9. 如图，圆柱形玻璃杯的高为 14 cm，底面周长为 32 cm，在杯内壁离杯底 5 cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 3 cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁从外壁点 A 处到内壁点 B 处的最短距离为(杯壁厚度不计)(
A.14 cm
B.18 cm
C.20 cm
D.25 cm
C
)A.14 cm
B.18 cm
C.20 cm
D.25 cm
答案：9.C
解析：
解：将圆柱侧面展开，作点A关于展开图中上边沿的对称点A'。
圆柱高14cm，点A离上沿3cm，点B离杯底5cm，故展开图中A'到下沿距离为14 - 3 + 3 = 14cm，B到下沿距离5cm，A'与B竖直距离为14 - 5 = 9cm。
底面周长32cm，展开图中A'与B水平距离为32÷2 = 16cm。
最短距离为$\sqrt{16^{2}+12^{2}} = 20$cm。
答案：C
圆柱高14cm，点A离上沿3cm，点B离杯底5cm，故展开图中A'到下沿距离为14 - 3 + 3 = 14cm，B到下沿距离5cm，A'与B竖直距离为14 - 5 = 9cm。
底面周长32cm，展开图中A'与B水平距离为32÷2 = 16cm。
最短距离为$\sqrt{16^{2}+12^{2}} = 20$cm。
答案：C
10. 如图，在△ABC 中，AB = AC = 4，∠BAC = 120°，P 为 AB 上一动点，Q 为 BC 上一动点，则 AQ + PQ 的最小值为(
A.$2\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$
B
)A.$2\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$
答案：10.B
解析：
解：作点A关于BC的对称点A'，连接A'B，A'Q，过A'作A'P⊥AB于P，交BC于Q。
∵AB=AC=4，∠BAC=120°，
∴∠ABC=∠ACB=30°。
∵A与A'关于BC对称，
∴A'Q=AQ，A'B=AB=4，∠A'BC=∠ABC=30°，
∴∠ABA'=60°，
∴△ABA'为等边三角形，
∴A'B=AB=4。
∵A'P⊥AB，
∴BP=2，A'P=$\sqrt{A'B^2-BP^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
∵AQ+PQ=A'Q+PQ≥A'P，
∴AQ+PQ的最小值为$2\sqrt{3}$。
答案：B
∵AB=AC=4，∠BAC=120°，
∴∠ABC=∠ACB=30°。
∵A与A'关于BC对称，
∴A'Q=AQ，A'B=AB=4，∠A'BC=∠ABC=30°，
∴∠ABA'=60°，
∴△ABA'为等边三角形，
∴A'B=AB=4。
∵A'P⊥AB，
∴BP=2，A'P=$\sqrt{A'B^2-BP^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
∵AQ+PQ=A'Q+PQ≥A'P，
∴AQ+PQ的最小值为$2\sqrt{3}$。
答案：B
11. 在平面直角坐标系中，若点 A 的坐标为$(1,\sqrt{3})$，则 OA 的长为
2
.答案：11.2
解析：
解：
∵点$A$的坐标为$(1,\sqrt{3})$，$O$为坐标原点，
∴$OA=\sqrt{(1-0)^2+(\sqrt{3}-0)^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$。
2
∵点$A$的坐标为$(1,\sqrt{3})$，$O$为坐标原点，
∴$OA=\sqrt{(1-0)^2+(\sqrt{3}-0)^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$。
2
12. 在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边长，且 a = 12，b = 13，则 c 的值为
5
.答案：12.5
解析：
解：在Rt△ABC中，∠B=90°，根据勾股定理可得$a^2 + c^2 = b^2$。已知$a = 12$，$b = 13$，则$c = \sqrt{b^2 - a^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$。
5
5
13. 已知△ABC 的三边长分别为 $2,\sqrt{13},\sqrt{17}$，则△ABC 的面积是
$\sqrt{13}$
.答案：13.$\sqrt{13}$
解析：
设△ABC的三边长分别为$a = 2$，$b=\sqrt{13}$，$c = \sqrt{17}$。
由余弦定理得$\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}=\frac{2^{2}+(\sqrt{13})^{2}-(\sqrt{17})^{2}}{2×2×\sqrt{13}}=\frac{4 + 13-17}{4\sqrt{13}}=\frac{0}{4\sqrt{13}} = 0$。
因为$0＜C＜\pi$，所以$C=\frac{\pi}{2}$，即△ABC为直角三角形，直角边为$a = 2$，$b=\sqrt{13}$。
则面积$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×2×\sqrt{13}=\sqrt{13}$。
$\sqrt{13}$
由余弦定理得$\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}=\frac{2^{2}+(\sqrt{13})^{2}-(\sqrt{17})^{2}}{2×2×\sqrt{13}}=\frac{4 + 13-17}{4\sqrt{13}}=\frac{0}{4\sqrt{13}} = 0$。
因为$0＜C＜\pi$，所以$C=\frac{\pi}{2}$，即△ABC为直角三角形，直角边为$a = 2$，$b=\sqrt{13}$。
则面积$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×2×\sqrt{13}=\sqrt{13}$。
$\sqrt{13}$
14. 有一首古诗(如图①)，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②所示，其中 AB = AB'，AB⊥B'C 于点 C，BC = 0.5 尺，B'C = 2 尺. 设 AC 的长为 x 尺，则可列方程为
$x^{2}+2^{2}=(x + 0.5)^{2}$
.答案：14.$x^{2}+2^{2}=(x + 0.5)^{2}$
解析：
解：设湖水深度 $ AC = x $ 尺，则红莲的高度 $ AB = AB' = (x + 0.5) $ 尺。
在 $ \mathrm{Rt}\triangle AB'C $ 中，由勾股定理得：
$ AC^{2} + B'C^{2} = AB'^{2} $，
即 $ x^{2} + 2^{2} = (x + 0.5)^{2} $。
$ x^{2}+2^{2}=(x + 0.5)^{2} $
在 $ \mathrm{Rt}\triangle AB'C $ 中，由勾股定理得：
$ AC^{2} + B'C^{2} = AB'^{2} $，
即 $ x^{2} + 2^{2} = (x + 0.5)^{2} $。
$ x^{2}+2^{2}=(x + 0.5)^{2} $
15. 如图，学校操场边上有一块空地需要绿化，测得 CD = 6 m，AD = 8 m，BC = 24 m，AB = 26 m，AD⊥CD，那么需要绿化(涂色)部分的面积为
$96m^{2}$
.答案：15.$96m^{2}$
解析：
解：连接AC。
因为AD⊥CD，CD=6m，AD=8m，
所以在Rt△ADC中，由勾股定理得：
AC²=AD²+CD²=8²+6²=64+36=100，
所以AC=10m。
在△ABC中，AC=10m，BC=24m，AB=26m，
因为AC²+BC²=10²+24²=100+576=676=26²=AB²，
所以△ABC是直角三角形，∠ACB=90°。
绿化面积=S△ABC - S△ADC
= (1/2)×AC×BC - (1/2)×AD×CD
= (1/2)×10×24 - (1/2)×8×6
= 120 - 24
= 96(m²)。
答：需要绿化部分的面积为96m²。
因为AD⊥CD，CD=6m，AD=8m，
所以在Rt△ADC中，由勾股定理得：
AC²=AD²+CD²=8²+6²=64+36=100，
所以AC=10m。
在△ABC中，AC=10m，BC=24m，AB=26m，
因为AC²+BC²=10²+24²=100+576=676=26²=AB²，
所以△ABC是直角三角形，∠ACB=90°。
绿化面积=S△ABC - S△ADC
= (1/2)×AC×BC - (1/2)×AD×CD
= (1/2)×10×24 - (1/2)×8×6
= 120 - 24
= 96(m²)。
答：需要绿化部分的面积为96m²。
16. 如图①所示为我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它由四个全等的直角三角形拼成. 在 Rt△ABC 中，直角边 AC = 6，BC = 5. 若将四个直角三角形中边长为 6 的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”，则这个“数学风车”的外围周长是
76
.答案：16.76
解析：
解：由题意，延长后的直角边长度为 $6 × 2 = 12$。
在新的直角三角形中，另一直角边为 $BC = 5$，则斜边长为 $\sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$。
“数学风车”外围由8条边组成，其中4条为延长后的直角边（长度12），4条为新的斜边（长度13）。
外围周长为 $4 × (12 + 13) = 4 × 25 = 100$。
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在新的直角三角形中，另一直角边为 $BC = 5$，则斜边长为 $\sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$。
“数学风车”外围由8条边组成，其中4条为延长后的直角边（长度12），4条为新的斜边（长度13）。
外围周长为 $4 × (12 + 13) = 4 × 25 = 100$。
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