新知梳理
1. 正方形的四条边
2. 正方形的对角线
1. 正方形的四条边
都相等
，四个角都是直角
。2. 正方形的对角线
互相垂直平分、相等且平分每一组对角
。答案：1. 都相等 都是直角 2. 互相垂直平分、相等且平分每一组对角
1. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是(
A.对角线相等
B.对角线互相垂直
C.对角线互相平分
D.对角线平分一组对角
C
)A.对角线相等
B.对角线互相垂直
C.对角线互相平分
D.对角线平分一组对角
答案：1. C
2. 如图，点E在正方形ABCD的内部，且△ABE是等边三角形，连接BD，DE，则∠BDE的度数为(
A.37.5°
B.35°
C.30°
D.25°
C
)A.37.5°
B.35°
C.30°
D.25°
答案：2. C
解析：
证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，∠ABD=45°．
∵△ABE是等边三角形，
∴AB=AE，∠BAE=60°．
∴AD=AE，∠DAE=∠BAD-∠BAE=90°-60°=30°．
∴∠ADE=∠AED=(180°-∠DAE)/2=(180°-30°)/2=75°．
∵∠ADB=45°，
∴∠BDE=∠ADE-∠ADB=75°-45°=30°．
答案：C
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，∠ABD=45°．
∵△ABE是等边三角形，
∴AB=AE，∠BAE=60°．
∴AD=AE，∠DAE=∠BAD-∠BAE=90°-60°=30°．
∴∠ADE=∠AED=(180°-∠DAE)/2=(180°-30°)/2=75°．
∵∠ADB=45°，
∴∠BDE=∠ADE-∠ADB=75°-45°=30°．
答案：C
3. 如果一个正方形的面积为5，那么这个正方形的一条对角线的长为
$\sqrt{10}$
。答案：3. $\sqrt{10}$
解析：
设正方形的边长为$a$，则$a^2 = 5$。
正方形的对角线长$d$满足$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$，将$a^2 = 5$代入得$d^2 = 2×5 = 10$，所以$d = \sqrt{10}$。
$\sqrt{10}$
正方形的对角线长$d$满足$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$，将$a^2 = 5$代入得$d^2 = 2×5 = 10$，所以$d = \sqrt{10}$。
$\sqrt{10}$
4. 如图，正方形ABCD的内部有一个等边三角形ABE，则∠DAE=
$30^{\circ}$
。答案：4. $30^{\circ}$
解析：
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，AD=AB。
∵△ABE是等边三角形，
∴∠EAB=60°，AE=AB。
∴∠DAE=∠DAB - ∠EAB=90° - 60°=30°。
故答案为：$30^{\circ}$
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，AD=AB。
∵△ABE是等边三角形，
∴∠EAB=60°，AE=AB。
∴∠DAE=∠DAB - ∠EAB=90° - 60°=30°。
故答案为：$30^{\circ}$
5. 如图，点E在正方形ABCD的边AB上，点F在边BC的延长线上，且∠EDF=90°。求证：DE=DF。
答案：5. $\because$四边形ABCD是正方形，$\therefore AD = CD,\angle A = \angle DCB = \angle DCF = \angle ADC = 90^{\circ}$.又$\because \angle EDF = 90^{\circ},\therefore \angle ADC - \angle EDC = \angle EDF - \angle EDC.\therefore \angle ADE = \angle CDF$.在$\triangle ADE$和$\{\begin{array}{l}\angle ADE = \angle CDF,\\\triangle CDF \mathrm{中},\\AD = CD,\\\angle A = \angle DCF,\end{array} $ $\therefore \triangle ADE \cong \triangle CDF.\therefore DE = DF$
解析：
证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠A=∠DCB=∠DCF=∠ADC=90°．
∵∠EDF=90°，
∴∠ADC-∠EDC=∠EDF-∠EDC，即∠ADE=∠CDF．
在△ADE和△CDF中，
$\{\begin{array}{l}\angle ADE = \angle CDF, \\AD = CD, \\\angle A = \angle DCF,\end{array} $
∴△ADE≌△CDF（ASA）．
∴DE=DF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠A=∠DCB=∠DCF=∠ADC=90°．
∵∠EDF=90°，
∴∠ADC-∠EDC=∠EDF-∠EDC，即∠ADE=∠CDF．
在△ADE和△CDF中，
$\{\begin{array}{l}\angle ADE = \angle CDF, \\AD = CD, \\\angle A = \angle DCF,\end{array} $
∴△ADE≌△CDF（ASA）．
∴DE=DF．