1. 矩形:有一个角是
直角
的平行四边形叫作矩形,矩形也叫长方形
.答案：1. 直角 长方形
2. 矩形的性质:(1)矩形是特殊的
平行
四边形,具有平行
四边形的一切性质; (2)矩形的对角线互相平分且相等
,四个角都是直角
;(3)矩形既是中心
对称图形,又是轴
对称图形.答案：2. (1)平行 平行 (2)互相平分且相等 直角 (3)中心 轴
1. 矩形不一定具有的性质是(
A.对角线互相平分
B.对角线互相垂直
C.对角线相等
D.是轴对称图形
B
)A.对角线互相平分
B.对角线互相垂直
C.对角线相等
D.是轴对称图形
答案：1. B
2. 在矩形 $ABCD$ 中,对角线 $AC,BD$ 相交于点 $O$,下列结论不一定成立的是(
A.$∠ ABC = 90^{\circ}$
B.$AC = BD$
C.$AB = CD$
D.$OA = AB$
D
)A.$∠ ABC = 90^{\circ}$
B.$AC = BD$
C.$AB = CD$
D.$OA = AB$
答案：2. D
3. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,对角线 $AC,BD$ 相交于点 $O$,若 $∠ ACB = 30^{\circ},AB = 3$,则 $BD$ 的长为
6
.答案：3. 6
解析：
解：在矩形$ABCD$中，$∠ ABC = 90^{\circ}$，$AC = BD$。
因为$∠ ACB = 30^{\circ}$，$AB = 3$，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB = 30^{\circ}$，所以$AC = 2AB = 2×3 = 6$。
故$BD = AC = 6$。
6
因为$∠ ACB = 30^{\circ}$，$AB = 3$，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB = 30^{\circ}$，所以$AC = 2AB = 2×3 = 6$。
故$BD = AC = 6$。
6
4. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,对角线 $AC,BD$ 相交于点 $O,DE⊥ AC$,垂足为 $E,∠ DCE:∠ BCE = 3:1$,则 $∠ AOB=\_\_\_\_\_\_^{\circ}$.
答案：4. 45
解析：
解：
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$∠ BCD=90°$，$AC=BD$，$OC=\frac{1}{2}AC$，$OD=\frac{1}{2}BD$，
∴$OC=OD$，$∠ OCD=∠ ODC$。
∵$∠ DCE:∠ BCE=3:1$，设$∠ BCE=x$，则$∠ DCE=3x$，
∴$x+3x=90°$，解得$x=22.5°$，$∠ DCE=67.5°$。
∵$DE⊥ AC$，
∴$∠ DEC=90°$，
∴$∠ CDE=90°-∠ DCE=22.5°$。
∵$∠ ODC=∠ CDE+∠ ODE$，且$∠ ODC=∠ OCD=67.5°$，
∴$∠ ODE=67.5°-22.5°=45°$。
在$△ ODE$中，$∠ DOE=180°-∠ ODE-∠ OED=180°-45°-90°=45°$。
∵$∠ AOB=∠ DOE$（对顶角相等），
∴$∠ AOB=45°$。
$45$
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$∠ BCD=90°$，$AC=BD$，$OC=\frac{1}{2}AC$，$OD=\frac{1}{2}BD$，
∴$OC=OD$，$∠ OCD=∠ ODC$。
∵$∠ DCE:∠ BCE=3:1$，设$∠ BCE=x$，则$∠ DCE=3x$，
∴$x+3x=90°$，解得$x=22.5°$，$∠ DCE=67.5°$。
∵$DE⊥ AC$，
∴$∠ DEC=90°$，
∴$∠ CDE=90°-∠ DCE=22.5°$。
∵$∠ ODC=∠ CDE+∠ ODE$，且$∠ ODC=∠ OCD=67.5°$，
∴$∠ ODE=67.5°-22.5°=45°$。
在$△ ODE$中，$∠ DOE=180°-∠ ODE-∠ OED=180°-45°-90°=45°$。
∵$∠ AOB=∠ DOE$（对顶角相等），
∴$∠ AOB=45°$。
$45$
5. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,$E$ 是 $AD$ 上的一点,$F$ 是 $AB$ 上的一点,$EF⊥ EC$,且 $EF = EC,DE = 4\ \mathrm{cm}$,矩形 $ABCD$ 的周长为 $32\ \mathrm{cm}$,求 $AE$ 的长.
答案：5. 解:
∵四边形 ABCD 是矩形,
∴∠A=∠D=90°.
∵EF⊥CE,
∴∠FEC=90°,
∴∠AEF+∠DEC=90°. 又
∵∠ECD+∠DEC=90°,
∴∠AEF=∠ECD. 在△AEF 和△DCE 中, {∠FAE=∠EDC, ∠AEF=∠DCE, EF=CE,
∴△AEF≌△DCE(AAS),
∴AE=CD.
∵矩形 ABCD 的周长为 32 cm,
∴2(AE+ED+DC)=32 cm, 即 2(2AE+4)=32 cm, 解得 AE=6 cm.
∵四边形 ABCD 是矩形,
∴∠A=∠D=90°.
∵EF⊥CE,
∴∠FEC=90°,
∴∠AEF+∠DEC=90°. 又
∵∠ECD+∠DEC=90°,
∴∠AEF=∠ECD. 在△AEF 和△DCE 中, {∠FAE=∠EDC, ∠AEF=∠DCE, EF=CE,
∴△AEF≌△DCE(AAS),
∴AE=CD.
∵矩形 ABCD 的周长为 32 cm,
∴2(AE+ED+DC)=32 cm, 即 2(2AE+4)=32 cm, 解得 AE=6 cm.
6. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,点 $M$ 在边 $DC$ 上,$AM = AB$,且 $BN⊥ AM$,垂足为 $N$.
(1)求证:$AN = DM$;
(2)若 $AD = 3,AN = 4$,求矩形 $ABCD$ 的面积.
(1)求证:$AN = DM$;
(2)若 $AD = 3,AN = 4$,求矩形 $ABCD$ 的面积.
答案：(2)解:
∵△ABN≌△MAD,
∴BN=AD.
∵AD=3,
∴BN=3.
∵BN⊥AM, AN=4,
∴$AB=\sqrt{AN^{2}+BN^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5, $
∴$S_{矩形 ABCD}=AD·AB=3×5=15.$
∵△ABN≌△MAD,
∴BN=AD.
∵AD=3,
∴BN=3.
∵BN⊥AM, AN=4,
∴$AB=\sqrt{AN^{2}+BN^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5, $
∴$S_{矩形 ABCD}=AD·AB=3×5=15.$