1. 项目化学习 根据表中的素材，探索完成任务。
问题解决：
任务1：三个商场同时出售一件标价为290元的上衣和一条标价为270元的裤子，王阿姨想买这一套衣服，她应该选择哪家商场？
任务2：黄先生发现在甲、乙商场同时出售一件标价为380元的上衣和一条标价为300多元的裤子，在两家商场购买这一套衣服实际的付款额也一样，问：这条裤子的标价为多少元？
问题解决：
任务1：三个商场同时出售一件标价为290元的上衣和一条标价为270元的裤子，王阿姨想买这一套衣服，她应该选择哪家商场？
任务2：黄先生发现在甲、乙商场同时出售一件标价为380元的上衣和一条标价为300多元的裤子，在两家商场购买这一套衣服实际的付款额也一样，问：这条裤子的标价为多少元？
答案：1. 任务1:甲商场:$(290 + 270)×0.6 = 336$(元)
乙商场:$290÷100 = 2.9$，$290 + (270 - 100×2) = 360$(元)
丙商场:$290 + 270 = 560$(元)，$560÷100 = 5······60$，$560 - 50×5 = 310$(元)
$310＜336＜360$，应选择丙商场。
任务2:解:设这条裤子的标价为$x$元。$(380 + x)×0.6 = 380 + x - 300$，$x = 370$
提示:任务1可根据三个商场不同的促销方案解得。甲商场:上衣和裤子的总价×0.6；乙商场:将买上衣获得的购物券用来买裤子，因为290元中有2.9个100元，所以可以抵扣$100×2 = 200$(元)；丙商场:先求出上衣和裤子的总价，看看其中有多少个100元，再求出可以抵扣的价钱，最后比较三家商场的购物总价即可。任务2先设出裤子的价钱，再分别列出在甲、乙商场购买这一套衣服实际的付款额，解方程即可。
乙商场:$290÷100 = 2.9$，$290 + (270 - 100×2) = 360$(元)
丙商场:$290 + 270 = 560$(元)，$560÷100 = 5······60$，$560 - 50×5 = 310$(元)
$310＜336＜360$，应选择丙商场。
任务2:解:设这条裤子的标价为$x$元。$(380 + x)×0.6 = 380 + x - 300$，$x = 370$
提示:任务1可根据三个商场不同的促销方案解得。甲商场:上衣和裤子的总价×0.6；乙商场:将买上衣获得的购物券用来买裤子，因为290元中有2.9个100元，所以可以抵扣$100×2 = 200$(元)；丙商场:先求出上衣和裤子的总价，看看其中有多少个100元，再求出可以抵扣的价钱，最后比较三家商场的购物总价即可。任务2先设出裤子的价钱，再分别列出在甲、乙商场购买这一套衣服实际的付款额，解方程即可。
2. 推导证明问题 思考：一个真分数的分子和分母同时加上一个相同的非零自然数，分数的大小会改变吗？若用字母表示这两个分数，请尝试比较$\boldsymbol{\frac{x}{y}}$和$\boldsymbol{\frac{x+m}{y+m}}$的大小($0＜x＜y$，$m≠0$)。
(1)$\frac{3}{7}$的分子、分母同时加上2后是$\frac{5}{9}$，那么$\frac{3}{7}$$\boldsymbol{◯}$$\frac{5}{9}$(填“＞”“＜”或“=”)。
(2)我会举例验证(至少写3个)：
(3)我的结论：
(4)我的联想(猜想)：
举例验证我的联想：
验证后，联想(猜想)结论是否正确：
(1)$\frac{3}{7}$的分子、分母同时加上2后是$\frac{5}{9}$，那么$\frac{3}{7}$$\boldsymbol{◯}$$\frac{5}{9}$(填“＞”“＜”或“=”)。
(2)我会举例验证(至少写3个)：
$\dfrac{1}{2}＜\dfrac{1 + 1}{2 + 1} = \dfrac{2}{3}$，$\dfrac{2}{3}＜\dfrac{2 + 1}{3 + 1} = \dfrac{3}{4}$，$\dfrac{5}{6}＜\dfrac{5 + 1}{6 + 1} = \dfrac{6}{7}$(答案不唯一)
。(3)我的结论：
一个真分数的分子和分母同时加上一个相同的非零自然数，分数会变大
。(4)我的联想(猜想)：
一个假分数的分子和分母同时加上一个相同的非零自然数，分数会变小。
。举例验证我的联想：
$\dfrac{4}{3}＞\dfrac{4 + 1}{3 + 1} = \dfrac{5}{4}$，$\dfrac{7}{6}＞\dfrac{7 + 1}{6 + 1} = \dfrac{8}{7}$，$\dfrac{9}{8}＞\dfrac{9 + 1}{8 + 1} = \dfrac{10}{9}$(答案不唯一)
。验证后，联想(猜想)结论是否正确：
正确
。答案：2. (1)$＜$
(2)$\dfrac{1}{2}＜\dfrac{1 + 1}{2 + 1} = \dfrac{2}{3}$，$\dfrac{2}{3}＜\dfrac{2 + 1}{3 + 1} = \dfrac{3}{4}$，$\dfrac{5}{6}＜\dfrac{5 + 1}{6 + 1} = \dfrac{6}{7}$(答案不唯一)
(3)一个真分数的分子和分母同时加上一个相同的非零自然数，分数会变大
(4)一个假分数的分子和分母同时加上一个相同的非零自然数，分数会变小。$\dfrac{4}{3}＞\dfrac{4 + 1}{3 + 1} = \dfrac{5}{4}$，$\dfrac{7}{6}＞\dfrac{7 + 1}{6 + 1} = \dfrac{8}{7}$，$\dfrac{9}{8}＞\dfrac{9 + 1}{8 + 1} = \dfrac{10}{9}$(答案不唯一)，正确
提示:(1)根据题意，$\dfrac{3}{7}$的分子、分母同时加上2后是$\dfrac{5}{9}$，可得$\dfrac{3}{7}＜\dfrac{5}{9}$。(2)可以依据题意进行举例。(3)根据举例可得结论:一个真分数的分子和分母同时加上一个相同的非零自然数，分数会变大。(4)根据真分数可联想假分数:一个假分数的分子和分母同时加上一个相同的非零自然数，分数会变小。通过验证:$\dfrac{4}{3}＞\dfrac{4 + 1}{3 + 1} = \dfrac{5}{4}$；$\dfrac{7}{6}＞\dfrac{7 + 1}{6 + 1} = \dfrac{8}{7}$；$\dfrac{9}{8}＞\dfrac{9 + 1}{8 + 1} = \dfrac{10}{9}$，联想是正确的。
(2)$\dfrac{1}{2}＜\dfrac{1 + 1}{2 + 1} = \dfrac{2}{3}$，$\dfrac{2}{3}＜\dfrac{2 + 1}{3 + 1} = \dfrac{3}{4}$，$\dfrac{5}{6}＜\dfrac{5 + 1}{6 + 1} = \dfrac{6}{7}$(答案不唯一)
(3)一个真分数的分子和分母同时加上一个相同的非零自然数，分数会变大
(4)一个假分数的分子和分母同时加上一个相同的非零自然数，分数会变小。$\dfrac{4}{3}＞\dfrac{4 + 1}{3 + 1} = \dfrac{5}{4}$，$\dfrac{7}{6}＞\dfrac{7 + 1}{6 + 1} = \dfrac{8}{7}$，$\dfrac{9}{8}＞\dfrac{9 + 1}{8 + 1} = \dfrac{10}{9}$(答案不唯一)，正确
提示:(1)根据题意，$\dfrac{3}{7}$的分子、分母同时加上2后是$\dfrac{5}{9}$，可得$\dfrac{3}{7}＜\dfrac{5}{9}$。(2)可以依据题意进行举例。(3)根据举例可得结论:一个真分数的分子和分母同时加上一个相同的非零自然数，分数会变大。(4)根据真分数可联想假分数:一个假分数的分子和分母同时加上一个相同的非零自然数，分数会变小。通过验证:$\dfrac{4}{3}＞\dfrac{4 + 1}{3 + 1} = \dfrac{5}{4}$；$\dfrac{7}{6}＞\dfrac{7 + 1}{6 + 1} = \dfrac{8}{7}$；$\dfrac{9}{8}＞\dfrac{9 + 1}{8 + 1} = \dfrac{10}{9}$，联想是正确的。
3. 动点问题 如图，AB是圆O的一条直径，且AB=10厘米。C是圆O上一点，CD是三角形ABC的一条高。
(1)三角形ABC的面积最大是多少平方厘米？此时三角形ABC的形状是什么样的？
(2)假设点D从点A出发，在AB上匀速移动，那么符合点A和点C之间弧的长度变化的图像是(
A. B. C. D.
(1)三角形ABC的面积最大是多少平方厘米？此时三角形ABC的形状是什么样的？
(2)假设点D从点A出发，在AB上匀速移动，那么符合点A和点C之间弧的长度变化的图像是(
A
)。A. B. C. D.
答案：3. (1)$10×(10÷2)÷2 = 25$(平方厘米)，此时三角形$ABC$是等腰直角三角形。
提示:$AB$的长一定，则三角形的高最大时面积最大，即三角形$ABC$为等腰直角三角形，底是10厘米，高是$10÷2 = 5$(厘米)时，三角形$ABC$的面积最大，根据三角形的面积计算公式计算面积即可。
(2)A
提示:当点$D$在点$A$处时，弧长为0；当点$D$在点$O$处时，弧长为圆周长的$\dfrac{1}{4}$；当点$D$在点$B$处时，弧长为圆周长的$\dfrac{1}{2}$；当点$D$到圆心之前，弧长的变化速度由快到慢，当点$D$过圆心后又由慢到快，符合的图像是A。
提示:$AB$的长一定，则三角形的高最大时面积最大，即三角形$ABC$为等腰直角三角形，底是10厘米，高是$10÷2 = 5$(厘米)时，三角形$ABC$的面积最大，根据三角形的面积计算公式计算面积即可。
(2)A
提示:当点$D$在点$A$处时，弧长为0；当点$D$在点$O$处时，弧长为圆周长的$\dfrac{1}{4}$；当点$D$在点$B$处时，弧长为圆周长的$\dfrac{1}{2}$；当点$D$到圆心之前，弧长的变化速度由快到慢，当点$D$过圆心后又由慢到快，符合的图像是A。