1. (2024·齐齐哈尔)如果关于 $ x $ 的分式方程 $ \frac{1}{x}+\frac{m}{x - 1}=0 $ 的解是非负数, 那么实数 $ m $ 的取值范围是 (
A.$ m ＜ 1 $ 且 $ m ≠ 0 $
B.$ m ＜ - 1 $
C.$ m ＞ - 1 $
D.$ m ＞ - 1 $ 且 $ m ≠ 0 $
D
)A.$ m ＜ 1 $ 且 $ m ≠ 0 $
B.$ m ＜ - 1 $
C.$ m ＞ - 1 $
D.$ m ＞ - 1 $ 且 $ m ≠ 0 $
答案：1. D
解析：
解：方程两边同乘$x(x - 1)$，得$x - 1 + mx = 0$，整理得$(1 + m)x = 1$。
当$1 + m ≠ 0$，即$m ≠ -1$时，$x = \frac{1}{1 + m}$。
因为方程的解是非负数，所以$\frac{1}{1 + m} ≥ 0$，解得$m ＞ -1$。
又因为分母不能为$0$，所以$x ≠ 0$且$x ≠ 1$。
当$x = 0$时，$\frac{1}{1 + m} = 0$，无解；当$x = 1$时，$\frac{1}{1 + m} = 1$，解得$m = 0$，所以$m ≠ 0$。
综上，$m$的取值范围是$m ＞ -1$且$m ≠ 0$。
D
当$1 + m ≠ 0$，即$m ≠ -1$时，$x = \frac{1}{1 + m}$。
因为方程的解是非负数，所以$\frac{1}{1 + m} ≥ 0$，解得$m ＞ -1$。
又因为分母不能为$0$，所以$x ≠ 0$且$x ≠ 1$。
当$x = 0$时，$\frac{1}{1 + m} = 0$，无解；当$x = 1$时，$\frac{1}{1 + m} = 1$，解得$m = 0$，所以$m ≠ 0$。
综上，$m$的取值范围是$m ＞ -1$且$m ≠ 0$。
D
2. 关于 $ x $ 的分式方程 $ \frac{2x + 3}{1 - x}-\frac{a - 3}{x - 1}=1 $ 的解满足不等式 $ \frac{x - 1}{2}+2＞\frac{1 + x}{3} $, 求 $ a $ 的取值范围.
答案：2. 解:解关于x的分式方程$\frac {2x+3}{1-x}-\frac {a-3}{x-1}=1$，得$x=\frac {1-a}{3}$。
$\because x≠1,\therefore \frac {1-a}{3}≠1,\therefore a≠-2$。
解不等式$\frac {x-1}{2}+2＞\frac {1+x}{3}$，得$x＞-7$。
∵关于x的分式方程$\frac {2x+3}{1-x}-\frac {a-3}{x-1}=1$的解满足不等式$\frac {x-1}{2}+2＞\frac {1+x}{3}$，
$\therefore \frac {1-a}{3}＞-7$，解得$a＜22$，
$\therefore a$的取值范围是$a＜22$且$a≠-2$。
$\because x≠1,\therefore \frac {1-a}{3}≠1,\therefore a≠-2$。
解不等式$\frac {x-1}{2}+2＞\frac {1+x}{3}$，得$x＞-7$。
∵关于x的分式方程$\frac {2x+3}{1-x}-\frac {a-3}{x-1}=1$的解满足不等式$\frac {x-1}{2}+2＞\frac {1+x}{3}$，
$\therefore \frac {1-a}{3}＞-7$，解得$a＜22$，
$\therefore a$的取值范围是$a＜22$且$a≠-2$。
3. 已知关于 $ x $ 的方程 $ \frac{ax + 1}{x - 1}-\frac{2}{1 - x}=1 $.
(1) 当 $ a = 3 $ 时, 求这个方程的解;
(2) 若这个方程有增根, 则 $ a $ 的值为
(1) 当 $ a = 3 $ 时, 求这个方程的解;
(2) 若这个方程有增根, 则 $ a $ 的值为
-3
.答案：3. (1)解:当$a=3$时，
原方程为$\frac {3x+1}{x-1}-\frac {2}{1-x}=1$，
方程两边同乘$(x-1)$，得$3x+1+2=x-1$，
解得$x=-2$。
检验:当$x=-2$时，$x-1≠0$，
∴原方程的解是$x=-2$。
(2)$-3$
原方程为$\frac {3x+1}{x-1}-\frac {2}{1-x}=1$，
方程两边同乘$(x-1)$，得$3x+1+2=x-1$，
解得$x=-2$。
检验:当$x=-2$时，$x-1≠0$，
∴原方程的解是$x=-2$。
(2)$-3$
4. 若解关于 $ x $ 的方程 $ \frac{x + 1}{x + 2}-\frac{x}{x - 1}=\frac{kx + 2}{(x - 1)(x + 2)} $ 时产生了增根, 请求出所有满足条件的 $ k $ 的值.
答案：4. 解:方程去分母，得$(x+1)(x-1)-x(x+2)=kx+2$，整理，得$(k+2)x=-3$，原方程有增根，分以下两种情况:
①$x=1$，则$k+2=-3,\therefore k=-5$；
②$x=-2$，则$-2(k+2)=-3,\therefore k=-\frac {1}{2}$。
综上，k的值为$-5$或$-\frac {1}{2}$。
①$x=1$，则$k+2=-3,\therefore k=-5$；
②$x=-2$，则$-2(k+2)=-3,\therefore k=-\frac {1}{2}$。
综上，k的值为$-5$或$-\frac {1}{2}$。