1. 分式方程$\frac{x}{x - 1}-1=\frac{4}{(x - 1)(x + 3)}$的解为(
A.$x = 1$
B.$x = 2$
C.$x = - 1$
D.无解
D
)A.$x = 1$
B.$x = 2$
C.$x = - 1$
D.无解
答案：1. D
解析：
方程两边同乘$(x - 1)(x + 3)$，得$x(x + 3) - (x - 1)(x + 3) = 4$。
展开得$x^2 + 3x - (x^2 + 3x - x - 3) = 4$，即$x^2 + 3x - x^2 - 2x + 3 = 4$。
化简得$x + 3 = 4$，解得$x = 1$。
检验：当$x = 1$时，$(x - 1)(x + 3) = 0$，所以$x = 1$是增根，原分式方程无解。
D
展开得$x^2 + 3x - (x^2 + 3x - x - 3) = 4$，即$x^2 + 3x - x^2 - 2x + 3 = 4$。
化简得$x + 3 = 4$，解得$x = 1$。
检验：当$x = 1$时，$(x - 1)(x + 3) = 0$，所以$x = 1$是增根，原分式方程无解。
D
2. 解方程：
(1)$\frac{x - 1}{x - 3}+\frac{2}{3x - x^{2}}=1$；
(2)$\frac{2x}{x + 1}-\frac{3}{x^{2}-1}=2$；
(3)$\frac{x + 2}{x - 2}+\frac{16}{x^{2}-4}=\frac{x - 2}{x + 2}$；
(4)$\frac{1}{2x + 3}-\frac{1}{2x - 3}=\frac{4x}{4x^{2}-9}$；
(5)$\frac{6}{x - 1}=\frac{x + 5}{x(x - 1)}-\frac{3}{x}$；
(6)$\frac{2x + 2}{x}-\frac{x + 2}{x - 2}=\frac{x^{2}-2}{x^{2}-2x}$。
(1)$\frac{x - 1}{x - 3}+\frac{2}{3x - x^{2}}=1$；
(2)$\frac{2x}{x + 1}-\frac{3}{x^{2}-1}=2$；
(3)$\frac{x + 2}{x - 2}+\frac{16}{x^{2}-4}=\frac{x - 2}{x + 2}$；
(4)$\frac{1}{2x + 3}-\frac{1}{2x - 3}=\frac{4x}{4x^{2}-9}$；
(5)$\frac{6}{x - 1}=\frac{x + 5}{x(x - 1)}-\frac{3}{x}$；
(6)$\frac{2x + 2}{x}-\frac{x + 2}{x - 2}=\frac{x^{2}-2}{x^{2}-2x}$。
答案：2. 解: (1) 方程两边同乘 $ x(x - 3) $，得 $ x^{2} - x - 2 = x^{2} - 3x $，
解得 $ x = 1 $。
检验: 当 $ x = 1 $ 时，$ x(x - 3) = - 2 ≠ 0 $，所以原方程的解是 $ x = 1 $。
(2) 方程两边同乘 $ (x + 1)(x - 1) $，
得 $ 2x(x - 1) - 3 = 2(x + 1)(x - 1) $，
解得 $ x = - \frac{1}{2} $。
检验: 当 $ x = - \frac{1}{2} $ 时，$ (x + 1)(x - 1) = - \frac{3}{4} ≠ 0 $，所以原方程的解是 $ x = - \frac{1}{2} $。
(3) 方程两边同乘 $ (x + 2)(x - 2) $，得 $ (x + 2)^{2} + 16 = (x - 2)^{2} $，解得 $ x = - 2 $。
检验: 当 $ x = - 2 $ 时，$ (x + 2)(x - 2) = 0 $，$ x = - 2 $ 是增根，
所以原方程无解。
(4) 方程两边同乘 $ (2x + 3)(2x - 3) $，
得 $ 2x - 3 - (2x + 3) = 4x $，解得 $ x = - \frac{3}{2} $。
检验: 当 $ x = - \frac{3}{2} $ 时，$ (2x + 3)(2x - 3) = 0 $，$ x = - \frac{3}{2} $ 是增根，所以原方程无解。
(5) 方程两边同乘 $ x(x - 1) $，得 $ 6x = x + 5 - 3(x - 1) $，解得 $ x = 1 $。
检验: 当 $ x = 1 $ 时，$ x(x - 1) = 0 $，$ x = 1 $ 是增根，
所以原方程无解。
(6) 方程两边同乘 $ x(x - 2) $，得 $ 2x^{2} - 2x - 4 - x^{2} - 2x = x^{2} - 2 $，
解得 $ x = - \frac{1}{2} $。
检验: 当 $ x = - \frac{1}{2} $ 时，$ x(x - 2) = \frac{5}{4} ≠ 0 $，所以原方程的解是 $ x = - \frac{1}{2} $。
解得 $ x = 1 $。
检验: 当 $ x = 1 $ 时，$ x(x - 3) = - 2 ≠ 0 $，所以原方程的解是 $ x = 1 $。
(2) 方程两边同乘 $ (x + 1)(x - 1) $，
得 $ 2x(x - 1) - 3 = 2(x + 1)(x - 1) $，
解得 $ x = - \frac{1}{2} $。
检验: 当 $ x = - \frac{1}{2} $ 时，$ (x + 1)(x - 1) = - \frac{3}{4} ≠ 0 $，所以原方程的解是 $ x = - \frac{1}{2} $。
(3) 方程两边同乘 $ (x + 2)(x - 2) $，得 $ (x + 2)^{2} + 16 = (x - 2)^{2} $，解得 $ x = - 2 $。
检验: 当 $ x = - 2 $ 时，$ (x + 2)(x - 2) = 0 $，$ x = - 2 $ 是增根，
所以原方程无解。
(4) 方程两边同乘 $ (2x + 3)(2x - 3) $，
得 $ 2x - 3 - (2x + 3) = 4x $，解得 $ x = - \frac{3}{2} $。
检验: 当 $ x = - \frac{3}{2} $ 时，$ (2x + 3)(2x - 3) = 0 $，$ x = - \frac{3}{2} $ 是增根，所以原方程无解。
(5) 方程两边同乘 $ x(x - 1) $，得 $ 6x = x + 5 - 3(x - 1) $，解得 $ x = 1 $。
检验: 当 $ x = 1 $ 时，$ x(x - 1) = 0 $，$ x = 1 $ 是增根，
所以原方程无解。
(6) 方程两边同乘 $ x(x - 2) $，得 $ 2x^{2} - 2x - 4 - x^{2} - 2x = x^{2} - 2 $，
解得 $ x = - \frac{1}{2} $。
检验: 当 $ x = - \frac{1}{2} $ 时，$ x(x - 2) = \frac{5}{4} ≠ 0 $，所以原方程的解是 $ x = - \frac{1}{2} $。
3. (2024·遂宁)分式方程$\frac{2}{x - 1}=1-\frac{m}{x - 1}$的解为正数，则$m$的取值范围是(
A.$m＞-3$
B.$m＞-3$且$m≠ - 2$
C.$m＜3$
D.$m＜3$且$m≠ - 2$
B
)A.$m＞-3$
B.$m＞-3$且$m≠ - 2$
C.$m＜3$
D.$m＜3$且$m≠ - 2$
答案：3. B
解析：
去分母得：$2 = x - 1 - m$，解得$x = 3 + m$。
因为方程的解为正数，所以$3 + m ＞ 0$，即$m ＞ - 3$。
又因为分母不能为$0$，所以$x - 1 ≠ 0$，即$3 + m - 1 ≠ 0$，解得$m ≠ - 2$。
综上，$m$的取值范围是$m ＞ - 3$且$m ≠ - 2$。
B
因为方程的解为正数，所以$3 + m ＞ 0$，即$m ＞ - 3$。
又因为分母不能为$0$，所以$x - 1 ≠ 0$，即$3 + m - 1 ≠ 0$，解得$m ≠ - 2$。
综上，$m$的取值范围是$m ＞ - 3$且$m ≠ - 2$。
B
4. (2024·京口区月考)已知关于$x$的分式方程$\frac{2x - m}{x - 3}=1$的解是非负数，则$m$的取值范围是(
A.$m≤ 3$
B.$m＜3$
C.$m＞3$且$m≠ 6$
D.$m≥ 3$且$m≠ 6$
D
)A.$m≤ 3$
B.$m＜3$
C.$m＞3$且$m≠ 6$
D.$m≥ 3$且$m≠ 6$
答案：4. D
解析：
去分母得：$2x - m = x - 3$，解得$x = m - 3$。
因为方程的解是非负数，所以$x ≥ 0$，即$m - 3 ≥ 0$，解得$m ≥ 3$。
又因为分母不能为$0$，所以$x - 3 ≠ 0$，即$m - 3 - 3 ≠ 0$，解得$m ≠ 6$。
综上，$m$的取值范围是$m ≥ 3$且$m ≠ 6$。
D
因为方程的解是非负数，所以$x ≥ 0$，即$m - 3 ≥ 0$，解得$m ≥ 3$。
又因为分母不能为$0$，所以$x - 3 ≠ 0$，即$m - 3 - 3 ≠ 0$，解得$m ≠ 6$。
综上，$m$的取值范围是$m ≥ 3$且$m ≠ 6$。
D
5. (2025·眉山)若关于$x$的不等式组$\begin{cases}\frac{3x - 1}{2}≤ x + 2,\\x + 1≥ - x + a\end{cases}$至少有两个正整数解，且关于$x$的分式方程$\frac{a - 1}{x - 1}=2-\frac{3}{1 - x}$的解为正整数，则所有满足条件的整数$a$的值之和为( )
A.38
B.18
C.14
D.8
A.38
B.18
C.14
D.8
答案：5. C
解析：
解不等式组：
1. 解$\frac{3x - 1}{2} ≤ x + 2$，得$3x - 1 ≤ 2x + 4$，$x ≤ 5$。
2. 解$x + 1 ≥ -x + a$，得$2x ≥ a - 1$，$x ≥ \frac{a - 1}{2}$。
不等式组解集为$\frac{a - 1}{2} ≤ x ≤ 5$，至少有两个正整数解（1,2,3,4,5中至少2个），则$\frac{a - 1}{2} ＜ 4$，$a ＜ 9$。
解分式方程$\frac{a - 1}{x - 1} = 2 - \frac{3}{1 - x}$：
两边同乘$x - 1$，得$a - 1 = 2(x - 1) + 3$，$a - 1 = 2x - 2 + 3$，$2x = a - 2$，$x = \frac{a - 2}{2}$。
解为正整数且$x ≠ 1$，则：
$x = \frac{a - 2}{2} ＞ 0$，$a ＞ 2$；
$\frac{a - 2}{2} ≠ 1$，$a ≠ 4$；
$\frac{a - 2}{2}$为正整数，$a - 2$为偶数，$a$为偶数。
综上，$2 ＜ a ＜ 9$，$a$为偶数且$a ≠ 4$，则$a = 6, 8$。
满足条件的整数$a$的值之和为$6 + 8 = 14$。
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1. 解$\frac{3x - 1}{2} ≤ x + 2$，得$3x - 1 ≤ 2x + 4$，$x ≤ 5$。
2. 解$x + 1 ≥ -x + a$，得$2x ≥ a - 1$，$x ≥ \frac{a - 1}{2}$。
不等式组解集为$\frac{a - 1}{2} ≤ x ≤ 5$，至少有两个正整数解（1,2,3,4,5中至少2个），则$\frac{a - 1}{2} ＜ 4$，$a ＜ 9$。
解分式方程$\frac{a - 1}{x - 1} = 2 - \frac{3}{1 - x}$：
两边同乘$x - 1$，得$a - 1 = 2(x - 1) + 3$，$a - 1 = 2x - 2 + 3$，$2x = a - 2$，$x = \frac{a - 2}{2}$。
解为正整数且$x ≠ 1$，则：
$x = \frac{a - 2}{2} ＞ 0$，$a ＞ 2$；
$\frac{a - 2}{2} ≠ 1$，$a ≠ 4$；
$\frac{a - 2}{2}$为正整数，$a - 2$为偶数，$a$为偶数。
综上，$2 ＜ a ＜ 9$，$a$为偶数且$a ≠ 4$，则$a = 6, 8$。
满足条件的整数$a$的值之和为$6 + 8 = 14$。
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