新知梳理
1. 有一个角是直角的平行四边形叫作
2. 矩形的四个角都是
3. 直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于
1. 有一个角是直角的平行四边形叫作
矩形
.2. 矩形的四个角都是
直角
，矩形的对角线相等且互相平分
，矩形有两
条对称轴.3. 直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于
斜边的一半
.答案：1.矩形 2.直角 相等且互相平分 两 3.斜边的一半
1. 已知矩形的两条邻边长分别为3，4，则两条对角线长的和是(
A.10
B.11
C.12
D.14
A
)A.10
B.11
C.12
D.14
答案：1.A
解析：
矩形的对角线长为$\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$，两条对角线长的和是$5×2 = 10$。A
2. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别为AO，AD的中点.若EF=4，AB=8，则∠ACB的度数为(
A.$30^{\circ}$
B.$35^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$60^{\circ}$
A
)A.$30^{\circ}$
B.$35^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$60^{\circ}$
答案：2.A
解析：
解：
∵E，F分别为AO，AD的中点，
∴EF是△AOD的中位线，
∴EF=$\frac{1}{2}$OD，
∵EF=4，
∴OD=8，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=2OD=16，BO=OD=8，
∵AB=8，∠ABC=90°，
∴在Rt△ABC中，sin∠ACB=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{8}{16}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠ACB=30°．
A
∵E，F分别为AO，AD的中点，
∴EF是△AOD的中位线，
∴EF=$\frac{1}{2}$OD，
∵EF=4，
∴OD=8，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=2OD=16，BO=OD=8，
∵AB=8，∠ABC=90°，
∴在Rt△ABC中，sin∠ACB=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{8}{16}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠ACB=30°．
A
3. 已知矩形的一条边的长为6 cm，一条对角线的长为10 cm，则矩形的面积为
48
$cm^{2}$.答案：3.48
解析：
矩形的一边长为$6\space cm$，对角线长为$10\space cm$。根据矩形的性质，对角线与矩形的两边构成直角三角形，设另一边长为$a\space cm$，由勾股定理得：$a = \sqrt{10^{2}-6^{2}}=\sqrt{100 - 36}=\sqrt{64}=8\space cm$。矩形面积为$6×8 = 48\space cm^{2}$。
48
48
4. 如图，在矩形ABCD中，E是BC延长线上一点，连接AC，DE，BE=AC.若∠E=$70^{\circ}$，则∠ACB的度数是
40°
.答案：4.40°
解析：
解：连接BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，∠ABC=90°，AD//BC，
∵BE=AC，
∴BD=BE，
∴∠BDE=∠E=70°，
∵AD//BC，
∴∠ADE=∠E=70°，
∴∠ADB=∠ADE+∠BDE=70°+70°=140°，
∵AD//BC，
∴∠DBC=180°-∠ADB=40°，
∵AC=BD，AB=CD，BC=BC，
∴△ABC≌△DCB（SSS），
∴∠ACB=∠DBC=40°.
故∠ACB的度数是40°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，∠ABC=90°，AD//BC，
∵BE=AC，
∴BD=BE，
∴∠BDE=∠E=70°，
∵AD//BC，
∴∠ADE=∠E=70°，
∴∠ADB=∠ADE+∠BDE=70°+70°=140°，
∵AD//BC，
∴∠DBC=180°-∠ADB=40°，
∵AC=BD，AB=CD，BC=BC，
∴△ABC≌△DCB（SSS），
∴∠ACB=∠DBC=40°.
故∠ACB的度数是40°.
5. 如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF=FD.
（1）求证：$\triangle EBF\cong\triangle FCD$；
（2）试判断$\triangle EFD$是什么三角形，并说明理由.
（1）求证：$\triangle EBF\cong\triangle FCD$；
（2）试判断$\triangle EFD$是什么三角形，并说明理由.
答案：5.(1)
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B = ∠C = 90°.在Rt△EBF和Rt△FCD中，$\begin{cases} EF = FD, \\ BE = CF. \end{cases} $
∴Rt△EBF≌Rt△FCD
(2)△EFD是等腰直角三角形 理由：
∵Rt△EBF≌Rt△FCD，
∴∠BFE = ∠CDF.
∵∠C = 90°，
∴∠CDF + ∠CFD = 90°.
∴∠BFE + ∠CFD = 90°.
∴∠EFD = 90°.又
∵EF = FD，
∴△EFD是等腰直角三角形.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B = ∠C = 90°.在Rt△EBF和Rt△FCD中，$\begin{cases} EF = FD, \\ BE = CF. \end{cases} $
∴Rt△EBF≌Rt△FCD
(2)△EFD是等腰直角三角形 理由：
∵Rt△EBF≌Rt△FCD，
∴∠BFE = ∠CDF.
∵∠C = 90°，
∴∠CDF + ∠CFD = 90°.
∴∠BFE + ∠CFD = 90°.
∴∠EFD = 90°.又
∵EF = FD，
∴△EFD是等腰直角三角形.