8. 如图,在 $ □ ABCD $ 中,$ E $ 是 $ BC $ 边的中点,连接 $ AE $ 并延长与 $ DC $ 的延长线交于点 $ F $.
(1)求证:四边形 $ ABFC $ 是平行四边形;
(2)若 $ AF $ 平分 $ ∠ BAD $,$ ∠ D = 60^{\circ} $,$ AD = 2 $,求 $ □ ABCD $ 的面积.
(1)求证:四边形 $ ABFC $ 是平行四边形;
(2)若 $ AF $ 平分 $ ∠ BAD $,$ ∠ D = 60^{\circ} $,$ AD = 2 $,求 $ □ ABCD $ 的面积.
答案：8. (1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB = CD，
∴∠ABE = ∠FCE。
∵E是BC边的中点，
∴BE = CE。
在△ABE和△FCE中，{∠ABE = ∠FCE，BE = CE，∠AEB = ∠FEC}
∴△ABE ≌ △FCE (ASA)，
∴AB = CF。
又
∵AB//CF，
∴四边形ABFC是平行四边形。
(2)解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC = ∠D = 60°，BC = AD = 2，AD//BC，
∴∠BEA = ∠DAE。
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAE = ∠DAE，
∴∠BEA = ∠BAE，
∴BA = BE = 1/2 BC = CE = 1，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE = ∠AEB = 60°。
∵AE = CE，
∴∠EAC = ∠ECA = 1/2 ∠AEB = 30°，
∴∠BAC = ∠BAE + ∠EAC = 90°，
∴AC⊥AB，AC = √(BC² - AB²)= √(2² - 1²)= √3，
∴□ABCD的面积为AB·AC = 1 × √3 = √3。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB = CD，
∴∠ABE = ∠FCE。
∵E是BC边的中点，
∴BE = CE。
在△ABE和△FCE中，{∠ABE = ∠FCE，BE = CE，∠AEB = ∠FEC}
∴△ABE ≌ △FCE (ASA)，
∴AB = CF。
又
∵AB//CF，
∴四边形ABFC是平行四边形。
(2)解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC = ∠D = 60°，BC = AD = 2，AD//BC，
∴∠BEA = ∠DAE。
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAE = ∠DAE，
∴∠BEA = ∠BAE，
∴BA = BE = 1/2 BC = CE = 1，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE = ∠AEB = 60°。
∵AE = CE，
∴∠EAC = ∠ECA = 1/2 ∠AEB = 30°，
∴∠BAC = ∠BAE + ∠EAC = 90°，
∴AC⊥AB，AC = √(BC² - AB²)= √(2² - 1²)= √3，
∴□ABCD的面积为AB·AC = 1 × √3 = √3。
9. 在 $ △ ABC $ 中,$ ∠ ACB = 90^{\circ} $,$ CB $ 边的垂直平分线交 $ BC $ 边于点 $ D $,交 $ AB $ 边于点 $ E $,点 $ F $ 在 $ DE $ 的延长线上. 连接 $ AF,CE $,且 $ AF = BE $.
(1)如图①,求证:四边形 $ ACEF $ 是平行四边形;
(2)如图②,连接 $ BF $,若 $ ∠ ABC = 30^{\circ} $,四边形 $ ACEF $ 的面积为 $ 2\sqrt{3} $. 求线段 $ BF $ 的长.
(1)如图①,求证:四边形 $ ACEF $ 是平行四边形;
(2)如图②,连接 $ BF $,若 $ ∠ ABC = 30^{\circ} $,四边形 $ ACEF $ 的面积为 $ 2\sqrt{3} $. 求线段 $ BF $ 的长.
答案：
9. (1)证明：
∵DE垂直平分BC，
∴D为BC的中点，ED⊥BC。
又
∵AC⊥BC，
∴ED//AC，
∴E为AB的中点，ED是△ABC的中位线，∠FEA =∠EAC，
∴CE是Rt△ABC斜边AB的中线，
∴CE = AE = BE，
∴∠EAC = ∠ECA。
∵AF = BE，
∴AF = AE，
∴∠F = ∠AEF，
∴∠F = ∠AEF = ∠EAC = ∠ECA，
∴180° - ∠F - ∠AEF = 180° - ∠EAC - ∠ACE，即∠FAE = ∠AEC，
∴AF//EC。
又
∵EF//AC，
∴四边形ACEF是平行四边形。
(2)解：如答图，过点E作EG⊥AC于点G。
∵∠ABC = 30°，∠ACB = 90°，
∴∠BAC = 60°，∠ECB = 30°，
∴∠ACE = 60°，
∴△AEC是等边三角形。
∵四边形ACEF的面积为2√3，
∴△AEC的面积是√3，
设AC = 2x，则GC = x，EG = √3x，
故1/2 × √3x × 2x = √3，解得x = 1，
故DC = EG = √3，ED = GC = 1，AC = EF = 2，
则BD = √3，故EF + ED = FD = 3，
则BF = √(3² + (√3)²)= √12。
9. (1)证明：
∵DE垂直平分BC，
∴D为BC的中点，ED⊥BC。
又
∵AC⊥BC，
∴ED//AC，
∴E为AB的中点，ED是△ABC的中位线，∠FEA =∠EAC，
∴CE是Rt△ABC斜边AB的中线，
∴CE = AE = BE，
∴∠EAC = ∠ECA。
∵AF = BE，
∴AF = AE，
∴∠F = ∠AEF，
∴∠F = ∠AEF = ∠EAC = ∠ECA，
∴180° - ∠F - ∠AEF = 180° - ∠EAC - ∠ACE，即∠FAE = ∠AEC，
∴AF//EC。
又
∵EF//AC，
∴四边形ACEF是平行四边形。
(2)解：如答图，过点E作EG⊥AC于点G。
∵∠ABC = 30°，∠ACB = 90°，
∴∠BAC = 60°，∠ECB = 30°，
∴∠ACE = 60°，
∴△AEC是等边三角形。
∵四边形ACEF的面积为2√3，
∴△AEC的面积是√3，
设AC = 2x，则GC = x，EG = √3x，
故1/2 × √3x × 2x = √3，解得x = 1，
故DC = EG = √3，ED = GC = 1，AC = EF = 2，
则BD = √3，故EF + ED = FD = 3，
则BF = √(3² + (√3)²)= √12。
10. 在 $ □ ABCD $ 中,$ O $ 是对角线 $ BD $ 的中点,点 $ E $ 在边 $ BC $ 上,$ EO $ 的延长线与边 $ AD $ 交于点 $ F $,连接 $ BF,DE $,如图①.
(1)求证:四边形 $ BEDF $ 是平行四边形.
(2)若 $ DE = DC $,$ ∠ CBD = 45^{\circ} $,过点 $ C $ 作 $ DE $ 的垂线,与 $ DE,BD $ 分别交于点 $ G,H $,如图②.
①当 $ CD = \sqrt{10} $,$ CE = 2 $ 时,求 $ BE $ 的长;
②求证:$ CD = CH $.
(1)求证:四边形 $ BEDF $ 是平行四边形.
(2)若 $ DE = DC $,$ ∠ CBD = 45^{\circ} $,过点 $ C $ 作 $ DE $ 的垂线,与 $ DE,BD $ 分别交于点 $ G,H $,如图②.
①当 $ CD = \sqrt{10} $,$ CE = 2 $ 时,求 $ BE $ 的长;
②求证:$ CD = CH $.
答案：
10. (1)证明：在平行四边形ABCD中，O是对角线BD的中点，
∴AD//BC，BO = DO，
∴∠ADB = ∠CBD。
在△BOE与△DOF中，
{∠EBO = ∠FDO，BO = DO，∠BOE = ∠DOF}
∴△BOE ≌ △DOF (ASA)，
∴DF = BE。
∵DF//BE，
∴四边形BEDF是平行四边形。
(2)①解：如答图，过点D作DN⊥EC于点N。
∵DE = DC = √10，DN⊥EC，CE = 2，
∴EN = CN = 1，
∴DN = √(DC² - CN²)= 3。
∵∠DBC = 45°，DN⊥BC，
∴∠DBC = ∠BDN = 45°，
∴DN = BN = 3，
∴BE = BN - EN = 3 - 1 = 2。
②证明：
∵DN⊥EC，CG⊥DE，
∴∠DEN + ∠EDN = 90°，∠CEG + ∠ECG = 90°，
∴∠EDN = ∠ECG。
∵DE = DC，DN⊥EC，
∴∠EDN = ∠CDN，
∴∠ECG = ∠CDN。
∵∠DHC = ∠DBC + ∠BCH = 45° + ∠BCH，
∠CDB = ∠BDN + ∠CDN = 45° + ∠CDN，
∴∠CDB = ∠DHC，
∴CD = CH。
10. (1)证明：在平行四边形ABCD中，O是对角线BD的中点，
∴AD//BC，BO = DO，
∴∠ADB = ∠CBD。
在△BOE与△DOF中，
{∠EBO = ∠FDO，BO = DO，∠BOE = ∠DOF}
∴△BOE ≌ △DOF (ASA)，
∴DF = BE。
∵DF//BE，
∴四边形BEDF是平行四边形。
(2)①解：如答图，过点D作DN⊥EC于点N。
∵DE = DC = √10，DN⊥EC，CE = 2，
∴EN = CN = 1，
∴DN = √(DC² - CN²)= 3。
∵∠DBC = 45°，DN⊥BC，
∴∠DBC = ∠BDN = 45°，
∴DN = BN = 3，
∴BE = BN - EN = 3 - 1 = 2。
②证明：
∵DN⊥EC，CG⊥DE，
∴∠DEN + ∠EDN = 90°，∠CEG + ∠ECG = 90°，
∴∠EDN = ∠ECG。
∵DE = DC，DN⊥EC，
∴∠EDN = ∠CDN，
∴∠ECG = ∠CDN。
∵∠DHC = ∠DBC + ∠BCH = 45° + ∠BCH，
∠CDB = ∠BDN + ∠CDN = 45° + ∠CDN，
∴∠CDB = ∠DHC，
∴CD = CH。