5. 已知关于 $ x $ 的分式方程 $ \frac{x - a}{x - 1}-\frac{3}{x}=1 $ 在实数范围内无解, 求实数 $ a $ 的值.
答案：5. 解:方程两边同乘$x(x-1)$，得$x(x-a)-3(x-1)=x(x-1)$，整理，得$(a+2)x=3$，
当$a=-2$时，原方程无解；
当$a≠-2$时，由分式方程在实数范围内无解，得$x(x-1)=0$，即$x=0$或$x=1$，可得$a=1$。
故当$a=-2$或$a=1$时，原方程无解。
当$a=-2$时，原方程无解；
当$a≠-2$时，由分式方程在实数范围内无解，得$x(x-1)=0$，即$x=0$或$x=1$，可得$a=1$。
故当$a=-2$或$a=1$时，原方程无解。
6. 小涵在做分式方程的练习题时, 由于印刷问题, 有一个数 (用“?”代替) 看不清楚: $ \frac{x}{x - 3}=2-\frac{?}{x - 3} $.
(1) 她把这个数猜成 $ - 2 $, 请你帮小涵解这个分式方程;
(2) 小涵的妈妈说: “我看到标准答案是: $ x = 3 $ 是方程的增根, 原分式方程无解”, 请你求出原分式方程中“?”代表的数.
(1) 她把这个数猜成 $ - 2 $, 请你帮小涵解这个分式方程;
(2) 小涵的妈妈说: “我看到标准答案是: $ x = 3 $ 是方程的增根, 原分式方程无解”, 请你求出原分式方程中“?”代表的数.
答案：6. 解:(1)由题意，得$\frac {x}{x-3}=2-\frac {-2}{x-3}$，
方程两边同乘$(x-3)$，得$x=2(x-3)+2$，
解得$x=4$，
检验:当$x=4$时，$x-3≠0$，
∴原方程的解是$x=4$。
(2)设原分式方程中“?”代表的数为m，
方程两边同乘$(x-3)$，得$x=2(x-3)-m$，
由于$x=3$是原分式方程的增根，
把$x=3$代入$x=2(x-3)-m$，解得$m=-3$，
∴原分式方程中“?”代表的数是$-3$。
方程两边同乘$(x-3)$，得$x=2(x-3)+2$，
解得$x=4$，
检验:当$x=4$时，$x-3≠0$，
∴原方程的解是$x=4$。
(2)设原分式方程中“?”代表的数为m，
方程两边同乘$(x-3)$，得$x=2(x-3)-m$，
由于$x=3$是原分式方程的增根，
把$x=3$代入$x=2(x-3)-m$，解得$m=-3$，
∴原分式方程中“?”代表的数是$-3$。
7. (2024·重庆)若关于 $ x $ 的不等式组 $ \begin{cases}\frac{4x - 1}{3}＜x + 1,\\2(x + 1)≥ - x + a\end{cases}$ 至少有 2 个整数解, 且关于 $ y $ 的分式方程 $ \frac{a - 1}{y - 1}=2-\frac{3}{1 - y} $ 的解为非负整数, 则所有满足条件的整数 $ a $ 的值之和为 ______ .
答案：7. 16
解析：
解不等式组：
$\begin{cases}\frac{4x - 1}{3} ＜ x + 1 \\2(x + 1) ≥ -x + a\end{cases}$
解第一个不等式：
$\frac{4x - 1}{3} ＜ x + 1 \implies 4x - 1 ＜ 3x + 3 \implies x ＜ 4$
解第二个不等式：
$2(x + 1) ≥ -x + a \implies 2x + 2 ≥ -x + a \implies 3x ≥ a - 2 \implies x ≥ \frac{a - 2}{3}$
不等式组解集为：$\frac{a - 2}{3} ≤ x ＜ 4$，至少有2个整数解，即整数解为3，2，故$\frac{a - 2}{3} ≤ 2 \implies a ≤ 8$。
解分式方程：
$\frac{a - 1}{y - 1} = 2 - \frac{3}{1 - y}$
两边同乘$y - 1$：
$a - 1 = 2(y - 1) + 3 \implies a - 1 = 2y - 2 + 3 \implies 2y = a - 2 \implies y = \frac{a - 2}{2}$
解为非负整数且$y ≠ 1$，则：
$\frac{a - 2}{2} ≥ 0 \implies a ≥ 2；\quad \frac{a - 2}{2} ≠ 1 \implies a ≠ 4$
$\frac{a - 2}{2}$为整数，$a - 2$为偶数，$a$为偶数。
综上，$2 ≤ a ≤ 8$，$a$为偶数且$a ≠ 4$，则$a = 2, 6, 8$。
所有满足条件的整数$a$的值之和为：$2 + 6 + 8 = 16$。
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$\begin{cases}\frac{4x - 1}{3} ＜ x + 1 \\2(x + 1) ≥ -x + a\end{cases}$
解第一个不等式：
$\frac{4x - 1}{3} ＜ x + 1 \implies 4x - 1 ＜ 3x + 3 \implies x ＜ 4$
解第二个不等式：
$2(x + 1) ≥ -x + a \implies 2x + 2 ≥ -x + a \implies 3x ≥ a - 2 \implies x ≥ \frac{a - 2}{3}$
不等式组解集为：$\frac{a - 2}{3} ≤ x ＜ 4$，至少有2个整数解，即整数解为3，2，故$\frac{a - 2}{3} ≤ 2 \implies a ≤ 8$。
解分式方程：
$\frac{a - 1}{y - 1} = 2 - \frac{3}{1 - y}$
两边同乘$y - 1$：
$a - 1 = 2(y - 1) + 3 \implies a - 1 = 2y - 2 + 3 \implies 2y = a - 2 \implies y = \frac{a - 2}{2}$
解为非负整数且$y ≠ 1$，则：
$\frac{a - 2}{2} ≥ 0 \implies a ≥ 2；\quad \frac{a - 2}{2} ≠ 1 \implies a ≠ 4$
$\frac{a - 2}{2}$为整数，$a - 2$为偶数，$a$为偶数。
综上，$2 ≤ a ≤ 8$，$a$为偶数且$a ≠ 4$，则$a = 2, 6, 8$。
所有满足条件的整数$a$的值之和为：$2 + 6 + 8 = 16$。
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