新知梳理
1. 有一组
2. 对角线
3. 四条边
1. 有一组
邻边
相等的平行四边形是菱形.2. 对角线
互相垂直
的平行四边形
是菱形.3. 四条边
相等
的四边形
是菱形.答案：1.邻边 2.互相垂直 平行四边形 3.相等 四边形
1. 已知四边形 $ABCD$ 的对角线互相平分,则添加下列条件可以使它成为菱形的是(
A.一组对边相等
B.对角线相等
C.对角线互相垂直
D.一个内角为 $90^{\circ}$
C
)A.一组对边相等
B.对角线相等
C.对角线互相垂直
D.一个内角为 $90^{\circ}$
答案：1.C
2. 如图,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$□ BCDE$ 的顶点 $E$ 在边 $AB$ 上,连接 $CE$,$AD$. 添加一个条件,可以使四边形 $ADCE$ 成为菱形的是(
A.$CE⊥ AB$
B.$CD⊥ AD$
C.$CD = CE$
D.$AC = DE$
C
)A.$CE⊥ AB$
B.$CD⊥ AD$
C.$CD = CE$
D.$AC = DE$
答案：2.C
解析：
证明：
∵四边形$BCDE$是平行四边形，
∴$BC// DE$，$BC=DE$，$BE// CD$，$BE=CD$。
∵$\angle ACB=90^{\circ}$，$BC// DE$，
∴$\angle AED=\angle ACB=90^{\circ}$，即$DE⊥ AB$。
若添加条件$CD=CE$：
∵$BE=CD$，$CD=CE$，
∴$BE=CE$，
∴$\triangle BEC$是等腰三角形，$\angle B=\angle BCE$。
∵$BE// CD$，
∴$\angle BCE=\angle DCE$，$\angle BAC=\angle ADC$。
∵$\angle ACB=90^{\circ}$，
∴$\angle B+\angle BAC=90^{\circ}$，$\angle ACE+\angle BCE=90^{\circ}$。
∵$\angle B=\angle BCE$，
∴$\angle BAC=\angle ACE$，
∴$AE=CE$。
∵$AE=CE$，$CD=CE$，
∴$AE=CD$。
∵$BE// CD$，即$AE// CD$，
∴四边形$ADCE$是平行四边形。
∵$AE=CE$，
∴平行四边形$ADCE$是菱形。
综上，四边形$ADCE$为菱形。
答案：C
∵四边形$BCDE$是平行四边形，
∴$BC// DE$，$BC=DE$，$BE// CD$，$BE=CD$。
∵$\angle ACB=90^{\circ}$，$BC// DE$，
∴$\angle AED=\angle ACB=90^{\circ}$，即$DE⊥ AB$。
若添加条件$CD=CE$：
∵$BE=CD$，$CD=CE$，
∴$BE=CE$，
∴$\triangle BEC$是等腰三角形，$\angle B=\angle BCE$。
∵$BE// CD$，
∴$\angle BCE=\angle DCE$，$\angle BAC=\angle ADC$。
∵$\angle ACB=90^{\circ}$，
∴$\angle B+\angle BAC=90^{\circ}$，$\angle ACE+\angle BCE=90^{\circ}$。
∵$\angle B=\angle BCE$，
∴$\angle BAC=\angle ACE$，
∴$AE=CE$。
∵$AE=CE$，$CD=CE$，
∴$AE=CD$。
∵$BE// CD$，即$AE// CD$，
∴四边形$ADCE$是平行四边形。
∵$AE=CE$，
∴平行四边形$ADCE$是菱形。
综上，四边形$ADCE$为菱形。
答案：C
3. 如图,在$□ ABCD$中,过 $AC$ 的中点 $O$ 的直线分别交边 $BC$,$AD$ 于点 $E$,$F$,连接 $AE$,$CF$. 只需添加一个条件即可判定四边形 $AECF$ 是菱形,这个条件可以是
答案不唯一，如$AE=AF$
(写出一个即可).答案：3.答案不唯一，如$AE=AF$
4. 如图,线段 $AB = 10$,分别以 $A$,$B$ 两点为圆心,6 为半径画弧,两弧交于点 $C$,$D$,连接 $CD$,则 $CD=$
$2\sqrt{11}$
.答案：4.$2\sqrt{11}$
解析：
解：连接AC，BC，设AB与CD交于点O。
由题意得，AC=BC=6，AB=10，CD垂直平分AB，
∴AO=BO=5，∠AOC=90°。
在Rt△AOC中，$CO=\sqrt{AC^2 - AO^2}=\sqrt{6^2 - 5^2}=\sqrt{11}$，
∴CD=2CO=$2\sqrt{11}$。
$2\sqrt{11}$
由题意得，AC=BC=6，AB=10，CD垂直平分AB，
∴AO=BO=5，∠AOC=90°。
在Rt△AOC中，$CO=\sqrt{AC^2 - AO^2}=\sqrt{6^2 - 5^2}=\sqrt{11}$，
∴CD=2CO=$2\sqrt{11}$。
$2\sqrt{11}$
5. (2025·长春)如图,$□ ABCD$ 的对角线 $AC$,$BD$ 相交于点 $O$,$AB = 5$,$OA = 4$,$OB = 3$. 求证:四边形 $ABCD$ 是菱形.
答案：5.$\because AB = 5,OA = 4,OB = 3,\therefore AB^{2} = OA^{2} + OB^{2}$.
$\therefore \angle AOB = 90^{\circ}.\therefore AC⊥ BD$.又$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore$四边形$ABCD$是菱形
$\therefore \angle AOB = 90^{\circ}.\therefore AC⊥ BD$.又$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore$四边形$ABCD$是菱形