新知梳理
1. 利用勾股定理在数轴上表示无理数：
(1)利用勾股定理把所画线段(斜边)长的平方拆成两条线段长的平方和，注意其中一条线段的长一般是整数；
(2)以数轴原点为直角三角形斜边的顶点，构造直角三角形；
(3)以数轴原点为圆心，斜边长为半径画弧，即可在数轴上找到表示该无理数的点。
2. 利用勾股定理解决“线段最短”问题时，应将原来的曲面或多个平面展开成一个平面，然后运用“
1. 利用勾股定理在数轴上表示无理数：
(1)利用勾股定理把所画线段(斜边)长的平方拆成两条线段长的平方和，注意其中一条线段的长一般是整数；
(2)以数轴原点为直角三角形斜边的顶点，构造直角三角形；
(3)以数轴原点为圆心，斜边长为半径画弧，即可在数轴上找到表示该无理数的点。
2. 利用勾股定理解决“线段最短”问题时，应将原来的曲面或多个平面展开成一个平面，然后运用“
两点之间
，线段最短
”和勾股定理
在一个直角三角形中求出这个最短距离。答案：2.两点之间 线段最短 勾股定理
1. 如图，数轴上点$A$，$B$分别对应数$2$，$4$，过点$B$作$PQ⊥ AB$，以点$B$为圆心，$AB$长为半径画弧，交$PQ$于点$C$，以原点$O$为圆心，$OC$长为半径画弧，交数轴于点$M$，则点$M$对应的数是(
A.$4\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{5}$
C.$5$
D.$3\sqrt{2}$
B
)A.$4\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{5}$
C.$5$
D.$3\sqrt{2}$
答案：1.B
解析：
解：
∵点$A$，$B$分别对应数$2$，$4$，
$\therefore AB=4 - 2=2$。
$\because PQ⊥ AB$，点$C$在$PQ$上，
$\therefore\triangle OBC$为直角三角形，$OB = 4$，$BC=AB = 2$。
由勾股定理得：$OC=\sqrt{OB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
$\because$以原点$O$为圆心，$OC$长为半径画弧，交数轴于点$M$，
$\therefore OM=OC = 2\sqrt{5}$，
$\therefore$点$M$对应的数是$2\sqrt{5}$。
B
∵点$A$，$B$分别对应数$2$，$4$，
$\therefore AB=4 - 2=2$。
$\because PQ⊥ AB$，点$C$在$PQ$上，
$\therefore\triangle OBC$为直角三角形，$OB = 4$，$BC=AB = 2$。
由勾股定理得：$OC=\sqrt{OB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
$\because$以原点$O$为圆心，$OC$长为半径画弧，交数轴于点$M$，
$\therefore OM=OC = 2\sqrt{5}$，
$\therefore$点$M$对应的数是$2\sqrt{5}$。
B
2. 如图，在每个小正方形的边长为$1$的网格中，点$A$，$B$，$C$均在网格的格点上，$CD⊥ AB$于点$D$，则$CD$的长为(
A.$2$
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{6}$
D.$2\sqrt{3}$
A
)A.$2$
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{6}$
D.$2\sqrt{3}$
答案：2.A
解析：
解：以点$B$为原点，建立平面直角坐标系，
则$A(4,3)$，$B(0,0)$，$C(2,1)$。
$AB$的长度：$\sqrt{(4-0)^2+(3-0)^2}=5$。
$\triangle ABC$的面积：$4×3-\frac{1}{2}×4×3-\frac{1}{2}×2×1-\frac{1}{2}×2×2=12-6-1-2=3$。
由面积公式$\frac{1}{2}× AB× CD=3$，得$\frac{1}{2}×5× CD=3$，解得$CD=\frac{6}{5}$。
1
则$A(4,3)$，$B(0,0)$，$C(2,1)$。
$AB$的长度：$\sqrt{(4-0)^2+(3-0)^2}=5$。
$\triangle ABC$的面积：$4×3-\frac{1}{2}×4×3-\frac{1}{2}×2×1-\frac{1}{2}×2×2=12-6-1-2=3$。
由面积公式$\frac{1}{2}× AB× CD=3$，得$\frac{1}{2}×5× CD=3$，解得$CD=\frac{6}{5}$。
1
3. 如图，$\angle A=\angle OBC=\angle OCD = 90^{\circ}$，$AB = BC = CD = 1$，$OA = 2$，则$OD$的长为
$\sqrt{7}$
。答案：3. $\sqrt{7}$
解析：
解：在$Rt\triangle OAB$中，$\angle A=90^{\circ}$，$OA=2$，$AB=1$，
由勾股定理得$OB=\sqrt{OA^{2}+AB^{2}}=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$。
在$Rt\triangle OBC$中，$\angle OBC=90^{\circ}$，$OB=\sqrt{5}$，$BC=1$，
由勾股定理得$OC=\sqrt{OB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{(\sqrt{5})^{2}+1^{2}}=\sqrt{6}$。
在$Rt\triangle OCD$中，$\angle OCD=90^{\circ}$，$OC=\sqrt{6}$，$CD=1$，
由勾股定理得$OD=\sqrt{OC^{2}+CD^{2}}=\sqrt{(\sqrt{6})^{2}+1^{2}}=\sqrt{7}$。
$\sqrt{7}$
由勾股定理得$OB=\sqrt{OA^{2}+AB^{2}}=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$。
在$Rt\triangle OBC$中，$\angle OBC=90^{\circ}$，$OB=\sqrt{5}$，$BC=1$，
由勾股定理得$OC=\sqrt{OB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{(\sqrt{5})^{2}+1^{2}}=\sqrt{6}$。
在$Rt\triangle OCD$中，$\angle OCD=90^{\circ}$，$OC=\sqrt{6}$，$CD=1$，
由勾股定理得$OD=\sqrt{OC^{2}+CD^{2}}=\sqrt{(\sqrt{6})^{2}+1^{2}}=\sqrt{7}$。
$\sqrt{7}$
4. 如图，长方体的长为$20\ \mathrm{cm}$，宽为$10\ \mathrm{cm}$，高为$15\ \mathrm{cm}$，点$B$与点$C$之间的距离为$5\ \mathrm{cm}$。一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点$A$爬到点$B$去吃一滴蜜糖。蚂蚁从点$A$爬到点$B$的最短路径的长是多少？
答案：
4.如图①，把向上的面展开到左侧面上，连接AB.根据勾股定理，得AB = $\sqrt{(10 + 15)^{2}+5^{2}}$ = $5\sqrt{26}$(cm).如图②，把右侧面展开到正面上，连接AB.根据勾股定理，得AB = $\sqrt{15^{2}+(10 + 5)^{2}}$ = $15\sqrt{2}$(cm).如图③，把向上的面展开到正面上，连接AB.根据勾股定理，得AB = $\sqrt{10^{2}+(15 + 5)^{2}}$ = $10\sqrt{5}$(cm).
∵ $15\sqrt{2}$ ＜ $10\sqrt{5}$ ＜ $5\sqrt{26}$，
∴ 蚂蚁从点A爬到点B的最短路径的长是 $15\sqrt{2}$ cm
4.如图①，把向上的面展开到左侧面上，连接AB.根据勾股定理，得AB = $\sqrt{(10 + 15)^{2}+5^{2}}$ = $5\sqrt{26}$(cm).如图②，把右侧面展开到正面上，连接AB.根据勾股定理，得AB = $\sqrt{15^{2}+(10 + 5)^{2}}$ = $15\sqrt{2}$(cm).如图③，把向上的面展开到正面上，连接AB.根据勾股定理，得AB = $\sqrt{10^{2}+(15 + 5)^{2}}$ = $10\sqrt{5}$(cm).
∵ $15\sqrt{2}$ ＜ $10\sqrt{5}$ ＜ $5\sqrt{26}$，
∴ 蚂蚁从点A爬到点B的最短路径的长是 $15\sqrt{2}$ cm