典例2 新素养 应用意识 甲与乙一起设计了一个游戏：如图是$A$，$B$两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，同时转动两个转盘，转盘停止后，若两个指针指向的数字之积小于4，则甲胜，否则乙胜(指针指向分界线时重转). 这个游戏对双方是否公平？请说明理由. 如果该游戏对双方不公平，请你设计一种对双方公平的游戏规则.
答案：这个游戏对双方不公平，理由及修改后的规则如下：
画树状图：
A转盘指针指向的数字有4种情况（1, 2, 3, 4），对应B转盘指针指向的数字均为3种情况（1, 2, 3）。
共有 $4 × 3 = 12$ 种等可能结果，分别是：
$1 × 1 = 1, 1 × 2 = 2, 1 × 3 = 3$，
$2 × 1 = 2, 2 × 2 = 4, 2 × 3 = 6$，
$3 × 1 = 3, 3 × 2 = 6, 3 × 3 = 9$，
$4 × 1 = 4, 4 × 2 = 8, 4 × 3 = 12$。
其中积小于4的结果有5种，不小于4的结果有7种。
计算概率：
甲胜的概率 $P(甲胜) = \frac{5}{12}$，
乙胜的概率 $P(乙胜) = \frac{7}{12}$。
由于 $P(甲胜) \neq P(乙胜)$，游戏对双方不公平。
修改规则：
若两个指针指向的数字之积小于4，则甲胜；
若两个指针指向的数字之积大于4，则乙胜。
画树状图：
A转盘指针指向的数字有4种情况（1, 2, 3, 4），对应B转盘指针指向的数字均为3种情况（1, 2, 3）。
共有 $4 × 3 = 12$ 种等可能结果，分别是：
$1 × 1 = 1, 1 × 2 = 2, 1 × 3 = 3$，
$2 × 1 = 2, 2 × 2 = 4, 2 × 3 = 6$，
$3 × 1 = 3, 3 × 2 = 6, 3 × 3 = 9$，
$4 × 1 = 4, 4 × 2 = 8, 4 × 3 = 12$。
其中积小于4的结果有5种，不小于4的结果有7种。
计算概率：
甲胜的概率 $P(甲胜) = \frac{5}{12}$，
乙胜的概率 $P(乙胜) = \frac{7}{12}$。
由于 $P(甲胜) \neq P(乙胜)$，游戏对双方不公平。
修改规则：
若两个指针指向的数字之积小于4，则甲胜；
若两个指针指向的数字之积大于4，则乙胜。
【变式2】(2025·江苏连云港模拟)如图，小颖制作了一个质地均匀且可以自由转动的转盘，转盘被等分为四个扇形，上面分别标有数字$-1$，0，1，2. 小轩、小亮用该转盘做游戏. 小轩先转动一次转盘，停止后记录下指针所指数字作为平面直角坐标系中点$H$的横坐标，然后小亮转动一次转盘，停止后记录下指针所指数字作为点$H$的纵坐标. 若点$H$恰好落在第二象限或第四象限，则小轩胜；否则小亮胜. 判断该游戏对双方是否公平，并说明理由. 如果该游戏对双方不公平，请你设计一种对双方公平的游戏规则.
答案：
【变式2】这个游戏对双方不公平. 理由如下：列表
如下：
由表格可知，共有16种等可能的结果，其中点H恰好落在第二象限或第四象限的结果有4种，其他结果有12种，所以P(小轩胜$)=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}，$P(小亮胜$)=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}. $因为P(小轩胜$)\neq P($小亮胜)，所以该游戏对双方不公平. 设计游戏规则不唯一，如：若点H恰好落在第二象限或第四象限，则小轩得3分，否则小亮得1分，得分高者获胜.
【变式2】这个游戏对双方不公平. 理由如下：列表
如下：
由表格可知，共有16种等可能的结果，其中点H恰好落在第二象限或第四象限的结果有4种，其他结果有12种，所以P(小轩胜$)=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}，$P(小亮胜$)=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}. $因为P(小轩胜$)\neq P($小亮胜)，所以该游戏对双方不公平. 设计游戏规则不唯一，如：若点H恰好落在第二象限或第四象限，则小轩得3分，否则小亮得1分，得分高者获胜.