6. (2025·凉山州)若关于$x$的分式方程$\frac{x + m}{x - 2}+\frac{1}{2 - x}=3$无解，则$m=$
- 1
。答案：6. - 1
解析：
去分母得：$x + m - 1 = 3(x - 2)$，
去括号得：$x + m - 1 = 3x - 6$，
移项合并得：$-2x = -5 - m$，
解得：$x = \frac{5 + m}{2}$，
因为分式方程无解，所以$x - 2 = 0$，即$x = 2$，
则$\frac{5 + m}{2} = 2$，
解得$m = -1$。
$-1$
去括号得：$x + m - 1 = 3x - 6$，
移项合并得：$-2x = -5 - m$，
解得：$x = \frac{5 + m}{2}$，
因为分式方程无解，所以$x - 2 = 0$，即$x = 2$，
则$\frac{5 + m}{2} = 2$，
解得$m = -1$。
$-1$
7. 小颖在解分式方程$\frac{x - 2}{x - 3}=\frac{△}{x - 3}+2$时，$△$处被污染看不清，但正确答案是：此方程无解. 请你帮小颖猜测一下$△$处的数应是
1
。答案：7. 1
解析：
设$△$处的数为$a$，方程为$\frac{x - 2}{x - 3}=\frac{a}{x - 3}+2$。
两边同乘$x - 3$得：$x - 2 = a + 2(x - 3)$。
化简得：$x - 2 = a + 2x - 6$，解得$x = 4 - a$。
因为方程无解，所以$x - 3 = 0$，即$x = 3$。
则$4 - a = 3$，解得$a = 1$。
1
两边同乘$x - 3$得：$x - 2 = a + 2(x - 3)$。
化简得：$x - 2 = a + 2x - 6$，解得$x = 4 - a$。
因为方程无解，所以$x - 3 = 0$，即$x = 3$。
则$4 - a = 3$，解得$a = 1$。
1
8. (2024·达州)若关于$x$的方程$\frac{3}{x - 2}-\frac{kx - 1}{x - 2}=1$无解，则$k$的值为
2 或 - 1
。答案：8. 2 或 - 1
解析：
解：方程两边同乘$x - 2$得：$3 - (kx - 1) = x - 2$，
整理得：$(k + 1)x = 6$。
当$k + 1 = 0$，即$k = -1$时，方程无解。
当$k + 1 ≠ 0$时，$x = \frac{6}{k + 1}$，
若原方程无解，则$x - 2 = 0$，即$x = 2$，
所以$\frac{6}{k + 1} = 2$，解得$k = 2$。
综上，$k$的值为$2$或$-1$。
整理得：$(k + 1)x = 6$。
当$k + 1 = 0$，即$k = -1$时，方程无解。
当$k + 1 ≠ 0$时，$x = \frac{6}{k + 1}$，
若原方程无解，则$x - 2 = 0$，即$x = 2$，
所以$\frac{6}{k + 1} = 2$，解得$k = 2$。
综上，$k$的值为$2$或$-1$。
9. (2024·广元)若点$Q(x,y)$满足$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{xy}$，则称点$Q$为“美好点”，写出一个“美好点”的坐标
$ (2, - 1) $（答案不唯一）
。答案：9. $ (2, - 1) $（答案不唯一）
10. 当$a$为何值时，关于$x$的分式方程$\frac{1}{x - 1}-\frac{a}{2 - x}=\frac{2(a + 1)}{x^{2}-3x + 2}$无解？
答案：10. 解: 方程两边同乘 $ (x - 1)(x - 2) $，得 $ (x - 2) + a(x - 1) = 2(a + 1) $，
整理，得 $ (1 + a)x = 3a + 4 $。
∵ 方程无解，
∴ $ a = - 1 $ 时，方程无解；
$ x = 1 $ 时，$ a = - \frac{3}{2} $，方程无解；
$ x = 2 $ 时，$ a = - 2 $，方程无解。
综上，当 $ a $ 的值为 - 1 或 $ - \frac{3}{2} $ 或 - 2 时，方程无解。
整理，得 $ (1 + a)x = 3a + 4 $。
∵ 方程无解，
∴ $ a = - 1 $ 时，方程无解；
$ x = 1 $ 时，$ a = - \frac{3}{2} $，方程无解；
$ x = 2 $ 时，$ a = - 2 $，方程无解。
综上，当 $ a $ 的值为 - 1 或 $ - \frac{3}{2} $ 或 - 2 时，方程无解。
11. 已知关于$x$的分式方程$\frac{2}{x - 1}+\frac{mx}{(x - 1)(x + 2)}=\frac{1}{x + 2}$。
(1)若方程的增根为$x = 1$，求$m$的值；
(2)若方程有增根，求$m$的值；
(3)若方程无解，求$m$的值。
(1)若方程的增根为$x = 1$，求$m$的值；
(2)若方程有增根，求$m$的值；
(3)若方程无解，求$m$的值。
答案：11. 解: 方程两边同乘 $ (x + 2)(x - 1) $，得 $ 2(x + 2) + mx = x - 1 $，
整理，得 $ (m + 1)x = - 5 $。
(1)
∵ $ x = 1 $ 是分式方程的增根，
∴ $ m + 1 = - 5 $，解得 $ m = - 6 $。
(2)
∵ 原分式方程有增根，
∴ $ (x + 2)(x - 1) = 0 $，解得 $ x = - 2 $ 或 $ x = 1 $，
当 $ x = - 2 $ 时，$ m = \frac{3}{2} $；当 $ x = 1 $ 时，$ m = - 6 $。
∴ $ m $ 的值为 $ \frac{3}{2} $ 或 - 6。
(3) 当 $ m + 1 = 0 $ 时，该方程无解，此时 $ m = - 1 $；
当 $ m + 1 ≠ 0 $ 时，要使原方程无解，由 (2) 得 $ m = - 6 $ 或 $ m = \frac{3}{2} $。
综上，$ m $ 的值为 - 1 或 - 6 或 $ \frac{3}{2} $。
整理，得 $ (m + 1)x = - 5 $。
(1)
∵ $ x = 1 $ 是分式方程的增根，
∴ $ m + 1 = - 5 $，解得 $ m = - 6 $。
(2)
∵ 原分式方程有增根，
∴ $ (x + 2)(x - 1) = 0 $，解得 $ x = - 2 $ 或 $ x = 1 $，
当 $ x = - 2 $ 时，$ m = \frac{3}{2} $；当 $ x = 1 $ 时，$ m = - 6 $。
∴ $ m $ 的值为 $ \frac{3}{2} $ 或 - 6。
(3) 当 $ m + 1 = 0 $ 时，该方程无解，此时 $ m = - 1 $；
当 $ m + 1 ≠ 0 $ 时，要使原方程无解，由 (2) 得 $ m = - 6 $ 或 $ m = \frac{3}{2} $。
综上，$ m $ 的值为 - 1 或 - 6 或 $ \frac{3}{2} $。
12. 已知分式$A=\frac{x}{x - 4}+\frac{y}{y - 4}$。
(1)已知$x = 2t + 6$，$y = 2 - 2t(t≠ - 1)$，求分式$A$的值；
(2)已知$x = 3y$，且分式$A$的值等于$2$，求$x$，$y$的值。
(1)已知$x = 2t + 6$，$y = 2 - 2t(t≠ - 1)$，求分式$A$的值；
(2)已知$x = 3y$，且分式$A$的值等于$2$，求$x$，$y$的值。
答案：12. 解: (1) $ A = \frac{2t + 6}{2t + 2} + \frac{2 - 2t}{- 2t - 2} = \frac{t + 3}{t + 1} - \frac{1 - t}{t + 1} = \frac{2t + 2}{t + 1} = 2 $。
(2) 由题意，得 $ 2 = \frac{3y}{3y - 4} + \frac{y}{y - 4} $，解得 $ y = 2 $，
经检验，$ y = 2 $ 是分式方程的解，
∴ $ x = 3y = 6 $。
(2) 由题意，得 $ 2 = \frac{3y}{3y - 4} + \frac{y}{y - 4} $，解得 $ y = 2 $，
经检验，$ y = 2 $ 是分式方程的解，
∴ $ x = 3y = 6 $。