 96x + 480$。当$x ＞ 15$时，$y_B = 120 × 15 + (120 × 0.9 - 10) × (x - 15) = 98x + 330$，
∴$y_B$(元)与数量$x$(个)之间的函数解析式为$y_B = 98x + 330$。
(3)由图象可知，M是两个函数图象的交点，令$96x + 480 = 98x + 330$，解得$x = 75$，此时$y = 96 × 75 + 480 = 7680$，
∴点M的坐标为$(75,7680)$。
∴点M表示的实际意义为当购买75个排球时，在A，B两家商店所付的钱数相同，均为7680元 (4)观察图象可知，当$0 \leq x \leq 15$或$x = 75$时，在A，B两家商店购买排球所付的钱数相同；当$15 ＜ x ＜ 75$时，选择B商店购买排球更合算；当$x ＞ 75$时，选择A商店购买排球更合算
∵在A商店购买20个排球的总价为2400元，
∴每个排球的标价为$2400 ÷ 20 = 120(元)$。
∵在B商店购买15个排球的总价为1800元，
∴每个排球的标价为$1800 ÷ 15 = 120(元)$。
∴两家商店排球的标价是一样的，且每个排球的标价是120元
(2)$y_A = 96x + 480$ $y_B = 98x + 330$ 解析：当$x ＞ 20$时，$y_A = 120 × 20 + 120 × 0.8(x - 20) = 96x + 480$，
∴$y_A$(元)与数量$x$(个)之间的函数解析式为$y_A = 96x + 480$。当$x ＞ 15$时，$y_B = 120 × 15 + (120 × 0.9 - 10) × (x - 15) = 98x + 330$，
∴$y_B$(元)与数量$x$(个)之间的函数解析式为$y_B = 98x + 330$。
(3)由图象可知，M是两个函数图象的交点，令$96x + 480 = 98x + 330$，解得$x = 75$，此时$y = 96 × 75 + 480 = 7680$，
∴点M的坐标为$(75,7680)$。
∴点M表示的实际意义为当购买75个排球时，在A，B两家商店所付的钱数相同，均为7680元 (4)观察图象可知，当$0 \leq x \leq 15$或$x = 75$时，在A，B两家商店购买排球所付的钱数相同；当$15 ＜ x ＜ 75$时，选择B商店购买排球更合算；当$x ＞ 75$时，选择A商店购买排球更合算