10. 若关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{a}{x} = b$ 的解为 $ x = \frac{1}{a + b}$，我们就说这个方程是和解方程。例如：$\frac{2}{x} = -4$ 就是一个和解方程。如果关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{n}{x} = 3 - n$ 是一个和解方程，那么 $ n = $
$\frac{3}{4}$
。答案：10. $\frac{3}{4}$
解析：
因为关于$x$的分式方程$\frac{n}{x} = 3 - n$是和解方程，所以该方程的解为$x = \frac{1}{n + (3 - n)}$。
解方程$\frac{n}{x} = 3 - n$，得$x = \frac{n}{3 - n}$。
又因为和解方程的解为$x = \frac{1}{n + (3 - n)} = \frac{1}{3}$，所以$\frac{n}{3 - n} = \frac{1}{3}$。
交叉相乘得：$3n = 3 - n$，$4n = 3$，解得$n = \frac{3}{4}$。
$\frac{3}{4}$
解方程$\frac{n}{x} = 3 - n$，得$x = \frac{n}{3 - n}$。
又因为和解方程的解为$x = \frac{1}{n + (3 - n)} = \frac{1}{3}$，所以$\frac{n}{3 - n} = \frac{1}{3}$。
交叉相乘得：$3n = 3 - n$，$4n = 3$，解得$n = \frac{3}{4}$。
$\frac{3}{4}$
11. 如图，点 $ A,B $ 在数轴上，它们对应的数分别为 $-2,\frac{x}{x + 2}$。
(1) 若点 $ A,B $ 到原点的距离相等，求 $ x $ 的值；
(2) 若点 $ C $ 在数轴上对应的数为 $\frac{1}{2x + 4}$，且点 $ A,B $ 到点 $ C $ 的距离相等，求 $ x $ 的值。
(1) 若点 $ A,B $ 到原点的距离相等，求 $ x $ 的值；
(2) 若点 $ C $ 在数轴上对应的数为 $\frac{1}{2x + 4}$，且点 $ A,B $ 到点 $ C $ 的距离相等，求 $ x $ 的值。
答案：11. 解：(1)$∵$点$A$，$B$在数轴上，它们对应的数分别为$-2$，$\frac{x}{x + 2}$，
$∴$点$A$到原点的距离为$2$，点$B$到原点的距离为$\frac{x}{x + 2}$。
$∵$点$A$，$B$到原点的距离相等，
$∴\frac{x}{x + 2} = 2$，解得$x = - 4$，
把$x = - 4$代入原方程：左边$= 2$，右边$= 2$，左边$=$右边，
$∴$原方程的解是$x = - 4$，$∴x = - 4$。
(2)$∵$点$A$，$B$到点$C$的距离相等，
$∴$点$C$必在点$A$，$B$之间，
$∴AC = \frac{1}{2x + 4} - (-2)$，$BC = \frac{x}{x + 2} - \frac{1}{2x + 4}$，
$∴\frac{x}{x + 2} - \frac{1}{2x + 4} = \frac{1}{2x + 4} - (-2)$，解得$x = - 5$，
把$x = - 5$代入原方程：左边$=\frac{11}{6}$，右边$=\frac{11}{6}$，左边$=$右边，
$∴$原方程的解是$x = - 5$，$∴x = - 5$。
$∴$点$A$到原点的距离为$2$，点$B$到原点的距离为$\frac{x}{x + 2}$。
$∵$点$A$，$B$到原点的距离相等，
$∴\frac{x}{x + 2} = 2$，解得$x = - 4$，
把$x = - 4$代入原方程：左边$= 2$，右边$= 2$，左边$=$右边，
$∴$原方程的解是$x = - 4$，$∴x = - 4$。
(2)$∵$点$A$，$B$到点$C$的距离相等，
$∴$点$C$必在点$A$，$B$之间，
$∴AC = \frac{1}{2x + 4} - (-2)$，$BC = \frac{x}{x + 2} - \frac{1}{2x + 4}$，
$∴\frac{x}{x + 2} - \frac{1}{2x + 4} = \frac{1}{2x + 4} - (-2)$，解得$x = - 5$，
把$x = - 5$代入原方程：左边$=\frac{11}{6}$，右边$=\frac{11}{6}$，左边$=$右边，
$∴$原方程的解是$x = - 5$，$∴x = - 5$。
12. (2024·玄武区期中)先阅读下面的材料，再解答问题：
材料一：
方程 $ x + \frac{1}{x} = 2 + \frac{1}{2}$ 的解为 $ x_1 = 2,x_2 = \frac{1}{2}$；
方程 $ x + \frac{1}{x} = 3 + \frac{1}{3}$ 的解为 $ x_1 = 3,x_2 = \frac{1}{3}$；
方程 $ x + \frac{1}{x} = 4 + \frac{1}{4}$ 的解为 $ x_1 = 4,x_2 = \frac{1}{4}······$
材料二：在处理分式问题时，当分子的次数不低于分母的次数，运算时我们可以将分式拆分成一个整式和一个分式(分子为正数)的和(差)的形式。
如：$\frac{x - 1}{x + 1} = \frac{(x + 1) - 2}{x + 1} = 1 - \frac{2}{x + 1}$；
再如：$\frac{x^2}{x - 1} = \frac{x^2 - 1 + 1}{x - 1} = \frac{(x + 1)(x - 1) + 1}{x - 1} = x + 1 + \frac{1}{x - 1}$。
(1) 根据上面材料一的规律，猜想关于 $ x $ 的方程 $ x + \frac{1}{x} = a + \frac{1}{a}$ 的解是
(2) 根据材料二将分式 $ x + \frac{x + 2}{x + 1}$ 拆分成一个整式与一个分式(分子为正数)的和的形式 $ x + \frac{x + 2}{x + 1} = $
(3) 利用上述材料及(1)的结论解关于 $ x $ 的方程：$\frac{4x^2 - 12x + 10}{2x - 3} = \frac{a^2 + 1}{a}$。
材料一：
方程 $ x + \frac{1}{x} = 2 + \frac{1}{2}$ 的解为 $ x_1 = 2,x_2 = \frac{1}{2}$；
方程 $ x + \frac{1}{x} = 3 + \frac{1}{3}$ 的解为 $ x_1 = 3,x_2 = \frac{1}{3}$；
方程 $ x + \frac{1}{x} = 4 + \frac{1}{4}$ 的解为 $ x_1 = 4,x_2 = \frac{1}{4}······$
材料二：在处理分式问题时，当分子的次数不低于分母的次数，运算时我们可以将分式拆分成一个整式和一个分式(分子为正数)的和(差)的形式。
如：$\frac{x - 1}{x + 1} = \frac{(x + 1) - 2}{x + 1} = 1 - \frac{2}{x + 1}$；
再如：$\frac{x^2}{x - 1} = \frac{x^2 - 1 + 1}{x - 1} = \frac{(x + 1)(x - 1) + 1}{x - 1} = x + 1 + \frac{1}{x - 1}$。
(1) 根据上面材料一的规律，猜想关于 $ x $ 的方程 $ x + \frac{1}{x} = a + \frac{1}{a}$ 的解是
$x_1 = a$，$x_2 = \frac{1}{a}$
；(2) 根据材料二将分式 $ x + \frac{x + 2}{x + 1}$ 拆分成一个整式与一个分式(分子为正数)的和的形式 $ x + \frac{x + 2}{x + 1} = $
$x + 1$
+ $\frac{1}{x + 1}$
，利用(1)的结论得到关于 $ x $ 的方程 $ x + \frac{x + 2}{x + 1} = \frac{10}{3}$ 的解是$x_1 = 2$，$x_2 = -\frac{2}{3}$
；(3) 利用上述材料及(1)的结论解关于 $ x $ 的方程：$\frac{4x^2 - 12x + 10}{2x - 3} = \frac{a^2 + 1}{a}$。
答案：12. (1)$x_1 = a$，$x_2 = \frac{1}{a}$
(2)$x + 1$，$\frac{1}{x + 1}$，$x_1 = 2$，$x_2 = -\frac{2}{3}$
(3)解：$\frac{4x^2 - 12x + 10}{2x - 3} = \frac{a^2 + 1}{a}$，
$\frac{4x^2 - 12x + 9 + 1}{2x - 3} = a + \frac{1}{a}$，
$\frac{(2x - 3)^2 + 1}{2x - 3} = a + \frac{1}{a}$，
$(2x - 3) + \frac{1}{2x - 3} = a + \frac{1}{a}$，
$∴2x - 3 = a$或$2x - 3 = \frac{1}{a}$，
$∴x_1 = \frac{3 + a}{2}$，$x_2 = \frac{1 + 3a}{2a}$。
把$x_1 = \frac{3 + a}{2}$，$x_2 = \frac{1 + 3a}{2a}$分别代入原方程：左边$=\frac{a^2 + 1}{a}$，右边$=\frac{a^2 + 1}{a}$，左边$=$右边，$∴$原方程的解是$x_1 = \frac{3 + a}{2}$，$x_2 = \frac{1 + 3a}{2a}$。
(2)$x + 1$，$\frac{1}{x + 1}$，$x_1 = 2$，$x_2 = -\frac{2}{3}$
(3)解：$\frac{4x^2 - 12x + 10}{2x - 3} = \frac{a^2 + 1}{a}$，
$\frac{4x^2 - 12x + 9 + 1}{2x - 3} = a + \frac{1}{a}$，
$\frac{(2x - 3)^2 + 1}{2x - 3} = a + \frac{1}{a}$，
$(2x - 3) + \frac{1}{2x - 3} = a + \frac{1}{a}$，
$∴2x - 3 = a$或$2x - 3 = \frac{1}{a}$，
$∴x_1 = \frac{3 + a}{2}$，$x_2 = \frac{1 + 3a}{2a}$。
把$x_1 = \frac{3 + a}{2}$，$x_2 = \frac{1 + 3a}{2a}$分别代入原方程：左边$=\frac{a^2 + 1}{a}$，右边$=\frac{a^2 + 1}{a}$，左边$=$右边，$∴$原方程的解是$x_1 = \frac{3 + a}{2}$，$x_2 = \frac{1 + 3a}{2a}$。