6. 若分式 $\frac{x^2 + 1}{x - 1} □ \frac{2x}{x - 1}$ 的运算结果为 $x - 1$，则在“$□$”中添加的运算符号为(
A.$+$
B.$-$
C.$×$
D.$÷$
B
)A.$+$
B.$-$
C.$×$
D.$÷$
答案：6. B
解析：
当添加“-”时，$\frac{x^2 + 1}{x - 1} - \frac{2x}{x - 1} = \frac{x^2 + 1 - 2x}{x - 1} = \frac{(x - 1)^2}{x - 1} = x - 1$，结果为$x - 1$。
B
B
7. 如果 $m + n = 1$，那么代数式 $(\frac{2m + n}{m^2 - mn} + \frac{1}{m}) · (m^2 - n^2)$ 的值为(
A.$-3$
B.$-1$
C.1
D.3
D
)A.$-3$
B.$-1$
C.1
D.3
答案：7. D
解析：
$\begin{aligned}&(\frac{2m + n}{m^2 - mn} + \frac{1}{m}) · (m^2 - n^2)\\=&[\frac{2m + n}{m(m - n)} + \frac{m - n}{m(m - n)}] · (m + n)(m - n)\\=&\frac{2m + n + m - n}{m(m - n)} · (m + n)(m - n)\\=&\frac{3m}{m(m - n)} · (m + n)(m - n)\\=&3(m + n)\end{aligned}$
因为$m + n = 1$，所以原式$=3×1 = 3$。
D
因为$m + n = 1$，所以原式$=3×1 = 3$。
D
8. 试卷上一个正确的式子 $(\frac{1}{a + b} + \frac{1}{a - b}) ÷ \bigstar = \frac{2}{a + b}$ 被小颖同学不小心滴上了墨汁，被墨汁遮住部分的代数式 $\bigstar$ 为
$ \frac{a}{a - b} $
.答案：8. $ \frac{a}{a - b} $
解析：
设被墨汁遮住部分的代数式为$x$，则原式可写为$(\frac{1}{a + b} + \frac{1}{a - b}) ÷ x = \frac{2}{a + b}$。
先计算括号内的式子：
$\begin{aligned}\frac{1}{a + b} + \frac{1}{a - b}&=\frac{(a - b) + (a + b)}{(a + b)(a - b)}\\&=\frac{a - b + a + b}{(a + b)(a - b)}\\&=\frac{2a}{(a + b)(a - b)}\end{aligned}$
由$\frac{2a}{(a + b)(a - b)} ÷ x = \frac{2}{a + b}$，可得$x = \frac{2a}{(a + b)(a - b)} ÷ \frac{2}{a + b}$。
计算除法：
$\begin{aligned}x&=\frac{2a}{(a + b)(a - b)} × \frac{a + b}{2}\\&=\frac{a}{a - b}\end{aligned}$
$\frac{a}{a - b}$
先计算括号内的式子：
$\begin{aligned}\frac{1}{a + b} + \frac{1}{a - b}&=\frac{(a - b) + (a + b)}{(a + b)(a - b)}\\&=\frac{a - b + a + b}{(a + b)(a - b)}\\&=\frac{2a}{(a + b)(a - b)}\end{aligned}$
由$\frac{2a}{(a + b)(a - b)} ÷ x = \frac{2}{a + b}$，可得$x = \frac{2a}{(a + b)(a - b)} ÷ \frac{2}{a + b}$。
计算除法：
$\begin{aligned}x&=\frac{2a}{(a + b)(a - b)} × \frac{a + b}{2}\\&=\frac{a}{a - b}\end{aligned}$
$\frac{a}{a - b}$
9. 若 $3ab - 3b^2 - 2 = 0$，则代数式 $(1 - \frac{2ab - b^2}{a^2}) ÷ \frac{a - b}{a^2b}$ 的值为
$ \frac{2}{3} $
.答案：9. $ \frac{2}{3} $
解析：
$(1 - \frac{2ab - b^2}{a^2}) ÷ \frac{a - b}{a^2b}$
$=(\frac{a^2}{a^2} - \frac{2ab - b^2}{a^2}) · \frac{a^2b}{a - b}$
$=\frac{a^2 - 2ab + b^2}{a^2} · \frac{a^2b}{a - b}$
$=\frac{(a - b)^2}{a^2} · \frac{a^2b}{a - b}$
$=b(a - b)$
$=ab - b^2$
由$3ab - 3b^2 - 2 = 0$，得$3(ab - b^2) = 2$，即$ab - b^2 = \frac{2}{3}$
故代数式的值为$\frac{2}{3}$
$=(\frac{a^2}{a^2} - \frac{2ab - b^2}{a^2}) · \frac{a^2b}{a - b}$
$=\frac{a^2 - 2ab + b^2}{a^2} · \frac{a^2b}{a - b}$
$=\frac{(a - b)^2}{a^2} · \frac{a^2b}{a - b}$
$=b(a - b)$
$=ab - b^2$
由$3ab - 3b^2 - 2 = 0$，得$3(ab - b^2) = 2$，即$ab - b^2 = \frac{2}{3}$
故代数式的值为$\frac{2}{3}$
10. (2024·眉山)已知 $a_1 = x + 1(x ≠ 0$ 且 $x ≠ -1)$，$a_2 = \frac{1}{1 - a_1}$，$a_3 = \frac{1}{1 - a_2}$，$···$，$a_n = \frac{1}{1 - a_{n - 1}}$，则 $a_{2024}$ 的值为
$ - \frac{1}{x} $
.答案：10. $ - \frac{1}{x} $
解析：
$a_1 = x + 1$
$a_2 = \frac{1}{1 - a_1} = \frac{1}{1 - (x + 1)} = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x}$
$a_3 = \frac{1}{1 - a_2} = \frac{1}{1 - (-\frac{1}{x})} = \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{x}{x + 1}$
$a_4 = \frac{1}{1 - a_3} = \frac{1}{1 - \frac{x}{x + 1}} = \frac{1}{\frac{1}{x + 1}} = x + 1 = a_1$
周期为 3
$2024 ÷ 3 = 674······2$
$a_{2024} = a_2 = -\frac{1}{x}$
$-\frac{1}{x}$
$a_2 = \frac{1}{1 - a_1} = \frac{1}{1 - (x + 1)} = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x}$
$a_3 = \frac{1}{1 - a_2} = \frac{1}{1 - (-\frac{1}{x})} = \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{x}{x + 1}$
$a_4 = \frac{1}{1 - a_3} = \frac{1}{1 - \frac{x}{x + 1}} = \frac{1}{\frac{1}{x + 1}} = x + 1 = a_1$
周期为 3
$2024 ÷ 3 = 674······2$
$a_{2024} = a_2 = -\frac{1}{x}$
$-\frac{1}{x}$
11. 已知 $x^2 + y^2 = 3$，$xy = \frac{1}{2}$，则 $(\frac{1}{x} - \frac{1}{y}) ÷ \frac{x^2 - y^2}{xy}$ 的值为
$ \pm \frac{1}{2} $
.答案：11. $ \pm \frac{1}{2} $
解析：
$(\frac{1}{x} - \frac{1}{y}) ÷ \frac{x^2 - y^2}{xy}$
$=(\frac{y - x}{xy}) · \frac{xy}{(x - y)(x + y)}$
$=\frac{-(x - y)}{xy} · \frac{xy}{(x - y)(x + y)}$
$=-\frac{1}{x + y}$
$\because (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = 3 + 2×\frac{1}{2} = 4$
$\therefore x + y = \pm 2$
当$x + y = 2$时，原式$=-\frac{1}{2}$；当$x + y = -2$时，原式$=\frac{1}{2}$
$\pm \frac{1}{2}$
$=(\frac{y - x}{xy}) · \frac{xy}{(x - y)(x + y)}$
$=\frac{-(x - y)}{xy} · \frac{xy}{(x - y)(x + y)}$
$=-\frac{1}{x + y}$
$\because (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = 3 + 2×\frac{1}{2} = 4$
$\therefore x + y = \pm 2$
当$x + y = 2$时，原式$=-\frac{1}{2}$；当$x + y = -2$时，原式$=\frac{1}{2}$
$\pm \frac{1}{2}$
12. 先化简，再求值：$(\frac{3x}{x - y} + \frac{x}{x + y}) ÷ \frac{x}{x^2 - y^2}$，其中 $x$，$y$ 满足 $2x + y - 5 = 0$.
答案：12. 解：原式 $ = \frac{3x^{2} + 3xy + x^{2} - xy}{(x - y)(x + y)} · \frac{(x - y)(x + y)}{x} = \frac{2x(2x + y)}{(x - y)(x + y)} · \frac{(x - y)(x + y)}{x} = 2(2x + y) $，
$ \because 2x + y - 5 = 0 $，$ \therefore 2x + y = 5 $，
$ \therefore $ 原式 $ = 2 × 5 = 10 $。
$ \because 2x + y - 5 = 0 $，$ \therefore 2x + y = 5 $，
$ \therefore $ 原式 $ = 2 × 5 = 10 $。
13. 先化简：$(\frac{a + 1}{a - 2} - 1) ÷ \frac{a^2 - 2a}{a^2 - 4a + 4}$，然后从 $0$，$2$，$2025$ 中选择一个合适的数代入求值.
答案：13. 解：原式 $ = (\frac{a + 1}{a - 2} - \frac{a - 2}{a - 2}) ÷ \frac{a(a - 2)}{(a - 2)^{2}} = \frac{a + 1 - (a - 2)}{a - 2} · \frac{(a - 2)^{2}}{a(a - 2)} = \frac{a + 1 - a + 2}{a - 2} · \frac{(a - 2)^{2}}{a(a - 2)} = \frac{3}{a - 2} · \frac{(a - 2)^{2}}{a(a - 2)} = \frac{3}{a} $，
当 $ a = 0 $，$ a = 2 $ 时，原式没有意义，
$ \therefore $ 当 $ a = 2025 $ 时，原式 $ = \frac{3}{2025} = \frac{1}{675} $。
当 $ a = 0 $，$ a = 2 $ 时，原式没有意义，
$ \therefore $ 当 $ a = 2025 $ 时，原式 $ = \frac{3}{2025} = \frac{1}{675} $。
14. 如图，小宝在研究数学问题时发现了一个有趣的现象.
$a$，$b$ 表示两个正数，分别把它们作为分子、分母得到两个分式 $\frac{b}{a}$，$\frac{a}{b}$，如果 $a$，$b$ 这两个正数的和等于它们的积，即 $a + b = ab$，那么这两个分式的和比这两个正数的积小 $2$，即 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$ 比 $ab$ 小 $2$.
(1) 任写两组符合条件 $a + b = ab$ 的正数 $a$，$b$ 的值；
(2) 选 (1) 中两组 $a$，$b$ 值中的一组值，验证小宝的结论：$\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$ 比 $ab$ 小 $2$；
(3) 在一般情形下，验证小宝的结论.
$a$，$b$ 表示两个正数，分别把它们作为分子、分母得到两个分式 $\frac{b}{a}$，$\frac{a}{b}$，如果 $a$，$b$ 这两个正数的和等于它们的积，即 $a + b = ab$，那么这两个分式的和比这两个正数的积小 $2$，即 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$ 比 $ab$ 小 $2$.
(1) 任写两组符合条件 $a + b = ab$ 的正数 $a$，$b$ 的值；
(2) 选 (1) 中两组 $a$，$b$ 值中的一组值，验证小宝的结论：$\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$ 比 $ab$ 小 $2$；
(3) 在一般情形下，验证小宝的结论.
答案：14. 解：(1) 由 $ a + b = ab $，得到 $ a = b(a - 1) $，即 $ b = \frac{a}{a - 1} $，
当 $ a = 2 $ 时，$ b = 2 $；当 $ a = 3 $ 时，$ b = \frac{3}{2} $。(答案不唯一)
(2) 若 $ a = 2 $，$ b = 2 $，$ \frac{b}{a} + \frac{a}{b} = 1 + 1 = 2 $，$ ab = 4 $，
则 $ \frac{b}{a} + \frac{a}{b} $ 比 $ ab $ 小 2。
(3) 将 $ b = \frac{a}{a - 1} $ 代入 $ \frac{b}{a} + \frac{a}{b} $，得 $ \frac{\frac{a}{a - 1}}{a} + \frac{a}{\frac{a}{a - 1}} = \frac{1}{a - 1} + a - 1 $，
将 $ b = \frac{a}{a - 1} $ 代入 $ ab $，得 $ a · \frac{a}{a - 1} = \frac{a^{2}}{a - 1} $，
$ \because ab - (\frac{b}{a} + \frac{a}{b}) = \frac{a^{2}}{a - 1} - \frac{1}{a - 1} - a + 1 = \frac{a^{2} - 1}{a - 1} - a + 1 = a + 1 - a + 1 = 2 $，
$ \therefore \frac{b}{a} + \frac{a}{b} $ 比 $ ab $ 小 2。
当 $ a = 2 $ 时，$ b = 2 $；当 $ a = 3 $ 时，$ b = \frac{3}{2} $。(答案不唯一)
(2) 若 $ a = 2 $，$ b = 2 $，$ \frac{b}{a} + \frac{a}{b} = 1 + 1 = 2 $，$ ab = 4 $，
则 $ \frac{b}{a} + \frac{a}{b} $ 比 $ ab $ 小 2。
(3) 将 $ b = \frac{a}{a - 1} $ 代入 $ \frac{b}{a} + \frac{a}{b} $，得 $ \frac{\frac{a}{a - 1}}{a} + \frac{a}{\frac{a}{a - 1}} = \frac{1}{a - 1} + a - 1 $，
将 $ b = \frac{a}{a - 1} $ 代入 $ ab $，得 $ a · \frac{a}{a - 1} = \frac{a^{2}}{a - 1} $，
$ \because ab - (\frac{b}{a} + \frac{a}{b}) = \frac{a^{2}}{a - 1} - \frac{1}{a - 1} - a + 1 = \frac{a^{2} - 1}{a - 1} - a + 1 = a + 1 - a + 1 = 2 $，
$ \therefore \frac{b}{a} + \frac{a}{b} $ 比 $ ab $ 小 2。