新知梳理
1. 有一组
2. 有一组
3. 有一个角是
1. 有一组
邻边
相等，而且有一个角是直角
的平行四边形是正方形。2. 有一组
邻边
相等的矩形
是正方形。3. 有一个角是
直角
的菱形
是正方形。答案：1. 邻边 直角 2. 邻边 矩形 3. 直角 菱形
1. 下列说法中，正确的是(
A.四边相等的四边形是正方形
B.四角相等的四边形是正方形
C.对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
D
)A.四边相等的四边形是正方形
B.四角相等的四边形是正方形
C.对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
答案：1. D
2. 如图，在菱形$ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，请添加一个条件：
答案不唯一,如$AC=BD$
，使得菱形$ABCD$为正方形。答案：2. 答案不唯一,如$AC=BD$
解析：
$AC=BD$
3. 如图，在$□ ABCD$中，$AE ⊥ BC$于点$E$，$CF ⊥ AD$于点$F$，$AE = CE$，求证：四边形$AECF$是正方形。
答案：3. $\because$四边形$ABCD$是平行四边形,$\therefore AD// BC.\because CF⊥ AD$，$AE⊥ BC$,$\therefore \angle BCF=\angle AFC=\angle DAE=\angle AEC=90^{\circ}.\therefore$四边形$AECF$是矩形.$\because AE=CE$,$\therefore$四边形$AECF$是正方形
解析：
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD // BC$。
∵$CF ⊥ AD$，$AE ⊥ BC$，
∴$\angle AFC = \angle AEC = 90°$，且$\angle ECF = \angle AFC = 90°$（两直线平行，同旁内角互补）。
∴四边形$AECF$是矩形（三个角是直角的四边形是矩形）。
∵$AE = CE$，
∴四边形$AECF$是正方形（邻边相等的矩形是正方形）。
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD // BC$。
∵$CF ⊥ AD$，$AE ⊥ BC$，
∴$\angle AFC = \angle AEC = 90°$，且$\angle ECF = \angle AFC = 90°$（两直线平行，同旁内角互补）。
∴四边形$AECF$是矩形（三个角是直角的四边形是矩形）。
∵$AE = CE$，
∴四边形$AECF$是正方形（邻边相等的矩形是正方形）。
4. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD$是$AB$边上的中线，$E$是$CD$的中点，过点$C$作$CF // AB$，交$AE$的延长线于点$F$，连接$BF$。
（1）求证：四边形$BDCF$是菱形。
（2）当$\triangle ABC$满足什么条件时，四边形$BDCF$是正方形？请说明理由。
（1）求证：四边形$BDCF$是菱形。
（2）当$\triangle ABC$满足什么条件时，四边形$BDCF$是正方形？请说明理由。
答案：4. (1)$\because CF// AB$,$\therefore \angle CFA=\angle BAF$，$\angle ADC=\angle FCD$.$\because E$是$CD$的中点,$\therefore CE=DE.\therefore \triangle CEF\cong\triangle DEA.\therefore CF=DA.\because CD$是$Rt\triangle ABC$的中线,$\therefore CD=AD=BD.\therefore CF=BD.\because CF// AB$,$\therefore$四边形$BDCF$是平行四边形.$\because CD=BD$,$\therefore$四边形$BDCF$是菱形 (2)当$AC=BC$时,四边形$BDCF$是正方形 理由：$\because AC=BC$，$CD$是$Rt\triangle ABC$的中线,$\therefore CD⊥ AB.\therefore \angle CDB=90^{\circ}$.又$\because$四边形$BDCF$是菱形,$\therefore$四边形$BDCF$是正方形.
解析：
（1）证明：
$\because CF // AB$，
$\therefore \angle CFE = \angle DAE$，$\angle FCE = \angle ADE$。
$\because E$是$CD$的中点，
$\therefore CE = DE$。
在$\triangle CEF$和$\triangle DEA$中，
$\begin{cases} \angle CFE = \angle DAE \\\angle FCE = \angle ADE \\CE = DE \end{cases}$，
$\therefore \triangle CEF \cong \triangle DEA$（AAS）。
$\therefore CF = AD$。
$\because CD$是$Rt\triangle ABC$斜边$AB$上的中线，
$\therefore CD = AD = BD$。
$\therefore CF = BD$。
$\because CF // AB$，
$\therefore$四边形$BDCF$是平行四边形。
$\because CD = BD$，
$\therefore$四边形$BDCF$是菱形。
（2）当$\triangle ABC$满足$AC = BC$时，四边形$BDCF$是正方形。
理由：
$\because AC = BC$，$\angle ACB = 90°$，
$\therefore \triangle ABC$是等腰直角三角形。
$\because CD$是斜边$AB$上的中线，
$\therefore CD ⊥ AB$。
$\therefore \angle CDB = 90°$。
$\because$四边形$BDCF$是菱形，
$\therefore$四边形$BDCF$是正方形。
$\because CF // AB$，
$\therefore \angle CFE = \angle DAE$，$\angle FCE = \angle ADE$。
$\because E$是$CD$的中点，
$\therefore CE = DE$。
在$\triangle CEF$和$\triangle DEA$中，
$\begin{cases} \angle CFE = \angle DAE \\\angle FCE = \angle ADE \\CE = DE \end{cases}$，
$\therefore \triangle CEF \cong \triangle DEA$（AAS）。
$\therefore CF = AD$。
$\because CD$是$Rt\triangle ABC$斜边$AB$上的中线，
$\therefore CD = AD = BD$。
$\therefore CF = BD$。
$\because CF // AB$，
$\therefore$四边形$BDCF$是平行四边形。
$\because CD = BD$，
$\therefore$四边形$BDCF$是菱形。
（2）当$\triangle ABC$满足$AC = BC$时，四边形$BDCF$是正方形。
理由：
$\because AC = BC$，$\angle ACB = 90°$，
$\therefore \triangle ABC$是等腰直角三角形。
$\because CD$是斜边$AB$上的中线，
$\therefore CD ⊥ AB$。
$\therefore \angle CDB = 90°$。
$\because$四边形$BDCF$是菱形，
$\therefore$四边形$BDCF$是正方形。