9. 若关于$x$的分式方程$\frac{x}{x - 3} = 2 - \frac{m}{3 - x}$有增根，则$m$的值为(
A.-3
B.2
C.3
D.不存在
C
)A.-3
B.2
C.3
D.不存在
答案：9. C
解析：
方程两边同乘$x - 3$，得$x = 2(x - 3) + m$。
因为分式方程有增根，所以$x - 3 = 0$，即$x = 3$。
将$x = 3$代入$x = 2(x - 3) + m$，得$3 = 2(3 - 3) + m$，解得$m = 3$。
C
因为分式方程有增根，所以$x - 3 = 0$，即$x = 3$。
将$x = 3$代入$x = 2(x - 3) + m$，得$3 = 2(3 - 3) + m$，解得$m = 3$。
C
10. 如果$m$为整数，那么使分式$\frac{2m + 2}{m^2 + 2m + 1}$的值为整数的$m$的值有(
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
C
)A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案：10. C
解析：
$\frac{2m + 2}{m^2 + 2m + 1} = \frac{2(m + 1)}{(m + 1)^2} = \frac{2}{m + 1}$，$m + 1$为$2$的因数，$m + 1 = \pm1,\pm2$，解得$m = 0,-2,1,-3$，共$4$个值。
C
C
二、填空题(每小题3分，共24分)
11. 填空：$\frac{x}{x^2 - xy} = \frac{1}{( )}$，$\frac{-x + y}{-x - y} = -\frac{( )}{x + y}$.
11. 填空：$\frac{x}{x^2 - xy} = \frac{1}{( )}$，$\frac{-x + y}{-x - y} = -\frac{( )}{x + y}$.
答案：11. $ x - y $ $ - x + y $
12. (2024·盐城)若$\frac{1}{x - 1}$有意义，则$x$的取值范围是
$ x ≠ 1 $
.答案：12. $ x ≠ 1 $
解析：
$x ≠ 1$
13. 分式$\frac{1}{x^2 - y^2}$与$\frac{1}{x^2 + xy}$的最简公分母为
$ x ( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) $
.答案：13. $ x ( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) $
14. 当$x$满足
$ x ＜ 2 $ 且 $ x ≠ 1 $
时，分式$\frac{x^2 - 2x + 1}{x - 2}$的值为负数.答案：14. $ x ＜ 2 $ 且 $ x ≠ 1 $
解析：
$x ＜ 2$且$x ≠ 1$
15. 若关于$x$的分式方程$\frac{a - 2}{x - 3} = \frac{5x}{x - 3} + 1$有增根，则$a$的值为
17
.答案：15. 17
解析：
解：方程两边同乘$x - 3$，得$a - 2 = 5x + (x - 3)$。
因为分式方程有增根，所以$x - 3 = 0$，即$x = 3$。
将$x = 3$代入$a - 2 = 5x + (x - 3)$，得$a - 2 = 5×3 + (3 - 3)$，解得$a = 17$。
17
因为分式方程有增根，所以$x - 3 = 0$，即$x = 3$。
将$x = 3$代入$a - 2 = 5x + (x - 3)$，得$a - 2 = 5×3 + (3 - 3)$，解得$a = 17$。
17
16. 关于$x$的分式方程$\frac{1}{x - 2} + 2 = \frac{k - 1}{x - 2}$的解为正实数，则$k$的取值范围是
$ k ＞ - 2 $ 且 $ k ≠ 2 $
.答案：16. $ k ＞ - 2 $ 且 $ k ≠ 2 $
解析：
解：方程两边同乘$x - 2$，得$1 + 2(x - 2) = k - 1$，
解得$x = \frac{k + 2}{2}$。
因为解为正实数，所以$\frac{k + 2}{2} ＞ 0$，解得$k ＞ - 2$。
又因为$x - 2 ≠ 0$，即$\frac{k + 2}{2} - 2 ≠ 0$，解得$k ≠ 2$。
综上，$k$的取值范围是$k ＞ - 2$且$k ≠ 2$。
解得$x = \frac{k + 2}{2}$。
因为解为正实数，所以$\frac{k + 2}{2} ＞ 0$，解得$k ＞ - 2$。
又因为$x - 2 ≠ 0$，即$\frac{k + 2}{2} - 2 ≠ 0$，解得$k ≠ 2$。
综上，$k$的取值范围是$k ＞ - 2$且$k ≠ 2$。
17. 已知$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{1}{3}$，则$\frac{ab}{a - b}$的值是
$ - 3 $
.答案：17. $ - 3 $
解析：
解：由$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{1}{3}$，通分得$\frac{b - a}{ab} = \frac{1}{3}$，即$\frac{-(a - b)}{ab} = \frac{1}{3}$，两边取倒数得$\frac{ab}{a - b} = -3$。
$-3$
$-3$
18. 若关于$x$的方程$\frac{ax}{x - 2} = \frac{4}{x - 2} + 1$无解，则$a$的值是
2 或 1
.答案：18. 2 或 1
解析：
解：方程两边同乘$x - 2$，得$ax = 4 + x - 2$，整理得$(a - 1)x = 2$。
当$a - 1 = 0$，即$a = 1$时，方程无解。
当$a - 1 ≠ 0$时，$x = \frac{2}{a - 1}$。若原方程无解，则$x - 2 = 0$，即$x = 2$，所以$\frac{2}{a - 1} = 2$，解得$a = 2$。
综上，$a$的值是$2$或$1$。
当$a - 1 = 0$，即$a = 1$时，方程无解。
当$a - 1 ≠ 0$时，$x = \frac{2}{a - 1}$。若原方程无解，则$x - 2 = 0$，即$x = 2$，所以$\frac{2}{a - 1} = 2$，解得$a = 2$。
综上，$a$的值是$2$或$1$。
三、解答题（共56分）
19. (8分)计算：
(1)$\frac{m}{m + n} + \frac{n}{m + n} + \frac{m^2}{n^2 - m^2}$；
(2)$(2xy - 2x^2) ÷ \frac{x - y}{xy}$.
19. (8分)计算：
(1)$\frac{m}{m + n} + \frac{n}{m + n} + \frac{m^2}{n^2 - m^2}$；
(2)$(2xy - 2x^2) ÷ \frac{x - y}{xy}$.
答案：19. 解：(1)原式$ = \frac { m + n } { m + n } + \frac { m ^ { 2 } } { n ^ { 2 } - m ^ { 2 } } = 1 + \frac { m ^ { 2 } } { n ^ { 2 } - m ^ { 2 } } = \frac { n ^ { 2 } - m ^ { 2 } + m ^ { 2 } } { n ^ { 2 } - m ^ { 2 } } = \frac { n ^ { 2 } } { n ^ { 2 } - m ^ { 2 } } $
(2)原式$ = - 2 x ( x - y ) · \frac { x y } { x - y } = - 2 x ^ { 2 } y $
(2)原式$ = - 2 x ( x - y ) · \frac { x y } { x - y } = - 2 x ^ { 2 } y $
20. (8分)解方程：
(1)$\frac{5 - x}{x - 4} + \frac{1}{4 - x} = 1$；
(2)$\frac{x}{x - 2} - 1 = \frac{4}{x^2 - 4x + 4}$.
(1)$\frac{5 - x}{x - 4} + \frac{1}{4 - x} = 1$；
(2)$\frac{x}{x - 2} - 1 = \frac{4}{x^2 - 4x + 4}$.
答案：20. 解：(1)方程两边同乘$ ( x - 4 ) $，得$ 5 - x - 1 = x - 4 $，
解得$ x = 4 $
检验：当$ x = 4 $时，$ x - 4 = 0 $，$ x = 4 $是增根，分式方程无解。
(2)方程两边同乘$ ( x - 2 ) ^ { 2 } $，得$ x ( x - 2 ) - ( x - 2 ) ^ { 2 } = 4 $，
解得$ x = 4 $
检验：当$ x = 4 $时，$ ( x - 2 ) ^ { 2 } ≠ 0 $
所以原方程的解为$ x = 4 $
解得$ x = 4 $
检验：当$ x = 4 $时，$ x - 4 = 0 $，$ x = 4 $是增根，分式方程无解。
(2)方程两边同乘$ ( x - 2 ) ^ { 2 } $，得$ x ( x - 2 ) - ( x - 2 ) ^ { 2 } = 4 $，
解得$ x = 4 $
检验：当$ x = 4 $时，$ ( x - 2 ) ^ { 2 } ≠ 0 $
所以原方程的解为$ x = 4 $