新知梳理
1. 二次根式的混合运算：二次根式的混合运算顺序与有理数的运算顺序相同，先
2. 乘法公式：
(1)完全平方公式：$(a\pm b)^{2}=$
(2)平方差公式：$(a + b)(a - b)=$
当$a$，$b$为二次根式时，公式仍然成立，如$(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2}=$
1. 二次根式的混合运算：二次根式的混合运算顺序与有理数的运算顺序相同，先
乘方
后乘除
再加减
，有括号的先算括号里面的。在计算过程中，可以灵活运用乘法公式、因式分解、约分等技巧简化计算。2. 乘法公式：
(1)完全平方公式：$(a\pm b)^{2}=$
$a^{2} \pm 2ab + b^{2}$
；(2)平方差公式：$(a + b)(a - b)=$
$a^{2} - b^{2}$
。当$a$，$b$为二次根式时，公式仍然成立，如$(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2}=$
$5 - 2\sqrt{6}$
，$(\sqrt{5}-\sqrt{2})×(\sqrt{5}+\sqrt{2})=$３
。整式有关的运算法则在二次根式中仍然适用。答案：１. 乘方 乘除 加减 ２. (1) $a^{2} \pm 2ab + b^{2}$ (2) $a^{2} - b^{2}$
$5 - 2\sqrt{6}$ ３
$5 - 2\sqrt{6}$ ３
1. 下列各式计算正确的是(
A.$\sqrt{2}+\sqrt{5}=\sqrt{7}$
B.$4\sqrt{3}-3\sqrt{3}=1$
C.$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{6}$
D.$\sqrt{12}÷2=\sqrt{6}$
C
)A.$\sqrt{2}+\sqrt{5}=\sqrt{7}$
B.$4\sqrt{3}-3\sqrt{3}=1$
C.$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{6}$
D.$\sqrt{12}÷2=\sqrt{6}$
答案：1. C
2. 计算$\sqrt{24}×\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{3}$的结果是(
A.$2\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{3}$
C.$\sqrt{15}$
D.$6$
B
)A.$2\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{3}$
C.$\sqrt{15}$
D.$6$
答案：2. B
解析：
$\sqrt{24} × \sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{3}$
$=\sqrt{24 × \frac{1}{2}}+\sqrt{3}$
$=\sqrt{12}+\sqrt{3}$
$=2\sqrt{3}+\sqrt{3}$
$=3\sqrt{3}$
B
$=\sqrt{24 × \frac{1}{2}}+\sqrt{3}$
$=\sqrt{12}+\sqrt{3}$
$=2\sqrt{3}+\sqrt{3}$
$=3\sqrt{3}$
B
3. 计算：
(1)$(\sqrt{10}+1)×(\sqrt{10}-1)=$
(2)$(\sqrt{8}+\sqrt{32})÷\sqrt{2}=$
(3)$\sqrt{24}÷\sqrt{3}-\frac{6}{\sqrt{2}}+\sqrt{32}=$
(1)$(\sqrt{10}+1)×(\sqrt{10}-1)=$
９
；(2)$(\sqrt{8}+\sqrt{32})÷\sqrt{2}=$
６
；(3)$\sqrt{24}÷\sqrt{3}-\frac{6}{\sqrt{2}}+\sqrt{32}=$
$3\sqrt{2}$
。答案：3. (1) ９ (2) ６ (3) $3\sqrt{2}$
解析：
解：$\sqrt{24} ÷ \sqrt{3} - \frac{6}{\sqrt{2}} + \sqrt{32}$
$=\sqrt{24 ÷ 3} - \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2} × \sqrt{2}} + 4\sqrt{2}$
$=\sqrt{8} - 3\sqrt{2} + 4\sqrt{2}$
$=2\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 4\sqrt{2}$
$=3\sqrt{2}$
$3\sqrt{2}$
$=\sqrt{24 ÷ 3} - \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2} × \sqrt{2}} + 4\sqrt{2}$
$=\sqrt{8} - 3\sqrt{2} + 4\sqrt{2}$
$=2\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 4\sqrt{2}$
$=3\sqrt{2}$
$3\sqrt{2}$
4. 计算：
（1）$(3+\sqrt{10})×(\sqrt{2}-\sqrt{5})$；
（2）$(\sqrt{5}-\sqrt{3})^{2}$；
（3）$\sqrt{6}×\sqrt{2}+\sqrt{27}÷\sqrt{9}-\sqrt{\frac{1}{3}}$；
（4）$(2\sqrt{5}-3)^{2}-(2\sqrt{5}+3)^{2}$。
（1）$(3+\sqrt{10})×(\sqrt{2}-\sqrt{5})$；
（2）$(\sqrt{5}-\sqrt{3})^{2}$；
（3）$\sqrt{6}×\sqrt{2}+\sqrt{27}÷\sqrt{9}-\sqrt{\frac{1}{3}}$；
（4）$(2\sqrt{5}-3)^{2}-(2\sqrt{5}+3)^{2}$。
答案：4. (1) $-2\sqrt{2} - \sqrt{5}$ (2) $8 - 2\sqrt{15}$ (3) $\frac{8\sqrt{3}}{3}$ (4) $-24\sqrt{5}$
解析：
（1）$(3+\sqrt{10})×(\sqrt{2}-\sqrt{5})$
$=3\sqrt{2}-3\sqrt{5}+\sqrt{10}×\sqrt{2}-\sqrt{10}×\sqrt{5}$
$=3\sqrt{2}-3\sqrt{5}+\sqrt{20}-\sqrt{50}$
$=3\sqrt{2}-3\sqrt{5}+2\sqrt{5}-5\sqrt{2}$
$=(3\sqrt{2}-5\sqrt{2})+(-3\sqrt{5}+2\sqrt{5})$
$=-2\sqrt{2}-\sqrt{5}$
（2）$(\sqrt{5}-\sqrt{3})^{2}$
$=(\sqrt{5})^{2}-2×\sqrt{5}×\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}$
$=5 - 2\sqrt{15}+3$
$=8 - 2\sqrt{15}$
（3）$\sqrt{6}×\sqrt{2}+\sqrt{27}÷\sqrt{9}-\sqrt{\frac{1}{3}}$
$=\sqrt{12}+\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}$
$=2\sqrt{3}+\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}$
$=(2\sqrt{3}+\sqrt{3})-\frac{\sqrt{3}}{3}$
$=3\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}$
$=\frac{9\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}$
$=\frac{8\sqrt{3}}{3}$
（4）$(2\sqrt{5}-3)^{2}-(2\sqrt{5}+3)^{2}$
$=[(2\sqrt{5})^{2}-2×2\sqrt{5}×3 + 3^{2}]-[(2\sqrt{5})^{2}+2×2\sqrt{5}×3 + 3^{2}]$
$=(20 - 12\sqrt{5}+9)-(20 + 12\sqrt{5}+9)$
$=(29 - 12\sqrt{5})-(29 + 12\sqrt{5})$
$=29 - 12\sqrt{5}-29 - 12\sqrt{5}$
$=(29 - 29)+(-12\sqrt{5}-12\sqrt{5})$
$=-24\sqrt{5}$
$=3\sqrt{2}-3\sqrt{5}+\sqrt{10}×\sqrt{2}-\sqrt{10}×\sqrt{5}$
$=3\sqrt{2}-3\sqrt{5}+\sqrt{20}-\sqrt{50}$
$=3\sqrt{2}-3\sqrt{5}+2\sqrt{5}-5\sqrt{2}$
$=(3\sqrt{2}-5\sqrt{2})+(-3\sqrt{5}+2\sqrt{5})$
$=-2\sqrt{2}-\sqrt{5}$
（2）$(\sqrt{5}-\sqrt{3})^{2}$
$=(\sqrt{5})^{2}-2×\sqrt{5}×\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}$
$=5 - 2\sqrt{15}+3$
$=8 - 2\sqrt{15}$
（3）$\sqrt{6}×\sqrt{2}+\sqrt{27}÷\sqrt{9}-\sqrt{\frac{1}{3}}$
$=\sqrt{12}+\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}$
$=2\sqrt{3}+\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}$
$=(2\sqrt{3}+\sqrt{3})-\frac{\sqrt{3}}{3}$
$=3\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}$
$=\frac{9\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}$
$=\frac{8\sqrt{3}}{3}$
（4）$(2\sqrt{5}-3)^{2}-(2\sqrt{5}+3)^{2}$
$=[(2\sqrt{5})^{2}-2×2\sqrt{5}×3 + 3^{2}]-[(2\sqrt{5})^{2}+2×2\sqrt{5}×3 + 3^{2}]$
$=(20 - 12\sqrt{5}+9)-(20 + 12\sqrt{5}+9)$
$=(29 - 12\sqrt{5})-(29 + 12\sqrt{5})$
$=29 - 12\sqrt{5}-29 - 12\sqrt{5}$
$=(29 - 29)+(-12\sqrt{5}-12\sqrt{5})$
$=-24\sqrt{5}$