10. (2024·南通月考)若$1 + 2 + 3 + ··· + n = m$，且$ab = 1$，$m$为正整数，则$(ab^{n})(a^{2}b^{n - 1})· ··· · (a^{n - 1}b^{2})(a^{n}b) =$
1
.答案：10. 1
解析：
$(ab^{n})(a^{2}b^{n - 1})· ··· · (a^{n - 1}b^{2})(a^{n}b)$
$=a^{1+2+···+n}b^{n+(n-1)+···+1}$
$=a^{m}b^{m}$
$=(ab)^{m}$
$=1^{m}$
$=1$
$=a^{1+2+···+n}b^{n+(n-1)+···+1}$
$=a^{m}b^{m}$
$=(ab)^{m}$
$=1^{m}$
$=1$
11. 计算：
(1)$(2a)^{3} + (-a)· (-3a)^{2}$；
(2)$(2a^{2}b)^{3}· b^{2} - 7(ab^{2})^{2}· a^{4}b$；
(3)$5a^{2}b· (-2ab^{3}) + 3ab· 4a^{2}b^{3}$；
(4)$2x^{5}· x^{5} + (-x)^{2}· x· (-x)^{7}$；
(5)$(-2a^{2}b)^{3} + 4(-ab)^{2}· 2a^{4}b$；
(6)$-2m^{2}· m^{3} - (-3m)^{3}· (-2m)^{2} - m· (-3m)^{4}$.
(1)$(2a)^{3} + (-a)· (-3a)^{2}$；
(2)$(2a^{2}b)^{3}· b^{2} - 7(ab^{2})^{2}· a^{4}b$；
(3)$5a^{2}b· (-2ab^{3}) + 3ab· 4a^{2}b^{3}$；
(4)$2x^{5}· x^{5} + (-x)^{2}· x· (-x)^{7}$；
(5)$(-2a^{2}b)^{3} + 4(-ab)^{2}· 2a^{4}b$；
(6)$-2m^{2}· m^{3} - (-3m)^{3}· (-2m)^{2} - m· (-3m)^{4}$.
答案：11. 解:(1)原式$=8a^{3}+(-a)· 9a^{2}=8a^{3}-9a^{3}=-a^{3}.$
(2)原式$=8a^{6}b^{3}· b^{2}-7a^{2}b^{4}· a^{4}b=8a^{6}b^{5}-7a^{6}b^{5}=a^{6}b^{5}.$
(3)原式$=-10a^{3}b^{4}+12a^{3}b^{4}=2a^{3}b^{4}.$
(4)原式$=2x^{10}-x^{2}· x· x^{7}=2x^{10}-x^{10}=x^{10}.$
(5)原式$=-8a^{6}b^{3}+4a^{2}b^{2}· 2a^{4}b=-8a^{6}b^{3}+8a^{6}b^{3}=0.$
(6)原式$=-2m^{5}+27m^{3}· 4m^{2}-81m^{5}=(-2+108-81)m^{5}=25m^{5}.$
(2)原式$=8a^{6}b^{3}· b^{2}-7a^{2}b^{4}· a^{4}b=8a^{6}b^{5}-7a^{6}b^{5}=a^{6}b^{5}.$
(3)原式$=-10a^{3}b^{4}+12a^{3}b^{4}=2a^{3}b^{4}.$
(4)原式$=2x^{10}-x^{2}· x· x^{7}=2x^{10}-x^{10}=x^{10}.$
(5)原式$=-8a^{6}b^{3}+4a^{2}b^{2}· 2a^{4}b=-8a^{6}b^{3}+8a^{6}b^{3}=0.$
(6)原式$=-2m^{5}+27m^{3}· 4m^{2}-81m^{5}=(-2+108-81)m^{5}=25m^{5}.$
12. 先化简，再求值：$(-2a)^{3}· (-b^{3})^{2} + (ab^{2})^{3}$，其中$a = -1$，$b = 2$.
答案：12. 解:原式$=-8a^{3}b^{6}+a^{3}b^{6}=-7a^{3}b^{6}.$
当$a=-1,b=2$时,原式$=-7× (-1)^{3}× 2^{6}=448.$
当$a=-1,b=2$时,原式$=-7× (-1)^{3}× 2^{6}=448.$
13. 若三角表示$3abc$，方框表示$-4x^{y}wz^{z}$，求×的值.
答案：
13. 解:
$=(3× 3mn)× (-4n^{2}m^{5})=9mn× (-4n^{2}m^{5})=-36m^{6}n^{3}.$
13. 解:
$=(3× 3mn)× (-4n^{2}m^{5})=9mn× (-4n^{2}m^{5})=-36m^{6}n^{3}.$
14. 若$(2× 10^{5})× (a× 10^{n}) = 10^{2n + 1}$（$n$为整数），$1≤ a ＜ 10$，求$a$和$n$的值.
答案：14. 解:由$(2× 10^{5})× (a× 10^{n})=10^{2n+1}$,即$2× a× 10^{n+5}=10^{2n+1}$,
整理,得$a=10^{n-5}× 5.$
因为$1≤ a＜10$,所以$1≤ 10^{n-5}× 5＜10$,
所以$\dfrac{1}{5}≤ 10^{n-5}＜2$,
则$10^{n-5}=1$,得$n=5$,
则$a=10^{n-5}× 5=10^{5-5}× 5=5$,所以$a=5,n=5.$
整理,得$a=10^{n-5}× 5.$
因为$1≤ a＜10$,所以$1≤ 10^{n-5}× 5＜10$,
所以$\dfrac{1}{5}≤ 10^{n-5}＜2$,
则$10^{n-5}=1$,得$n=5$,
则$a=10^{n-5}× 5=10^{5-5}× 5=5$,所以$a=5,n=5.$