新知梳理
一般地，正比例函数 $ y = kx $($ k $ 是常数，$ k \neq 0 $)的图象是
一般地，正比例函数 $ y = kx $($ k $ 是常数，$ k \neq 0 $)的图象是
一条经过原点的直线
，我们称它为直线 $ y = kx $。当 $ k ＞ 0 $ 时，直线 $ y = kx $ 经过第三、第一
象限，从左向右上升
，即 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大
；当 $ k ＜ 0 $ 时，直线 $ y = kx $ 经过第二、第四
象限，从左向右下降
，即 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
。答案：一条经过原点的直线 第三、第一 上升 增大 第二、第四 下降 减小
1. 若正比例函数 $ y = kx $ 的图象经过点 $ (1,2) $，则 $ k $ 的值为(
A.$ -\dfrac{1}{2} $
B.$ -2 $
C.$ \dfrac{1}{2} $
D.$ 2 $
D
)A.$ -\dfrac{1}{2} $
B.$ -2 $
C.$ \dfrac{1}{2} $
D.$ 2 $
答案：1.D
解析：
将点$(1,2)$代入$y = kx$，得$2 = k × 1$，解得$k=2$。
D
D
2. 若 $ y = (a + 3)x + a^{2} - 9 $ 是正比例函数，则 $ a = $
3
。答案：2. 3
解析：
解：因为$y=(a + 3)x + a^{2}-9$是正比例函数，所以$\begin{cases}a + 3\neq0\\a^{2}-9 = 0\end{cases}$，解得$a = 3$。
3. 若正比例函数 $ y = (2k + 1)x $ 的图象经过第一、第三象限，则 $ k $ 的取值范围是
$k＞ - \frac {1}{2}$
。答案：$3. k＞ - \frac {1}{2}$
4. 已知正比例函数 $ y = (k + 3)x $。
（1）当 $ k $ 为何值时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小？
（2）当 $ k $ 为何值时，函数图象经过点 $ (1,1) $？
（3）若 $ k = 1 $，当 $ -2 \leqslant y \leqslant 2 $ 时，求自变量 $ x $ 的取值范围。
（1）当 $ k $ 为何值时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小？
（2）当 $ k $ 为何值时，函数图象经过点 $ (1,1) $？
（3）若 $ k = 1 $，当 $ -2 \leqslant y \leqslant 2 $ 时，求自变量 $ x $ 的取值范围。
答案：4.(1)
∵ y随x的增大而减小，
∴ k + 3 ＜ 0.
∴ k ＜ - 3
(2)
∵ 函数图象经过点(1,1)，
∴ 把(1,1)代入y = (k + 3)x，得1 = k + 3，解得k = - 2 (3)
∵ k = 1，
∴ y = 4x.
∵ 4 ＞ 0，
∴ y随x的增大而增大.令y = - 2，则 - 2 = 4x，解得$x = - \frac {1}{2};$令y = 2，则2 = 4x，解得$x = \frac {1}{2}. $
∴ 当 - 2 ≤ y ≤ 2时，$- \frac {1}{2} ≤ x ≤ \frac {1}{2}$
∵ y随x的增大而减小，
∴ k + 3 ＜ 0.
∴ k ＜ - 3
(2)
∵ 函数图象经过点(1,1)，
∴ 把(1,1)代入y = (k + 3)x，得1 = k + 3，解得k = - 2 (3)
∵ k = 1，
∴ y = 4x.
∵ 4 ＞ 0，
∴ y随x的增大而增大.令y = - 2，则 - 2 = 4x，解得$x = - \frac {1}{2};$令y = 2，则2 = 4x，解得$x = \frac {1}{2}. $
∴ 当 - 2 ≤ y ≤ 2时，$- \frac {1}{2} ≤ x ≤ \frac {1}{2}$
5. 已知正比例函数的图象经过点 $ P(4,6) $ 和点 $ Q(6,t) $。
（1）求正比例函数的解析式及点 $ Q $ 的坐标；
（2）在 $ x $ 轴上找一点 $ M $，使 $ \triangle MPQ $ 的面积等于 $ 18 $。
（1）求正比例函数的解析式及点 $ Q $ 的坐标；
（2）在 $ x $ 轴上找一点 $ M $，使 $ \triangle MPQ $ 的面积等于 $ 18 $。
答案：5.(1)设正比例函数的解析式为y = kx(k ≠ 0).
∵ 点P(4,6)在函数y = kx的图象上，
∴ 6 = 4k.
∴$ k = \frac {3}{2}. $
∴ 正比例函数的解析式为$y = \frac {3}{2}x. $
∵ 点Q(6,t)在函数$y = \frac {3}{2}x$的图象上，
∴$ t = \frac {3}{2} × 6 = 9. $
∴ 点Q的坐标为(6,9) (2)
∵ 点M在x轴上，
∴ 设点M的坐标为(m,0).
∵ △MPQ的面积等于18，
∴$ 18 = \frac {1}{2} × $|m|$ × 9 - \frac {1}{2} × $|m| × 6，解得m = 12或m = - 12.
∴ 点M的坐标为(12,0)或(-12,0)
∵ 点P(4,6)在函数y = kx的图象上，
∴ 6 = 4k.
∴$ k = \frac {3}{2}. $
∴ 正比例函数的解析式为$y = \frac {3}{2}x. $
∵ 点Q(6,t)在函数$y = \frac {3}{2}x$的图象上，
∴$ t = \frac {3}{2} × 6 = 9. $
∴ 点Q的坐标为(6,9) (2)
∵ 点M在x轴上，
∴ 设点M的坐标为(m,0).
∵ △MPQ的面积等于18，
∴$ 18 = \frac {1}{2} × $|m|$ × 9 - \frac {1}{2} × $|m| × 6，解得m = 12或m = - 12.
∴ 点M的坐标为(12,0)或(-12,0)