新知梳理
1. 如果三角形的三边长 $ a $，$ b $，$ c $ 满足 $ a^{2}+b^{2}=c^{2} $，那么这个三角形是
2. 能够成为直角三角形三条边长的三个
1. 如果三角形的三边长 $ a $，$ b $，$ c $ 满足 $ a^{2}+b^{2}=c^{2} $，那么这个三角形是
直角三角形
，$ \angle C = $90°
.2. 能够成为直角三角形三条边长的三个
正整数
，称为勾股数.答案：1.直角三角形 90° 2.正整数
1. 在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = 1 $，$ BC = \sqrt{5} $，$ AC = \sqrt{6} $，则下列说法正确的是(
A.$ \angle A = 90^{\circ} $
B.$ \angle B = 90^{\circ} $
C.$ \angle C = 90^{\circ} $
D.$ \angle A = \angle B $
B
)A.$ \angle A = 90^{\circ} $
B.$ \angle B = 90^{\circ} $
C.$ \angle C = 90^{\circ} $
D.$ \angle A = \angle B $
答案：1.B
解析：
在$\triangle ABC$中，$AB = 1$，$BC=\sqrt{5}$，$AC = \sqrt{6}$。
计算各边的平方：$AB^{2}=1^{2}=1$，$BC^{2}=(\sqrt{5})^{2}=5$，$AC^{2}=(\sqrt{6})^{2}=6$。
因为$AB^{2}+BC^{2}=1 + 5=6=AC^{2}$，根据勾股定理的逆定理，所以$\angle B = 90^{\circ}$。
B
计算各边的平方：$AB^{2}=1^{2}=1$，$BC^{2}=(\sqrt{5})^{2}=5$，$AC^{2}=(\sqrt{6})^{2}=6$。
因为$AB^{2}+BC^{2}=1 + 5=6=AC^{2}$，根据勾股定理的逆定理，所以$\angle B = 90^{\circ}$。
B
2. 下列四组数不属于勾股数的是(
A.$ 3 $，$ 4 $，$ 5 $
B.$ \sqrt{2} $，$ \sqrt{3} $，$ \sqrt{5} $
C.$ 6 $，$ 8 $，$ 10 $
D.$ 8 $，$ 15 $，$ 17 $
B
)A.$ 3 $，$ 4 $，$ 5 $
B.$ \sqrt{2} $，$ \sqrt{3} $，$ \sqrt{5} $
C.$ 6 $，$ 8 $，$ 10 $
D.$ 8 $，$ 15 $，$ 17 $
答案：2.B
3. 把一根长 $ 12 \, \mathrm{cm} $ 的木棒，从一端起顺次截下 $ 3 \, \mathrm{cm} $ 长和 $ 5 \, \mathrm{cm} $ 长的两段，用得到的三根木棒首尾依次相接，摆成的三角形的形状是
直角三角形
.答案：3.直角三角形
解析：
12-3-5=4(cm)
$3^{2}+4^{2}=9+16=25=5^{2}$
直角三角形
$3^{2}+4^{2}=9+16=25=5^{2}$
直角三角形
4. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AC = 20 \, \mathrm{cm} $，$ BC = 15 \, \mathrm{cm} $，$ AB = 25 \, \mathrm{cm} $，$ CD ⊥ AB $ 于点 $ D $，则 $ CD = $
12
$ \mathrm{cm} $.答案：4.12
解析：
解：在$\triangle ABC$中，$AC = 20\,\mathrm{cm}$，$BC = 15\,\mathrm{cm}$，$AB = 25\,\mathrm{cm}$。
因为$AC^2 + BC^2 = 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625$，$AB^2 = 25^2 = 625$，所以$AC^2 + BC^2 = AB^2$，故$\triangle ABC$是直角三角形，$\angle ACB = 90°$。
根据三角形面积公式，$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AC · BC = \frac{1}{2}AB · CD$，即$\frac{1}{2} × 20 × 15 = \frac{1}{2} × 25 × CD$，解得$CD = 12\,\mathrm{cm}$。
12
因为$AC^2 + BC^2 = 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625$，$AB^2 = 25^2 = 625$，所以$AC^2 + BC^2 = AB^2$，故$\triangle ABC$是直角三角形，$\angle ACB = 90°$。
根据三角形面积公式，$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AC · BC = \frac{1}{2}AB · CD$，即$\frac{1}{2} × 20 × 15 = \frac{1}{2} × 25 × CD$，解得$CD = 12\,\mathrm{cm}$。
12
5. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = 13 $，$ BC = 12 $，$ AC = 5 $，$ D $ 是 $ BC $ 上一点，且 $ CD = 3 $.
（1）试判断 $ \triangle ABC $ 的形状，并说明理由；
（2）求 $ AD $ 的长.
（1）试判断 $ \triangle ABC $ 的形状，并说明理由；
（2）求 $ AD $ 的长.
答案：5.(1)△ABC是直角三角形 理由：
∵$AB^{2} = 13^{2} = 169，$$BC^{2} = 12^{2} = 144，$$AC^{2} = 5^{2} = 25，$且144 + 25 = 169，
∴$BC^{2} + AC^{2} = AB^{2}．$
∴△ABC是直角三角形，且∠C = 90°。(2)在△ACD中，∠C = 90°，AC = 5，CD = 3，
∴$AD = \sqrt{AC^{2} + CD^{2}} = \sqrt{5^{2} + 3^{2}} = \sqrt{34}$
∵$AB^{2} = 13^{2} = 169，$$BC^{2} = 12^{2} = 144，$$AC^{2} = 5^{2} = 25，$且144 + 25 = 169，
∴$BC^{2} + AC^{2} = AB^{2}．$
∴△ABC是直角三角形，且∠C = 90°。(2)在△ACD中，∠C = 90°，AC = 5，CD = 3，
∴$AD = \sqrt{AC^{2} + CD^{2}} = \sqrt{5^{2} + 3^{2}} = \sqrt{34}$