新知梳理
如果直角三角形的两条直角边长分别为 $a$，$b$，斜边长为 $c$，那么
如果直角三角形的两条直角边长分别为 $a$，$b$，斜边长为 $c$，那么
$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
，即在一个直角三角形中，两条直角边长
的平方和等于 斜边长
的平方. 在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫作勾，长的直角边叫作股，斜边叫作弦，因此我们称上述定理为 勾股定理
.答案：$a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 两条直角边长 斜边长 勾股定理
1. 若等腰直角三角形的直角边长为 $2$，则斜边的长为(
A.$\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$1$
D.$2$
B
)A.$\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$1$
D.$2$
答案：1.B
解析：
在等腰直角三角形中，直角边长为$2$。根据勾股定理，斜边长$c = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$。
B
B
2. 若等腰三角形的腰长为 $13$，底边长为 $10$，则它底边上的高为(
A.$12$
B.$7$
C.$6$
D.$5$
A
)A.$12$
B.$7$
C.$6$
D.$5$
答案：2.A
解析：
过等腰三角形顶点作底边的垂线，交底边于一点，该垂线即为底边上的高。因为等腰三角形三线合一，所以底边被分为两等份，每份长度为$\frac{10}{2}=5$。
在由腰、高和底边一半构成的直角三角形中，腰长为斜边，长度为$13$，底边一半为一条直角边，长度为$5$。设底边上的高为$h$，根据勾股定理可得：$h = \sqrt{13^{2} - 5^{2}} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$。
A
在由腰、高和底边一半构成的直角三角形中，腰长为斜边，长度为$13$，底边一半为一条直角边，长度为$5$。设底边上的高为$h$，根据勾股定理可得：$h = \sqrt{13^{2} - 5^{2}} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$。
A
3. 如图，数代表所在正方形的面积，则 $A$ 所在正方形的面积为
100
.答案：3.100
4. 在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A = 30^{\circ}$，$BC = 3$，则 $AC$ 的长为
$3\sqrt{3}$
.答案：4.$3\sqrt{3}$
解析：
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A = 30^{\circ}$，$BC = 3$。
因为在直角三角形中，$30^{\circ}$角所对的直角边等于斜边的一半，所以斜边$AB = 2BC = 2×3 = 6$。
由勾股定理得，$AC = \sqrt{AB^{2}-BC^{2}} = \sqrt{6^{2}-3^{2}} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$。
$3\sqrt{3}$
因为在直角三角形中，$30^{\circ}$角所对的直角边等于斜边的一半，所以斜边$AB = 2BC = 2×3 = 6$。
由勾股定理得，$AC = \sqrt{AB^{2}-BC^{2}} = \sqrt{6^{2}-3^{2}} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$。
$3\sqrt{3}$
5. 如图，$\triangle ABC$ 和 $\triangle DCE$ 都是边长为 $2$ 的等边三角形，点 $B$，$C$，$E$ 在同一条直线上，求 $BD$ 的长.
答案：5.由题意，得$BC=DC=CE=DE=2$，$\angle DCE=\angle E=\angle CDE=60^{\circ}$．$\therefore$易得$BE=4$，$\angle DBC=\angle BDC=30^{\circ}$．
$\therefore \angle BDE=30^{\circ}+60^{\circ}=90^{\circ}$．在$Rt\triangle BDE$中，由勾股定理，得$BD=\sqrt{BE^{2}-DE^{2}}=2\sqrt{3}$
$\therefore \angle BDE=30^{\circ}+60^{\circ}=90^{\circ}$．在$Rt\triangle BDE$中，由勾股定理，得$BD=\sqrt{BE^{2}-DE^{2}}=2\sqrt{3}$