13. （8分）试说明$N = 5^{2}×3^{2n + 1}×2^{n}-3^{n}×6^{n + 2}$（$n$为正整数）能被13整除.
答案：13. 解：因为 $ N = 5^{2}× 3^{2n + 1}× 2^{n}-3^{n}× 6^{n + 2}=25× 3^{2n + 1}× 2^{n}-3^{n}× 6^{n}× 36=25× 3^{2n + 1}× 2^{n}-3^{n}× 3^{n}× 2^{n}× 3× 12=25× 3^{2n + 1}× 2^{n}-12× 3^{2n + 1}× 2^{n}=13× 3^{2n + 1}× 2^{n} $，所以 $ N $ 能被 $ 13 $ 整除。
解析：
解：$N = 5^{2}×3^{2n + 1}×2^{n}-3^{n}×6^{n + 2}$
$=25×3^{2n + 1}×2^{n}-3^{n}×(2×3)^{n + 2}$
$=25×3^{2n + 1}×2^{n}-3^{n}×2^{n + 2}×3^{n + 2}$
$=25×3^{2n + 1}×2^{n}-3^{2n + 2}×2^{n + 2}$
$=25×3^{2n + 1}×2^{n}-3^{2n + 1}×3×2^{n}×4$
$=25×3^{2n + 1}×2^{n}-12×3^{2n + 1}×2^{n}$
$=(25 - 12)×3^{2n + 1}×2^{n}$
$=13×3^{2n + 1}×2^{n}$
因为$13×3^{2n + 1}×2^{n}$是13的倍数，所以$N$能被13整除。
$=25×3^{2n + 1}×2^{n}-3^{n}×(2×3)^{n + 2}$
$=25×3^{2n + 1}×2^{n}-3^{n}×2^{n + 2}×3^{n + 2}$
$=25×3^{2n + 1}×2^{n}-3^{2n + 2}×2^{n + 2}$
$=25×3^{2n + 1}×2^{n}-3^{2n + 1}×3×2^{n}×4$
$=25×3^{2n + 1}×2^{n}-12×3^{2n + 1}×2^{n}$
$=(25 - 12)×3^{2n + 1}×2^{n}$
$=13×3^{2n + 1}×2^{n}$
因为$13×3^{2n + 1}×2^{n}$是13的倍数，所以$N$能被13整除。
14. (11分)规定两数$a$，$b$之间的一种运算，记作$(a,b)$：如果$a^{c}=b$，那么$(a,b)=c$. 例如，因为$2^{3}=8$，所以$(2,8)=3$.
(1)根据上述规定，填空：
①$(5,125)=$
②若$(x,\frac{1}{8})=-3$，则$x=$
(2)若$(4,5)=a$，$(4,6)=b$，$(4,30)=c$，试探究$a$，$b$，$c$之间存在的数量关系.
(3)若$(m,8)+(m,3)=(m,t)$，求$t$的值.
(1)根据上述规定，填空：
①$(5,125)=$
$ 3 $
，$(-2,-32)=$$ 5 $
；②若$(x,\frac{1}{8})=-3$，则$x=$
$ 2 $
.(2)若$(4,5)=a$，$(4,6)=b$，$(4,30)=c$，试探究$a$，$b$，$c$之间存在的数量关系.
(3)若$(m,8)+(m,3)=(m,t)$，求$t$的值.
答案：14. （1）① $ 3 $ $ 5 $ ② $ 2 $
（2）解：因为 $ (4,5)=a $，$ (4,6)=b $，$ (4,30)=c $，所以 $ 4^{a}=5 $，$ 4^{b}=6 $，$ 4^{c}=30 $。因为 $ 5× 6 = 30 $，所以 $ 4^{a}· 4^{b}=4^{c} $，所以 $ a + b = c $。
（3）解：设 $ (m,8)=p $，$ (m,3)=q $，$ (m,t)=r $，所以 $ m^{p}=8 $，$ m^{q}=3 $，$ m^{r}=t $，因为 $ (m,8)+(m,3)=(m,t) $，所以 $ p + q = r $，所以 $ m^{p + q}=m^{r} $，所以 $ m^{p}· m^{q}=m^{r} $，即 $ 8× 3 = t $，所以 $ t = 24 $。
（2）解：因为 $ (4,5)=a $，$ (4,6)=b $，$ (4,30)=c $，所以 $ 4^{a}=5 $，$ 4^{b}=6 $，$ 4^{c}=30 $。因为 $ 5× 6 = 30 $，所以 $ 4^{a}· 4^{b}=4^{c} $，所以 $ a + b = c $。
（3）解：设 $ (m,8)=p $，$ (m,3)=q $，$ (m,t)=r $，所以 $ m^{p}=8 $，$ m^{q}=3 $，$ m^{r}=t $，因为 $ (m,8)+(m,3)=(m,t) $，所以 $ p + q = r $，所以 $ m^{p + q}=m^{r} $，所以 $ m^{p}· m^{q}=m^{r} $，即 $ 8× 3 = t $，所以 $ t = 24 $。