1. 已知 $ a + b = 7 $，$ a^{2} + b^{2} = 25 $，求下列各式的值：
(1)$ ab $；
(2)$ a^{2} + 3ab + b^{2} $；
(3)$ (a - b)^{2} $。
(1)$ ab $；
(2)$ a^{2} + 3ab + b^{2} $；
(3)$ (a - b)^{2} $。
答案：1.解:(1)将a+b=7两边平方,得
(a+b)²=a²+b²+2ab=49.
将a²+b²=25代入,得ab=12.
(2)因为ab=12,a²+b²=25,
所以a²+3ab+b²=25+36=61.
(3)因为(a-b)²=a²+b²-2ab,
将a²+b²=25,ab=12代入,得(a-b)²=25-24=1.
(a+b)²=a²+b²+2ab=49.
将a²+b²=25代入,得ab=12.
(2)因为ab=12,a²+b²=25,
所以a²+3ab+b²=25+36=61.
(3)因为(a-b)²=a²+b²-2ab,
将a²+b²=25,ab=12代入,得(a-b)²=25-24=1.
2. 已知 $ a + b = 5 $，$ ab = \frac{9}{4} $，求下列各式的值：
(1)$ a^{2} + b^{2} $；
(2)$ a - b $；
(3)$ a^{2} - b^{2} $；
(4)$ a^{2} - ab + b^{2} $。
(1)$ a^{2} + b^{2} $；
(2)$ a - b $；
(3)$ a^{2} - b^{2} $；
(4)$ a^{2} - ab + b^{2} $。
答案：2.解$:(1)a²+b²=(a+b)²-2ab=25-\frac{9}{2}=\frac{41}{2}.$
(2)(a-b)²=(a+b)²-4ab=25-9=16,
所以a-b=±4.
(3)a²-b²=(a+b)(a-b)=±20.
$(4)a²-ab+b²=(a+b)²-3ab=5²-3×\frac{9}{4}=\frac{73}{4}.$
(2)(a-b)²=(a+b)²-4ab=25-9=16,
所以a-b=±4.
(3)a²-b²=(a+b)(a-b)=±20.
$(4)a²-ab+b²=(a+b)²-3ab=5²-3×\frac{9}{4}=\frac{73}{4}.$
3. 先化简，再求值：
(1)$ (2x + 1)^{2} - (-1 + 2x)(2x + 1) $，其中 $ x = -\frac{1}{2} $；
(2)$ (a - 3b)^{2} + (3a + b)^{2} - (3a - b)(3a + b) $，其中 $ a = -8 $，$ b = -1 $。
(1)$ (2x + 1)^{2} - (-1 + 2x)(2x + 1) $，其中 $ x = -\frac{1}{2} $；
(2)$ (a - 3b)^{2} + (3a + b)^{2} - (3a - b)(3a + b) $，其中 $ a = -8 $，$ b = -1 $。
答案：3.解:(1)原式=4x²+4x+1-(4x²-1)=4x²+4x+1-4x²+1=4x+2,
当$x=-\frac{1}{2}$时,原式$=4×(-\frac{1}{2})+2=-2+2=0.$
(2)原式=a²+9b²-6ab+9a²+b²+6ab-9a²+b²=a²+11b²,
当a=-8,b=-1时,原式=(-8)²+11×(-1)²=64+11×1=64+11=75.
当$x=-\frac{1}{2}$时,原式$=4×(-\frac{1}{2})+2=-2+2=0.$
(2)原式=a²+9b²-6ab+9a²+b²+6ab-9a²+b²=a²+11b²,
当a=-8,b=-1时,原式=(-8)²+11×(-1)²=64+11×1=64+11=75.
4. (1)已知 $ x - \frac{1}{x} = 2 $，求 $ x^{2} + \frac{1}{x^{2}} $的值；
(2)已知 $ x^{2} - 4x + 1 = 0 $，求 $ x^{2} + \frac{1}{x^{2}} $的值。
(2)已知 $ x^{2} - 4x + 1 = 0 $，求 $ x^{2} + \frac{1}{x^{2}} $的值。
答案：4.解:(1)因为$x-\frac{1}{x}=2,$
所以$x²+\frac{1}{x²}=(x-\frac{1}{x})²+2=4+2=6.$
(2)因为x²-4x+1=0,
所以$x-4+\frac{1}{x}=0,$即$x+\frac{1}{x}=4,$
所以$x²+\frac{1}{x²}=(x+\frac{1}{x})²-2=4²-2=14.$
所以$x²+\frac{1}{x²}=(x-\frac{1}{x})²+2=4+2=6.$
(2)因为x²-4x+1=0,
所以$x-4+\frac{1}{x}=0,$即$x+\frac{1}{x}=4,$
所以$x²+\frac{1}{x²}=(x+\frac{1}{x})²-2=4²-2=14.$
5. (2024·鼓楼区期中)利用整式乘法公式进行计算：
(1)$ 198×202 $；
(2)$ 39^{2} + 79 $。
(1)$ 198×202 $；
(2)$ 39^{2} + 79 $。
答案：5.解:(1)198×202=(200-2)(200+2)=200²-2²=40000-4=39996.
(2)39²+79=39²+2×39×1+1²=(39+1)²=40²=1600.
(2)39²+79=39²+2×39×1+1²=(39+1)²=40²=1600.