1. 下列各组数中，能作为直角三角形的三边长的是(
A.6，8，11
B.5，12，23
C.4，5，6
D.9，12，15
D
)A.6，8，11
B.5，12，23
C.4，5，6
D.9，12，15
答案：1.D
解析：
A. $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，$11^2 = 121$，$100 \neq 121$，不能作为直角三角形三边长。
B. $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，$23^2 = 529$，$169 \neq 529$，不能作为直角三角形三边长。
C. $4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$，$6^2 = 36$，$41 \neq 36$，不能作为直角三角形三边长。
D. $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$，$15^2 = 225$，$225 = 225$，能作为直角三角形三边长。
D
B. $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，$23^2 = 529$，$169 \neq 529$，不能作为直角三角形三边长。
C. $4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$，$6^2 = 36$，$41 \neq 36$，不能作为直角三角形三边长。
D. $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$，$15^2 = 225$，$225 = 225$，能作为直角三角形三边长。
D
2. 在 Rt△ABC 中，a，b，c 分别为∠A，∠B，∠C 的对边长，∠C = 90°，a : b = 3 : 4，c = 10，则△ABC 的面积为(
A.24
B.12
C.28
D.30
A
)A.24
B.12
C.28
D.30
答案：2.A
解析：
解：设$a = 3k$，$b = 4k$（$k＞0$）。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90°$，由勾股定理得：$a^2 + b^2 = c^2$。
即$(3k)^2 + (4k)^2 = 10^2$，$9k^2 + 16k^2 = 100$，$25k^2 = 100$，$k^2 = 4$，解得$k = 2$（$k=-2$舍去）。
所以$a = 3k = 6$，$b = 4k = 8$。
$\triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$。
A
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90°$，由勾股定理得：$a^2 + b^2 = c^2$。
即$(3k)^2 + (4k)^2 = 10^2$，$9k^2 + 16k^2 = 100$，$25k^2 = 100$，$k^2 = 4$，解得$k = 2$（$k=-2$舍去）。
所以$a = 3k = 6$，$b = 4k = 8$。
$\triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$。
A
3. 如图，数轴上的点 A 表示的数是 -1，点 B 表示的数是 2，CB⊥AB 于点 B，且 BC = 2，以点 A 为圆心，AC 长为半径画弧，交数轴于点 D，则点 D 表示的数是(
A.2.7
B.$\sqrt{13}$
C.$\sqrt{13} - 1$
D.$\sqrt{13} + 1$
C
)A.2.7
B.$\sqrt{13}$
C.$\sqrt{13} - 1$
D.$\sqrt{13} + 1$
答案：3.C
解析：
解：
∵点A表示的数是-1，点B表示的数是2，
∴AB=2-(-1)=3.
∵CB⊥AB，BC=2，
∴在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$.
∵以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点D，
∴AD=AC=$\sqrt{13}$.
设点D表示的数为x，
∵点A表示的数是-1，
∴|x-(-1)|=$\sqrt{13}$，即|x+1|=$\sqrt{13}$.
∵点D在点A右侧，
∴x+1=$\sqrt{13}$，解得x=$\sqrt{13}-1$.
C
∵点A表示的数是-1，点B表示的数是2，
∴AB=2-(-1)=3.
∵CB⊥AB，BC=2，
∴在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$.
∵以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点D，
∴AD=AC=$\sqrt{13}$.
设点D表示的数为x，
∵点A表示的数是-1，
∴|x-(-1)|=$\sqrt{13}$，即|x+1|=$\sqrt{13}$.
∵点D在点A右侧，
∴x+1=$\sqrt{13}$，解得x=$\sqrt{13}-1$.
C
4. 如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点 D. 若 AB = CD，BC = 8，AD = 4，则 CD 的长为(
A.6.5
B.5.5
C.6
D.5
D
)A.6.5
B.5.5
C.6
D.5
答案：4.D
解析：
解：设$CD = x$，则$AB = x$。
因为$BC = 8$，所以$BD = BC - CD = 8 - x$。
在$Rt\triangle ABD$中，$AD ⊥ BC$，$AD = 4$，由勾股定理得：$AB^2 = AD^2 + BD^2$，即$x^2 = 4^2 + (8 - x)^2$。
展开得：$x^2 = 16 + 64 - 16x + x^2$，化简得$16x = 80$，解得$x = 5$。
故$CD$的长为$5$。
D
因为$BC = 8$，所以$BD = BC - CD = 8 - x$。
在$Rt\triangle ABD$中，$AD ⊥ BC$，$AD = 4$，由勾股定理得：$AB^2 = AD^2 + BD^2$，即$x^2 = 4^2 + (8 - x)^2$。
展开得：$x^2 = 16 + 64 - 16x + x^2$，化简得$16x = 80$，解得$x = 5$。
故$CD$的长为$5$。
D
5. 如图，正方形 ABCD 由四个全等的直角三角形和小正方形 EFGH 拼成，连接 AC，EC. 若想求出图中涂色部分的面积，只需知道(
A.AB 的长
B.AE 的长
C.EF 的长
D.CE 的长
B
)A.AB 的长
B.AE 的长
C.EF 的长
D.CE 的长
答案：5.B
解析：
设直角三角形较短直角边为$a$，较长直角边为$b$，则小正方形边长$EF = b - a$。
涂色部分面积$S = S_{\triangle ABE} + S_{\triangle CDE}$。
$S_{\triangle ABE} = \frac{1}{2} · a · a$，$S_{\triangle CDE} = \frac{1}{2} · a · b$，
$\therefore S = \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}a(a + b)$。
$AE$为直角三角形斜边，$AE^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$，$a = \frac{AE}{\sqrt{2}}$；
$AC$为正方形对角线，$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{(a + b)^2 + (a + b)^2} = \sqrt{2}(a + b)$，$a + b = \frac{AC}{\sqrt{2}}$。
$\therefore S = \frac{1}{2} · \frac{AE}{\sqrt{2}} · \frac{AC}{\sqrt{2}} = \frac{1}{4}AE · AC$，但$AC$可由$a + b$表示，而$AE$直接关联$a$，最终可仅用$AE$表示面积。
答案：B
涂色部分面积$S = S_{\triangle ABE} + S_{\triangle CDE}$。
$S_{\triangle ABE} = \frac{1}{2} · a · a$，$S_{\triangle CDE} = \frac{1}{2} · a · b$，
$\therefore S = \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}a(a + b)$。
$AE$为直角三角形斜边，$AE^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$，$a = \frac{AE}{\sqrt{2}}$；
$AC$为正方形对角线，$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{(a + b)^2 + (a + b)^2} = \sqrt{2}(a + b)$，$a + b = \frac{AC}{\sqrt{2}}$。
$\therefore S = \frac{1}{2} · \frac{AE}{\sqrt{2}} · \frac{AC}{\sqrt{2}} = \frac{1}{4}AE · AC$，但$AC$可由$a + b$表示，而$AE$直接关联$a$，最终可仅用$AE$表示面积。
答案：B
6. 如图，以直角三角形的三边 a，b，c 为边，向外分别作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，这四种情况的面积关系满足 $S_1 + S_2 = S_3$ 的图形的个数是(
A.1
B.2
C.3
D.4
D
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案：6.D
解析：
情况1：等边三角形
$S_1=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$，$S_2=\frac{\sqrt{3}}{4}b^2$，$S_3=\frac{\sqrt{3}}{4}c^2$。
由勾股定理$a^2+b^2=c^2$，得$S_1+S_2=\frac{\sqrt{3}}{4}(a^2+b^2)=\frac{\sqrt{3}}{4}c^2=S_3$。
情况2：半圆
$S_1=\frac{1}{2}\pi(\frac{a}{2})^2=\frac{\pi a^2}{8}$，$S_2=\frac{\pi b^2}{8}$，$S_3=\frac{\pi c^2}{8}$。
由$a^2+b^2=c^2$，得$S_1+S_2=\frac{\pi}{8}(a^2+b^2)=\frac{\pi c^2}{8}=S_3$。
情况3：等腰直角三角形
$S_1=\frac{1}{2}a^2$，$S_2=\frac{1}{2}b^2$，$S_3=\frac{1}{2}c^2$。
由$a^2+b^2=c^2$，得$S_1+S_2=\frac{1}{2}(a^2+b^2)=\frac{1}{2}c^2=S_3$。
情况4：正方形
$S_1=a^2$，$S_2=b^2$，$S_3=c^2$。
由$a^2+b^2=c^2$，得$S_1+S_2=S_3$。
结论：四种情况均满足$S_1 + S_2 = S_3$。
答案：D
$S_1=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$，$S_2=\frac{\sqrt{3}}{4}b^2$，$S_3=\frac{\sqrt{3}}{4}c^2$。
由勾股定理$a^2+b^2=c^2$，得$S_1+S_2=\frac{\sqrt{3}}{4}(a^2+b^2)=\frac{\sqrt{3}}{4}c^2=S_3$。
情况2：半圆
$S_1=\frac{1}{2}\pi(\frac{a}{2})^2=\frac{\pi a^2}{8}$，$S_2=\frac{\pi b^2}{8}$，$S_3=\frac{\pi c^2}{8}$。
由$a^2+b^2=c^2$，得$S_1+S_2=\frac{\pi}{8}(a^2+b^2)=\frac{\pi c^2}{8}=S_3$。
情况3：等腰直角三角形
$S_1=\frac{1}{2}a^2$，$S_2=\frac{1}{2}b^2$，$S_3=\frac{1}{2}c^2$。
由$a^2+b^2=c^2$，得$S_1+S_2=\frac{1}{2}(a^2+b^2)=\frac{1}{2}c^2=S_3$。
情况4：正方形
$S_1=a^2$，$S_2=b^2$，$S_3=c^2$。
由$a^2+b^2=c^2$，得$S_1+S_2=S_3$。
结论：四种情况均满足$S_1 + S_2 = S_3$。
答案：D
7. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，点 A，B，C，D，E 均在格点上，线段 AB，CD 交于点 F. 若∠CFB = α，则∠ABE 的度数为(
A.$180° - α$
B.$180° - 2α$
C.$90° + α$
D.$90° + 2α$
C
)A.$180° - α$
B.$180° - 2α$
C.$90° + α$
D.$90° + 2α$
答案：7.C
8. 如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC = ∠CDA = 90°，以它的四条边为斜边分别向外作等腰直角三角形. 若其中三个等腰直角三角形的面积分别为 2，5，9，则第四个等腰直角三角形的面积为(
A.6
B.9
C.11
D.12
D
)A.6
B.9
C.11
D.12
答案：8.D
解析：
设以AB、BC、CD、DA为斜边的等腰直角三角形面积分别为$S_1$、$S_2$、$S_3$、$S_4$。
对于等腰直角三角形，斜边为$c$时，面积$S = \frac{1}{4}c^2$，则$c^2 = 4S$。
在四边形$ABCD$中，由勾股定理：$AB^2 + BC^2 = AC^2$，$CD^2 + DA^2 = AC^2$，故$AB^2 + BC^2 = CD^2 + DA^2$。
即$4S_1 + 4S_2 = 4S_3 + 4S_4$，化简得$S_1 + S_2 = S_3 + S_4$。
已知三个面积为2、5、9，分情况讨论：
若$S_1=2$，$S_2=9$，$S_3=5$，则$2 + 9 = 5 + S_4$，解得$S_4=6$（无此选项）；
若$S_1=5$，$S_2=9$，$S_3=2$，则$5 + 9 = 2 + S_4$，解得$S_4=12$；
若$S_1=2$，$S_2=5$，$S_3=9$，则$2 + 5 = 9 + S_4$，解得$S_4=-2$（舍去）。
综上，第四个等腰直角三角形的面积为12。
D
对于等腰直角三角形，斜边为$c$时，面积$S = \frac{1}{4}c^2$，则$c^2 = 4S$。
在四边形$ABCD$中，由勾股定理：$AB^2 + BC^2 = AC^2$，$CD^2 + DA^2 = AC^2$，故$AB^2 + BC^2 = CD^2 + DA^2$。
即$4S_1 + 4S_2 = 4S_3 + 4S_4$，化简得$S_1 + S_2 = S_3 + S_4$。
已知三个面积为2、5、9，分情况讨论：
若$S_1=2$，$S_2=9$，$S_3=5$，则$2 + 9 = 5 + S_4$，解得$S_4=6$（无此选项）；
若$S_1=5$，$S_2=9$，$S_3=2$，则$5 + 9 = 2 + S_4$，解得$S_4=12$；
若$S_1=2$，$S_2=5$，$S_3=9$，则$2 + 5 = 9 + S_4$，解得$S_4=-2$（舍去）。
综上，第四个等腰直角三角形的面积为12。
D