1. (2025·杭州校级月考)下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是 (
A.$x^{2}+x+1$
B.$x^{2}+2x - 1$
C.$x^{2}-1$
D.$81+18x+x^{2}$
D
)A.$x^{2}+x+1$
B.$x^{2}+2x - 1$
C.$x^{2}-1$
D.$81+18x+x^{2}$
答案：1. D 解析：$81 + 18x + x^{2} = (9 + x)^{2}$，能用完全平方公式因式分解.故选D.
2. 下面分解因式正确的是 (
A.$4a^{2}-4a+1=4a(a - 1)+1$
B.$a^{2}-4b^{2}=(a+4b)(a - 4b)$
C.$4a^{2}-12a+9=(2a - 3)^{2}$
D.$2ab - a^{2}-b^{2}=-(a+b)^{2}$
C
)A.$4a^{2}-4a+1=4a(a - 1)+1$
B.$a^{2}-4b^{2}=(a+4b)(a - 4b)$
C.$4a^{2}-12a+9=(2a - 3)^{2}$
D.$2ab - a^{2}-b^{2}=-(a+b)^{2}$
答案：2. C 解析：$4a^{2} - 4a + 1 = (2a - 1)^{2}$，即选项A不符合题意；$a^{2} - 4b^{2} = (a + 2b)(a - 2b)$，即选项B不符合题意；$4a^{2} - 12a + 9 = (2a - 3)^{2}$，即选项C符合题意；$2ab - a^{2} - b^{2} = - (a^{2} - 2ab + b^{2}) = - (a - b)^{2}$，即选项D不符合题意.故选C.
3. 计算：$125^{2}-50×125+25^{2}=$ (
A.100
B.150
C.10 000
D.22 500
C
)A.100
B.150
C.10 000
D.22 500
答案：3. C 解析：$125^{2} - 50×125 + 25^{2} = (125 - 25)^{2} = 10000$.故选C.
4. 分解因式：
(1) (2025·甘肃中考改编)$9 - 6x+x^{2}=$
(2) (南京中考改编)$(a - b)^{2}+4ab=$
(3) (沈阳中考)$-x^{2}-4y^{2}+4xy=$
(4) $(x - 1)^{2}-2(x - 1)+1=$
(1) (2025·甘肃中考改编)$9 - 6x+x^{2}=$
$(3 - x)^{2}$
.(2) (南京中考改编)$(a - b)^{2}+4ab=$
$(a + b)^{2}$
.(3) (沈阳中考)$-x^{2}-4y^{2}+4xy=$
$- (x - 2y)^{2}$
.(4) $(x - 1)^{2}-2(x - 1)+1=$
$(x - 2)^{2}$
.答案：4. (1)$(3 - x)^{2}$ (2)$(a + b)^{2}$ (3)$- (x - 2y)^{2}$ (4)$(x - 2)^{2}$
技法点拨 当多项式为三项且出现两个平方项之和的形式时（常数也会作为平方项），常利用完全平方公式进行因式分解.在分解因式过程中需要先将多项式向$a^{2} ± 2ab + b^{2}$的形式变形，若变形成功，则可利用完全平方公式因式分解.
技法点拨 当多项式为三项且出现两个平方项之和的形式时（常数也会作为平方项），常利用完全平方公式进行因式分解.在分解因式过程中需要先将多项式向$a^{2} ± 2ab + b^{2}$的形式变形，若变形成功，则可利用完全平方公式因式分解.
5. (2025·深圳期末)已知正方形的面积是$9x^{2}+6xy+y^{2}(x＞0,y＞0)$，写出表示该正方形周长的代数式为
12x + 4y
.答案：5. $12x + 4y$ 解析：
∵正方形的面积是$9x^{2} + 6xy + y^{2} = (3x + y)^{2}(x ＞ 0,y ＞ 0)$，
∴正方形的边长为$3x + y$，故表示正方形周长的代数式为$4(3x + y) = 12x + 4y$.
∵正方形的面积是$9x^{2} + 6xy + y^{2} = (3x + y)^{2}(x ＞ 0,y ＞ 0)$，
∴正方形的边长为$3x + y$，故表示正方形周长的代数式为$4(3x + y) = 12x + 4y$.
6. 把下列各式分解因式：
(1)$4a^{2}+25b^{2}+20ab$；
(2)$1 - 2xy+x^{2}y^{2}$；
(3)$-\frac{1}{2}a^{2}+2a - 2$；
(4)$(a+b)^{2}-4(a+b - 1)$；
(5)$4 - 12(y - x)+9(x - y)^{2}$.
(1)$4a^{2}+25b^{2}+20ab$；
(2)$1 - 2xy+x^{2}y^{2}$；
(3)$-\frac{1}{2}a^{2}+2a - 2$；
(4)$(a+b)^{2}-4(a+b - 1)$；
(5)$4 - 12(y - x)+9(x - y)^{2}$.
答案：6. (1)原式$= 4a^{2} + 20ab + 25b^{2} = (2a + 5b)^{2}$.
(2)原式$= x^{2}y^{2} - 2xy + 1 = (xy - 1)^{2}$.
(3)原式$= - \frac{1}{2}(a^{2} - 4a + 4) = - \frac{1}{2}(a - 2)^{2}$.
(4)原式$= (a + b)^{2} - 4(a + b) + 4 = [(a + b) - 2]^{2} = (a + b - 2)^{2}$.
(5)原式$= 4 + 12(x - y) + 9(x - y)^{2} = [3(x - y) + 2]^{2} = (3x - 3y + 2)^{2}$.
(2)原式$= x^{2}y^{2} - 2xy + 1 = (xy - 1)^{2}$.
(3)原式$= - \frac{1}{2}(a^{2} - 4a + 4) = - \frac{1}{2}(a - 2)^{2}$.
(4)原式$= (a + b)^{2} - 4(a + b) + 4 = [(a + b) - 2]^{2} = (a + b - 2)^{2}$.
(5)原式$= 4 + 12(x - y) + 9(x - y)^{2} = [3(x - y) + 2]^{2} = (3x - 3y + 2)^{2}$.
7. (2025·威海期中)已知$x$是有理数，则多项式$x - 1-\frac{1}{4}x^{2}$的值 (
A.一定为负数
B.不可能为正数
C.一定为正数
D.可能是正数、负数或零
B
)A.一定为负数
B.不可能为正数
C.一定为正数
D.可能是正数、负数或零
答案：7. B 解析：$x - 1 - \frac{1}{4}x^{2} = - (\frac{1}{4}x^{2} - x + 1) = - (\frac{1}{2}x - 1)^{2}$，因为$- (\frac{1}{2}x - 1)^{2} ≤ 0$，所以多项式$x - 1 - \frac{1}{4}x^{2}$的值不可能为正数.故选B.
8. 已知多项式$9x^{2}-(m+6)x+4$可以按完全平方公式进行因式分解，则$m=$
6或-18
.答案：8. 6或-18 解析：多项式$9x^{2} - (m + 6)x + 4 = (3x)^{2} - (m + 6)·x + 2^{2}$，因为该多项式可以按完全平方公式进行因式分解，所以$- (m + 6) = 2×3×2$或$- (m + 6) = - 2×3×2$，解得$m = - 18$或$m = 6$.
解析：
解：多项式$9x^{2}-(m+6)x+4=(3x)^{2}-(m+6)x+2^{2}$，
因为该多项式可以按完全平方公式进行因式分解，
所以$-(m + 6)=\pm 2×3×2$，
当$-(m + 6)=2×3×2$时，$-(m + 6)=12$，解得$m=-18$；
当$-(m + 6)=-2×3×2$时，$-(m + 6)=-12$，解得$m=6$。
故$m=6$或$m=-18$。
因为该多项式可以按完全平方公式进行因式分解，
所以$-(m + 6)=\pm 2×3×2$，
当$-(m + 6)=2×3×2$时，$-(m + 6)=12$，解得$m=-18$；
当$-(m + 6)=-2×3×2$时，$-(m + 6)=-12$，解得$m=6$。
故$m=6$或$m=-18$。
9. 简便计算：
(1)$99^{2}+198+1=$
(2)$1.2^{2}+2×1.2×6.7+6.7^{2}-2.1^{2}=$
(1)$99^{2}+198+1=$
10 000
.(2)$1.2^{2}+2×1.2×6.7+6.7^{2}-2.1^{2}=$
58
.答案：9. (1)10 000 解析：原式$= 99^{2} + 2×99×1 + 1^{2} = (99 + 1)^{2} = 100^{2} = 10000$.
(2)58 解析：原式$= (1.2 + 6.7)^{2} - 2.1^{2} = (7.9 + 2.1)×(7.9 - 2.1) = 10×5.8 = 58$.
(2)58 解析：原式$= (1.2 + 6.7)^{2} - 2.1^{2} = (7.9 + 2.1)×(7.9 - 2.1) = 10×5.8 = 58$.
10. (1)已知$m - 2n=-2$，则代数式$\frac{m^{2}}{4}+n^{2}-mn - 3$的值为
(2)若$(x^{2}+y^{2})^{4}-8(x^{2}+y^{2})^{2}+16=0$，则$x^{2}+y^{2}$的值为
-2
.(2)若$(x^{2}+y^{2})^{4}-8(x^{2}+y^{2})^{2}+16=0$，则$x^{2}+y^{2}$的值为
2
.答案：10. (1)-2 解析：因为$m - 2n = - 2$，所以$\frac{1}{4}(m^{2} + 4n^{2} - 4mn) - 3 = \frac{1}{4}(m - 2n)^{2} - 3 = 1 - 3 = - 2$.
(2)2 解析：设$x^{2} + y^{2} = Z$，则$Z ≥ 0$.所以原式$= Z^{4} - 8Z^{2} + 16 = (Z^{2} - 4)^{2} = 0$，所以$Z^{2} = 4$，所以$Z = 2$（-2不符合题意，舍去），即$x^{2} + y^{2}$的值为2.
(2)2 解析：设$x^{2} + y^{2} = Z$，则$Z ≥ 0$.所以原式$= Z^{4} - 8Z^{2} + 16 = (Z^{2} - 4)^{2} = 0$，所以$Z^{2} = 4$，所以$Z = 2$（-2不符合题意，舍去），即$x^{2} + y^{2}$的值为2.
11. 把下列各式分解因式：
(1)$(x^{2}+1)^{2}-4x(x^{2}+1)+4x^{2}$；
(2)$-a^{2}+6a(c - b)-9(b - c)^{2}$；
(3)$(a^{2}-a)^{2}-(1 - a)^{2}$.
(1)$(x^{2}+1)^{2}-4x(x^{2}+1)+4x^{2}$；
(2)$-a^{2}+6a(c - b)-9(b - c)^{2}$；
(3)$(a^{2}-a)^{2}-(1 - a)^{2}$.
答案：11. (1)原式$= [(x^{2} + 1) - 2x]^{2} = (x - 1)^{4}$.
(2)原式$= - [a^{2} + 6a(b - c) + 9(b - c)^{2}] = - (a + 3b - 3c)^{2}$.
(3)原式$= (a^{2} - a + 1 - a)[a^{2} - a - (1 - a)] = (a^{2} - 2a + 1)(a^{2} - a - 1 + a) = (a - 1)^{2}(a^{2} - 1) = (a - 1)^{2}(a + 1)(a - 1) = (a - 1)^{3}(a + 1)$.
(2)原式$= - [a^{2} + 6a(b - c) + 9(b - c)^{2}] = - (a + 3b - 3c)^{2}$.
(3)原式$= (a^{2} - a + 1 - a)[a^{2} - a - (1 - a)] = (a^{2} - 2a + 1)(a^{2} - a - 1 + a) = (a - 1)^{2}(a^{2} - 1) = (a - 1)^{2}(a + 1)(a - 1) = (a - 1)^{3}(a + 1)$.