新知梳理
勾股定理反映了直角三角形
勾股定理反映了直角三角形
三边
之间的数量关系.利用勾股定理可由直角三角形的两边长求第三边的长,还可以解决一些实际问题.当运用勾股定理解决实际问题时，要善于从实际问题中抽象出直角三角形解题,找准了直角,找对了斜边和直角边,问题即可迎刃而解.答案：三边
1. 如图,一场大风后,一棵大树在高于地面1 m处折断,大树顶部落在距离大树底部3 m处的地面上,那么大树原来的高是 (
A.4 m
B.$\sqrt{10}\ \mathrm{m}$
C.$(\sqrt{10}+1)\mathrm{m}$
D.$(\sqrt{10}+3)\mathrm{m}$
C
)A.4 m
B.$\sqrt{10}\ \mathrm{m}$
C.$(\sqrt{10}+1)\mathrm{m}$
D.$(\sqrt{10}+3)\mathrm{m}$
答案：1. C
解析：
设折断部分长度为$x\ \mathrm{m}$，由勾股定理得$x^2 = 1^2 + 3^2$，解得$x = \sqrt{10}$（负值舍去），则大树原来的高是$(\sqrt{10} + 1)\ \mathrm{m}$。
C
C
2. 两只小鼹鼠在地下挖洞,一只朝正北方向挖,速度为8 cm/min,另一只朝正东方向挖,速度为6 cm/min,则10 min后两只小鼹鼠相距 (
A.50 cm
B.120 cm
C.140 cm
D.100 cm
D
)A.50 cm
B.120 cm
C.140 cm
D.100 cm
答案：2. D
解析：
正北方向挖的鼹鼠10 min后挖的距离：$8×10 = 80\ \mathrm{cm}$
正东方向挖的鼹鼠10 min后挖的距离：$6×10 = 60\ \mathrm{cm}$
两只鼹鼠的运动方向互相垂直，根据勾股定理，相距距离为：$\sqrt{80^{2}+60^{2}}=\sqrt{6400 + 3600}=\sqrt{10000}=100\ \mathrm{cm}$
D
正东方向挖的鼹鼠10 min后挖的距离：$6×10 = 60\ \mathrm{cm}$
两只鼹鼠的运动方向互相垂直，根据勾股定理，相距距离为：$\sqrt{80^{2}+60^{2}}=\sqrt{6400 + 3600}=\sqrt{10000}=100\ \mathrm{cm}$
D
3. 《九章算术》中有一题:“今有二人同所立.甲行率七,乙行率三.乙东行,甲南行十步而斜东北与乙会.问:甲、乙行各几何?”大意如下:已知甲、乙二人同时从同一地点出发,甲每个单位时间走7步,乙每个单位时间走3步.乙一直向东走,甲先向南走10步,后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.相遇时,甲、乙各走了多远? 若设二人从出发到相遇用了x个单位时间,则可列方程为
(7x - 10)^ {2}=10^ {2}+(3x)^ {2}
.答案：3. (7x - 10)^ {2}=10^ {2}+(3x)^ {2}
解析：
设二人从出发到相遇用了$x$个单位时间。
甲行走的总步数为$7x$步，其中先向南走10步，斜向北偏东方向走的步数为$(7x - 10)$步；乙向东走的步数为$3x$步。
根据勾股定理，甲向南走的10步、乙向东走的$3x$步与甲斜向北偏东走的$(7x - 10)$步构成直角三角形，可列方程：$(7x - 10)^2 = 10^2 + (3x)^2$
解方程：
$\begin{aligned}(7x - 10)^2&=10^2 + (3x)^2\\49x^2 - 140x + 100&=100 + 9x^2\\49x^2 - 9x^2 - 140x&=0\\40x^2 - 140x&=0\\20x(2x - 7)&=0\end{aligned}$
解得$x = 0$（舍去）或$x = \frac{7}{2}$
甲行走的距离：$7x = 7×\frac{7}{2} = \frac{49}{2}$步
乙行走的距离：$3x = 3×\frac{7}{2} = \frac{21}{2}$步
答：相遇时，甲走了$\frac{49}{2}$步，乙走了$\frac{21}{2}$步。
甲行走的总步数为$7x$步，其中先向南走10步，斜向北偏东方向走的步数为$(7x - 10)$步；乙向东走的步数为$3x$步。
根据勾股定理，甲向南走的10步、乙向东走的$3x$步与甲斜向北偏东走的$(7x - 10)$步构成直角三角形，可列方程：$(7x - 10)^2 = 10^2 + (3x)^2$
解方程：
$\begin{aligned}(7x - 10)^2&=10^2 + (3x)^2\\49x^2 - 140x + 100&=100 + 9x^2\\49x^2 - 9x^2 - 140x&=0\\40x^2 - 140x&=0\\20x(2x - 7)&=0\end{aligned}$
解得$x = 0$（舍去）或$x = \frac{7}{2}$
甲行走的距离：$7x = 7×\frac{7}{2} = \frac{49}{2}$步
乙行走的距离：$3x = 3×\frac{7}{2} = \frac{21}{2}$步
答：相遇时，甲走了$\frac{49}{2}$步，乙走了$\frac{21}{2}$步。
4. (2025·连云港)如图,长为3 m的梯子靠在墙上,梯子的底端离墙脚线的距离为1.8 m,则梯子顶端的高度h为
]
2.4
m.]
答案：4. 2.4
解析：
解：由题意知，梯子、墙与地面构成直角三角形，梯子长为斜边，长度为$3\ \mathrm{m}$，梯子底端离墙脚线的距离为一条直角边，长度为$1.8\ \mathrm{m}$，梯子顶端的高度$h$为另一条直角边。
根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$（其中$c$为斜边，$a$、$b$为直角边），可得：
$h = \sqrt{3^2 - 1.8^2}$
$= \sqrt{9 - 3.24}$
$= \sqrt{5.76}$
$= 2.4\ \mathrm{m}$
故答案为$2.4$。
根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$（其中$c$为斜边，$a$、$b$为直角边），可得：
$h = \sqrt{3^2 - 1.8^2}$
$= \sqrt{9 - 3.24}$
$= \sqrt{5.76}$
$= 2.4\ \mathrm{m}$
故答案为$2.4$。
5. 如图,在一次课外活动中,同学们要测量某公园人工湖两侧A,B两个凉亭之间的距离.已知$CD⊥ BA$,现测得$AC=20\sqrt{3}\ \mathrm{m}$,$BC=60\ \mathrm{m}$,$CD=30\ \mathrm{m}$,请计算A,B两个凉亭之间的距离.
答案：5.
∵ CD ⊥ BA,
∴$ \angle D = 90°. $在$ Rt \triangle ACD $中$, AD = \sqrt{AC^ {2}-CD^ {2}}=\sqrt{(20\sqrt{3})^ {2}-30^ {2}} = 10\sqrt{3}(m). $在$ Rt \triangle BCD $中$, BD = \sqrt{BC^ {2}-CD^ {2}} = \sqrt{60^ {2}-30^ {2}} = 30\sqrt{3}(m). $
∴$ AB = BD - AD = 30\sqrt{3}-10\sqrt{3} = 20\sqrt{3}(m). $
∴ A,B 两个凉亭之间的距离为$ 20\sqrt{3} m$
∵ CD ⊥ BA,
∴$ \angle D = 90°. $在$ Rt \triangle ACD $中$, AD = \sqrt{AC^ {2}-CD^ {2}}=\sqrt{(20\sqrt{3})^ {2}-30^ {2}} = 10\sqrt{3}(m). $在$ Rt \triangle BCD $中$, BD = \sqrt{BC^ {2}-CD^ {2}} = \sqrt{60^ {2}-30^ {2}} = 30\sqrt{3}(m). $
∴$ AB = BD - AD = 30\sqrt{3}-10\sqrt{3} = 20\sqrt{3}(m). $
∴ A,B 两个凉亭之间的距离为$ 20\sqrt{3} m$