新知梳理
1. 有一组
2. 菱形的四条边都
3. 菱形的两条对角线互相
4. 菱形四条边上的高都
1. 有一组
邻边相等
的平行四边形叫作菱形.2. 菱形的四条边都
相等
，菱形有两
条对称轴，它们是对角线所在的直线
.3. 菱形的两条对角线互相
垂直
，并且每一条对角线平分一组对角
.4. 菱形四条边上的高都
相等
，菱形的面积公式为 $ S_{\mathrm{菱形}} = $边×高
$ = $对角线长的乘积的一半
.答案：1. 邻边相等 2. 相等 两 对角线所在的直线 3. 垂直 一组对角 4. 相等 边×高 对角线长的乘积的一半
1. 菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是(
A.对边平行
B.对角相等
C.对角线互相平分
D.对角线互相垂直
D
)A.对边平行
B.对角相等
C.对角线互相平分
D.对角线互相垂直
答案：1. D
2. 如图，在菱形 $ ABCD $ 中，$ AC = 12 $，$ BD = 16 $，则边 $ AB $ 上的高 $ CE $ 是(
A.$ 2.4 $
B.$ 4.8 $
C.$ 10 $
D.$ 9.6 $
D
)A.$ 2.4 $
B.$ 4.8 $
C.$ 10 $
D.$ 9.6 $
答案：2. D
解析：
解：
∵四边形$ABCD$是菱形，$AC = 12$，$BD = 16$，
∴$AC⊥ BD$，$OA=\frac{1}{2}AC = 6$，$OB=\frac{1}{2}BD = 8$。
在$Rt\triangle AOB$中，$AB=\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}} = 10$。
菱形面积$S=\frac{1}{2}AC· BD=\frac{1}{2}×12×16 = 96$。
又$S = AB· CE$，即$10· CE=96$，解得$CE = 9.6$。
答案：D
∵四边形$ABCD$是菱形，$AC = 12$，$BD = 16$，
∴$AC⊥ BD$，$OA=\frac{1}{2}AC = 6$，$OB=\frac{1}{2}BD = 8$。
在$Rt\triangle AOB$中，$AB=\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}} = 10$。
菱形面积$S=\frac{1}{2}AC· BD=\frac{1}{2}×12×16 = 96$。
又$S = AB· CE$，即$10· CE=96$，解得$CE = 9.6$。
答案：D
3. 如图，在菱形 $ ABCD $ 中，$ AB = 3 $，$ BD = 2 $，则菱形 $ ABCD $ 的面积为
$4\sqrt{2}$
.答案：$3. 4\sqrt{2}$
解析：
证明：连接AC，交BD于点O。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB=OD=1/2BD=1，OA=OC=1/2AC。
在Rt△AOB中，AB=3，OB=1，
由勾股定理得：OA=√(AB²-OB²)=√(3²-1²)=2√2，
∴AC=2OA=4√2，
∴菱形ABCD的面积=1/2×AC×BD=1/2×4√2×2=4√2。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB=OD=1/2BD=1，OA=OC=1/2AC。
在Rt△AOB中，AB=3，OB=1，
由勾股定理得：OA=√(AB²-OB²)=√(3²-1²)=2√2，
∴AC=2OA=4√2，
∴菱形ABCD的面积=1/2×AC×BD=1/2×4√2×2=4√2。
4. 如图，在菱形 $ ABCD $ 中，$ \angle B = 50^{\circ} $，点 $ E $ 在 $ CD $ 上. 若 $ AE = AC $，则 $ \angle BAE $ 的度数为
$115^{\circ}$
.答案：$4. 115^{\circ}$
解析：
解：在菱形$ABCD$中，$AB=BC$，$\angle B=50^{\circ}$，
$\angle BAC = \angle BCA=\frac{180^{\circ}-50^{\circ}}{2}=65^{\circ}$，
$AD// BC$，$\angle BCD=180^{\circ}-50^{\circ}=130^{\circ}$，
$\angle ACD=\angle BCD - \angle BCA=130^{\circ}-65^{\circ}=65^{\circ}$，
$AE=AC$，$\angle AEC=\angle ACE=65^{\circ}$，
$\angle DAE=180^{\circ}-2×65^{\circ}=50^{\circ}$，
$\angle BAD=180^{\circ}-50^{\circ}=130^{\circ}$，
$\angle BAE=\angle BAD - \angle DAE=130^{\circ}-15^{\circ}=115^{\circ}$。
$115^{\circ}$
$\angle BAC = \angle BCA=\frac{180^{\circ}-50^{\circ}}{2}=65^{\circ}$，
$AD// BC$，$\angle BCD=180^{\circ}-50^{\circ}=130^{\circ}$，
$\angle ACD=\angle BCD - \angle BCA=130^{\circ}-65^{\circ}=65^{\circ}$，
$AE=AC$，$\angle AEC=\angle ACE=65^{\circ}$，
$\angle DAE=180^{\circ}-2×65^{\circ}=50^{\circ}$，
$\angle BAD=180^{\circ}-50^{\circ}=130^{\circ}$，
$\angle BAE=\angle BAD - \angle DAE=130^{\circ}-15^{\circ}=115^{\circ}$。
$115^{\circ}$
5. 如图，在菱形 $ ABCD $ 中，$ M $，$ N $ 分别是 $ AB $ 和 $ BC $ 上的点，且 $ AM = CN $. 求证：$ \angle DMN = \angle DNM $.
答案：5.
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴AD = CD，∠A = ∠C. 在△DAM和△DCN中，$\begin{cases}AD = CD, \\ ∠A = ∠C, \\ AM = CN,\end{cases} $
∴△DAM≌△DCN.
∴DM = DN.
∴∠DMN = ∠DNM
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴AD = CD，∠A = ∠C. 在△DAM和△DCN中，$\begin{cases}AD = CD, \\ ∠A = ∠C, \\ AM = CN,\end{cases} $
∴△DAM≌△DCN.
∴DM = DN.
∴∠DMN = ∠DNM