1. 如果 $ y = 7x $，那么 $ x $ 和 $ y $ 成(
正
)比例；如果 $ y = \dfrac{5}{x} $，那么 $ x $ 和 $ y $ 成(反
)比例。($ x $、$ y $ 均不为 $ 0 $)答案：1. 正 反
2. $ M $ 和 $ N $ 是两种相关联的量，$ a $ 和 $ c $、$ b $ 和 $ d $(都不为 $ 0 $)是其中两组相对应的值，如下表。
(1)若 $ a : c = b : d $，则 $ M $ 和 $ N $ 成(
(2)已知 $ a = 12 $，$ b = 6 $，$ c = 4 $，若 $ M $ 和 $ N $ 成正比例，则 $ d = $(
(1)若 $ a : c = b : d $，则 $ M $ 和 $ N $ 成(
正
)比例；若 $ ac = bd $，则 $ M $ 和 $ N $ 成(反
)比例。(2)已知 $ a = 12 $，$ b = 6 $，$ c = 4 $，若 $ M $ 和 $ N $ 成正比例，则 $ d = $(
2
)；若 $ M $ 和 $ N $ 成反比例，则 $ d = $(8
)。答案：2. (1) 正 反 (2) 2 8
3. (2025·常州溧阳市期末)同学们在探究“杠杆原理”时，通过实验发现：当装置的左边刻度“$ 4 $”上挂 $ 3 $ 个砝码，右边刻度及放砝码数如图所示，两边平衡。此外，在右边其余刻度上挂不同个数的砝码也能保持平衡，同学们将实验的数据汇总在下面的表格中。
(1)右边刻度数和砝码数成(
(2)如果在装置左边刻度“$ 2 $”上挂 $ 9 $ 个砝码，右边刻度“$ 3 $”上挂(
(1)右边刻度数和砝码数成(
反
)比例。(2)如果在装置左边刻度“$ 2 $”上挂 $ 9 $ 个砝码，右边刻度“$ 3 $”上挂(
6
)个砝码可以使装置两边平衡。答案：3. (1) 反 (2) 6
1. 如果甲、乙是两种成反比例的量，那么当甲增加 $ 20\% $ 时，乙将(
A.增加 $ 20\% $
B.减少 $ 20\% $
C.减少 $ \dfrac{1}{6} $
D.减少 $ \dfrac{5}{6} $
C
)。A.增加 $ 20\% $
B.减少 $ 20\% $
C.减少 $ \dfrac{1}{6} $
D.减少 $ \dfrac{5}{6} $
答案：1. C
解析：
设甲、乙的乘积为常数$ k $，即甲$×$乙$=k$。
设原来甲为$ a $，则原来乙为$\dfrac{k}{a}$。
甲增加$20\%$后，新甲为$a(1 + 20\%) = 1.2a$。
此时乙为$\dfrac{k}{1.2a} = \dfrac{5k}{6a}$。
乙的变化量为$\dfrac{k}{a}-\dfrac{5k}{6a}=\dfrac{k}{6a}$。
减少的比例为$\dfrac{\dfrac{k}{6a}}{\dfrac{k}{a}}=\dfrac{1}{6}$。
C
设原来甲为$ a $，则原来乙为$\dfrac{k}{a}$。
甲增加$20\%$后，新甲为$a(1 + 20\%) = 1.2a$。
此时乙为$\dfrac{k}{1.2a} = \dfrac{5k}{6a}$。
乙的变化量为$\dfrac{k}{a}-\dfrac{5k}{6a}=\dfrac{k}{6a}$。
减少的比例为$\dfrac{\dfrac{k}{6a}}{\dfrac{k}{a}}=\dfrac{1}{6}$。
C
2. 亮亮用扁担挑水，扁担长 $ 1.2 $ 米，两端分别挂着大、小两只水桶，盛满水后分别重 $ 5 $ 千克、$ 3 $ 千克，挑水时要使扁担保持平衡，亮亮肩膀应距离大水桶(
A.$ 0.45 $
B.$ 0.75 $
C.$ 0.72 $
A
)米。A.$ 0.45 $
B.$ 0.75 $
C.$ 0.72 $
答案：2. A 解析 当左右水桶盛满水后的质量分别与水桶到肩膀的距离的乘积相等时，扁担保持平衡，即两者成反比例关系，又质量比为5:3，所以距离比为3:5，扁担长1.2米，按比分配求出亮亮肩膀应距离大水桶$1.2×\frac{3}{3 + 5}=0.45($米)。
1. 《张丘建算经》记载：“今有七百人造浮桥，九日成。今增五百人，问日几何。”题意是造一座浮桥，$ 700 $ 人需要施工 $ 9 $ 天，如果增加 $ 500 $ 人，需要施工多少天呢？
答案：1. 解：设需要施工x天。 (700 + 500)x = 700×9 x = 5.25 答：需要施工5.25天。
解析：
解：设需要施工$x$天。
$(700 + 500)x = 700 × 9$
$1200x = 6300$
$x = \frac{6300}{1200} = 5.25$
答：需要施工$5.25$天。
$(700 + 500)x = 700 × 9$
$1200x = 6300$
$x = \frac{6300}{1200} = 5.25$
答：需要施工$5.25$天。
2. 在 $ 60 $ 米赛跑中，甲冲过终点线时，领先乙 $ 10 $ 米，乙领先丙 $ 20 $ 米。如果乙和丙的速度始终不变，那么当乙到达终点时，领先丙多少米？
答案：2. (60 - 10):(60 - 10 - 20) = 5:3 60÷5×3 = 36(米) 60 - 36 = 24(米)
解析：
当甲冲过终点线时，乙跑的路程为$60 - 10 = 50$米，丙跑的路程为$60 - 10 - 20 = 30$米。
此时乙和丙所用时间相同，根据速度公式$v = \frac{s}{t}$，时间$t$相同时，速度与路程成正比，所以乙和丙的速度比为$50:30 = 5:3$。
设乙的速度为$5v$，丙的速度为$3v$。乙到达终点还需跑$10$米，所用时间为$t = \frac{10}{5v} = \frac{2}{v}$。
在这段时间内，丙跑的路程为$3v × \frac{2}{v} = 6$米。
此时丙一共跑了$30 + 6 = 36$米，所以乙领先丙$60 - 36 = 24$米。
24米
此时乙和丙所用时间相同，根据速度公式$v = \frac{s}{t}$，时间$t$相同时，速度与路程成正比，所以乙和丙的速度比为$50:30 = 5:3$。
设乙的速度为$5v$，丙的速度为$3v$。乙到达终点还需跑$10$米，所用时间为$t = \frac{10}{5v} = \frac{2}{v}$。
在这段时间内，丙跑的路程为$3v × \frac{2}{v} = 6$米。
此时丙一共跑了$30 + 6 = 36$米，所以乙领先丙$60 - 36 = 24$米。
24米
3. 工厂加工一批零件，如果每小时加工 $ 84 $ 个，就比计划时间提前 $ 2 $ 小时完成；如果每小时加工 $ 72 $ 个，就比计划时间推迟 $ 3 $ 小时完成。这批零件有多少个？
答案：$3. 84:72 = 7:6 (2 + 3)×\frac{6}{7 - 6}=30($时) 84×30 = 2520(个) 解析 由于加工的零件总数一定，则每小时加工的零件个数与加工的时间成反比例。每小时加工零件个数的比是84:72 = 7:6，则加工时间的比为6:7。由于加工时间的差是(2 + 3)小时，而每小时加工84个零件需要的时间是时间差的$\frac{6}{7 - 6}$倍，由此可求出每小时加工84个零件需要的时间，然后再求这批零件的总个数。
解析：
84:72=7:6
(2+3)×$\frac{6}{7-6}$=30(时)
84×30=2520(个)
答：这批零件有2520个。
(2+3)×$\frac{6}{7-6}$=30(时)
84×30=2520(个)
答：这批零件有2520个。