答案：
24.(1)补全图形如图①所示 (2)如图②，过点$B$作$BE // MN$，交$CD$于点$E$。
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$BM // NE$。
∴四边形$MBEN$为平行四边形。
∴$MN = BE$。
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AB = BC$，$\angle ABP = \angle C = 90^{\circ}$。
∴$\angle CBE + \angle ABE = 90^{\circ}$。
∵$BE // MN$，$AP ⊥ MN$，
∴$AP ⊥ BE$。
∴$\angle BAP + \angle ABE = 90^{\circ}$。
∴$\angle BAP = \angle CBE$。在$\triangle ABP$和$\triangle BCE$中，$\begin{cases} \angle BAP = \angle CBE \\ AB = BC \\ \angle ABP = \angle C \end{cases}$，
∴$\triangle ABP \cong \triangle BCE$。
∴$AP = BE$。
∴$AP = MN$ (3)$HQ = \frac {1}{2}MN$ 如图③，连接$AQ$，$PQ$，$CQ$。由题意，易得$AQ = CQ$。
∵$MN$垂直平分$AP$，
∴$AQ = PQ$。
∴$PQ = CQ$。
∴$\angle QPC = \angle QCP$。
∵易得$\angle QAB = \angle QCP$，
∴$\angle QAB = \angle QPC$。
∴$\angle QAB + \angle QPB = \angle QPC + \angle QPB = 180^{\circ}$。
∴$\angle ABC + \angle AQP = 180^{\circ}$。
∴$\angle AQP = 90^{\circ}$。又
∵易得$H$为$AP$的中点，
∴$HQ = \frac {1}{2}AP$。由(2)，知$AP = MN$，
∴$HQ = \frac {1}{2}MN$