新知梳理
运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的一般方法：
运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的一般方法：
分别计算出两条较小边长的平方和与最大边长的平方，若前者等于后者，则说明该三角形是直角三角形；否则不是
。答案：分别计算出两条较小边长的平方和与最大边长的平方，若前者等于后者，则说明该三角形是直角三角形；否则不是
1. 已知 $ a$，$ b$，$ c$ 是某三角形的三边长，且满足 $(a - 6)^2 + \sqrt{b - 8} + |c - 10| = 0$，则该三角形的形状是(
A.底与腰不相等的等腰三角形
B.等边三角形
C.钝角三角形
D.直角三角形
D
)A.底与腰不相等的等腰三角形
B.等边三角形
C.钝角三角形
D.直角三角形
答案：1. D
解析：
因为$(a - 6)^2 \geq 0$，$\sqrt{b - 8} \geq 0$，$|c - 10| \geq 0$，且$(a - 6)^2 + \sqrt{b - 8} + |c - 10| = 0$，所以$a - 6 = 0$，$b - 8 = 0$，$c - 10 = 0$，解得$a = 6$，$b = 8$，$c = 10$。
又因为$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$，即$a^2 + b^2 = c^2$，所以该三角形是直角三角形。
D
又因为$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$，即$a^2 + b^2 = c^2$，所以该三角形是直角三角形。
D
2. 甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是 $ 10\ \mathrm{km/h}$，甲客轮沿着北偏东 $ 30^{\circ}$ 的方向航行，$ 3\ \mathrm{h}$ 后到达小岛 $ \mathrm{A}$，乙客轮 $ 4\ \mathrm{h}$ 后到达小岛 $\mathrm{B}$。若 $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ 两岛的直线距离为 $ 50\ \mathrm{km}$，则乙客轮离开港口时航行的方向是(
A.北偏西 $ 30^{\circ}$
B.南偏西 $ 60^{\circ}$
C.南偏东 $ 60^{\circ}$ 或北偏西 $ 60^{\circ}$
D.南偏东 $ 60^{\circ}$ 或北偏西 $ 30^{\circ}$
C
)A.北偏西 $ 30^{\circ}$
B.南偏西 $ 60^{\circ}$
C.南偏东 $ 60^{\circ}$ 或北偏西 $ 60^{\circ}$
D.南偏东 $ 60^{\circ}$ 或北偏西 $ 30^{\circ}$
答案：2. C
解析：
港口为点O，甲3h航行距离：$OA=10×3=30\ \mathrm{km}$，乙4h航行距离：$OB=10×4=40\ \mathrm{km}$，$AB=50\ \mathrm{km}$。
因为$30^2 + 40^2 = 900 + 1600 = 2500 = 50^2$，所以$\triangle AOB$为直角三角形，$\angle AOB=90°$。
甲沿北偏东$30°$方向，故乙与甲方向夹角为$90°$。
情况1：乙在甲西侧，方向为北偏东$30° - 90° = $北偏西$60°$；
情况2：乙在甲东侧，方向为北偏东$30° + 90° = $南偏东$60°$（$120°$即南偏东$60°$）。
乙客轮航行方向是南偏东$60°$或北偏西$60°$。
C
因为$30^2 + 40^2 = 900 + 1600 = 2500 = 50^2$，所以$\triangle AOB$为直角三角形，$\angle AOB=90°$。
甲沿北偏东$30°$方向，故乙与甲方向夹角为$90°$。
情况1：乙在甲西侧，方向为北偏东$30° - 90° = $北偏西$60°$；
情况2：乙在甲东侧，方向为北偏东$30° + 90° = $南偏东$60°$（$120°$即南偏东$60°$）。
乙客轮航行方向是南偏东$60°$或北偏西$60°$。
C
3. 三角形的两边长分别为 $ 1\ \mathrm{cm}$ 和 $ 2\ \mathrm{cm}$，要使这个三角形是直角三角形，则第三条边的长是
$\sqrt{3}\mathrm{ cm}$或$\sqrt{5}\mathrm{ cm}$
。答案：3. $\sqrt{3}\mathrm{ cm}$或$\sqrt{5}\mathrm{ cm}$
解析：
当第三条边为直角边时，第三条边长为$\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$；当第三条边为斜边时，第三条边长为$\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。$\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$或$\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
4. 如图，在正方形网格中有 $ a$，$ b$，$ c$，$ d$ 四条线段，从中任取三条线段，以这三条线段的长为边长所构成的三角形恰好是直角三角形的取法有
2
种。答案：4. 2
解析：
解：设正方形网格中每个小正方形的边长为1。
计算各线段长度：
线段$a$：水平方向1格，竖直方向2格，长度为$\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$；
线段$b$：水平方向2格，竖直方向2格，长度为$\sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$；
线段$c$：水平方向2格，竖直方向3格，长度为$\sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$；
线段$d$：水平方向1格，竖直方向1格，长度为$\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$。
所有取法及验证：
1. $a$，$b$，$c$：$(\sqrt{5})^2 + (2\sqrt{2})^2 = 5 + 8 = 13 = (\sqrt{13})^2$，是直角三角形；
2. $a$，$b$，$d$：$(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{5})^2 = 2 + 5 = 7 \neq (2\sqrt{2})^2 = 8$，不是；
3. $a$，$c$，$d$：$(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{5})^2 = 7 \neq (\sqrt{13})^2 = 13$，不是；
4. $b$，$c$，$d$：$(\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2 = 2 + 8 = 10 \neq (\sqrt{13})^2 = 13$，不是。
综上，构成直角三角形的取法有1种。
1
计算各线段长度：
线段$a$：水平方向1格，竖直方向2格，长度为$\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$；
线段$b$：水平方向2格，竖直方向2格，长度为$\sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$；
线段$c$：水平方向2格，竖直方向3格，长度为$\sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$；
线段$d$：水平方向1格，竖直方向1格，长度为$\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$。
所有取法及验证：
1. $a$，$b$，$c$：$(\sqrt{5})^2 + (2\sqrt{2})^2 = 5 + 8 = 13 = (\sqrt{13})^2$，是直角三角形；
2. $a$，$b$，$d$：$(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{5})^2 = 2 + 5 = 7 \neq (2\sqrt{2})^2 = 8$，不是；
3. $a$，$c$，$d$：$(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{5})^2 = 7 \neq (\sqrt{13})^2 = 13$，不是；
4. $b$，$c$，$d$：$(\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2 = 2 + 8 = 10 \neq (\sqrt{13})^2 = 13$，不是。
综上，构成直角三角形的取法有1种。
1
5. 如图所示为一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现 $ AB = DC = 8\ \mathrm{m}$，$ AD = BC = 6\ \mathrm{m}$，$ AC = 9.6\ \mathrm{m}$。请你运用所学知识帮他检验一下挖的地基是否合格，并说明理由。
答案：5. 不合格 理由：$\because AB = DC = 8\mathrm{ m},AD = BC = 6\mathrm{ m},AC = 9.6\mathrm{ m},\therefore AB^{2} + BC^{2} = 8^{2} + 6^{2} = 100(\mathrm{m}^{2}),AC^{2} = 92.16\mathrm{ m}^{2}$。
$\because 100 \neq 92.16,\therefore AB^{2} + BC^{2} \neq AC^{2}.\therefore \angle ABC \neq 90^{\circ}.\therefore$该农民挖的地基不合格。
$\because 100 \neq 92.16,\therefore AB^{2} + BC^{2} \neq AC^{2}.\therefore \angle ABC \neq 90^{\circ}.\therefore$该农民挖的地基不合格。