19. （8分）已知$x = \dfrac{1}{2}(\sqrt{7} + \sqrt{3})$，$y = \dfrac{1}{2}(\sqrt{7} - \sqrt{3})$，求下面各代数式的值：
（1）$x^{2} + 3xy + y^{2}$；
（2）$\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}$.
（1）$x^{2} + 3xy + y^{2}$；
（2）$\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}$.
答案：$19.\because x=\frac{1}{2}(\sqrt{7}+\sqrt{3}),y=\frac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{3}),\therefore x+y=\sqrt{7},xy=1.(1)x^{2}+3xy+y^{2}=(x+y)^{2}+xy=(\sqrt{7})^{2}+1=8 (2)\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x^{2}+y^{2}}{xy}=\frac{(x+y)^{2}-2xy}{xy}=\frac{(\sqrt{7})^{2}-2×1}{1}=5$
解析：
$\because x=\dfrac{1}{2}(\sqrt{7}+\sqrt{3})$，$y=\dfrac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{3})$，
$\therefore x+y=\dfrac{1}{2}(\sqrt{7}+\sqrt{3})+\dfrac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{3})=\sqrt{7}$，
$xy=\dfrac{1}{2}(\sqrt{7}+\sqrt{3})×\dfrac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{3})=\dfrac{1}{4}×(7 - 3)=1$。
（1）$x^{2}+3xy + y^{2}=(x + y)^{2}+xy=(\sqrt{7})^{2}+1=7 + 1=8$；
（2）$\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=\dfrac{x^{2}+y^{2}}{xy}=\dfrac{(x + y)^{2}-2xy}{xy}=\dfrac{(\sqrt{7})^{2}-2×1}{1}=\dfrac{7 - 2}{1}=5$。
$\therefore x+y=\dfrac{1}{2}(\sqrt{7}+\sqrt{3})+\dfrac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{3})=\sqrt{7}$，
$xy=\dfrac{1}{2}(\sqrt{7}+\sqrt{3})×\dfrac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{3})=\dfrac{1}{4}×(7 - 3)=1$。
（1）$x^{2}+3xy + y^{2}=(x + y)^{2}+xy=(\sqrt{7})^{2}+1=7 + 1=8$；
（2）$\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=\dfrac{x^{2}+y^{2}}{xy}=\dfrac{(x + y)^{2}-2xy}{xy}=\dfrac{(\sqrt{7})^{2}-2×1}{1}=\dfrac{7 - 2}{1}=5$。
20. （8分）某小区有一块长方形绿地$ABCD$，长$BC$为$8\sqrt{2}$米，宽$AB$为$5\sqrt{2}$米，现要在长方形绿地中修建两个形状、大小相同的小长方形花坛（图中涂色部分），每个小长方形花坛的长为$(\sqrt{13} + 1)$米，宽为$(\sqrt{13} - 1)$米.
（1）求长方形绿地$ABCD$的周长；
（2）除花坛外，其他地方全修建成通道，通道需铺上造价为$55$元/米$^{2}$的地砖，则购买地砖需要多少元？
（1）求长方形绿地$ABCD$的周长；
（2）除花坛外，其他地方全修建成通道，通道需铺上造价为$55$元/米$^{2}$的地砖，则购买地砖需要多少元？
答案：$20.(1)2×(8\sqrt{2}+5\sqrt{2})=26\sqrt{2}($米$),\therefore$长方形绿地ABCD的周长为$26\sqrt{2}$米$ (2)8\sqrt{2}×5\sqrt{2}-2×(\sqrt{13}+1)×(\sqrt{13}-1)=80-2×12=56($平方米),56×55=3080(元$),\therefore$购买地砖需要3080元
解析：
（1）长方形绿地$ABCD$的周长为：$2×(8\sqrt{2} + 5\sqrt{2}) = 2×13\sqrt{2} = 26\sqrt{2}$（米）
（2）长方形绿地$ABCD$的面积为：$8\sqrt{2}×5\sqrt{2} = 8×5×(\sqrt{2})^2 = 40×2 = 80$（平方米）
每个小长方形花坛的面积为：$(\sqrt{13} + 1)(\sqrt{13} - 1) = (\sqrt{13})^2 - 1^2 = 13 - 1 = 12$（平方米）
两个小长方形花坛的总面积为：$2×12 = 24$（平方米）
通道面积为：$80 - 24 = 56$（平方米）
购买地砖需要：$56×55 = 3080$（元）
（2）长方形绿地$ABCD$的面积为：$8\sqrt{2}×5\sqrt{2} = 8×5×(\sqrt{2})^2 = 40×2 = 80$（平方米）
每个小长方形花坛的面积为：$(\sqrt{13} + 1)(\sqrt{13} - 1) = (\sqrt{13})^2 - 1^2 = 13 - 1 = 12$（平方米）
两个小长方形花坛的总面积为：$2×12 = 24$（平方米）
通道面积为：$80 - 24 = 56$（平方米）
购买地砖需要：$56×55 = 3080$（元）