4. 新定义运算 定义：关于x的方程$ax-b=0$与方程$bx-a=0$(a、b均不等于0)互为“相反方程”，例如方程$2x-1=0$与方程$x-2=0$互为“相反方程”。
(1)若关于x的方程①$5x-p-2=0$的解是$x=2$，则与方程①互为“相反方程”的方程的解是(
(2)若关于x的方程$4x-b-1=0$与其“相反方程”的解都是整数，则$b=$(
数学思想 降维 学思想，锻炼思维品质
(1)若关于x的方程①$5x-p-2=0$的解是$x=2$，则与方程①互为“相反方程”的方程的解是(
$x = 0.5$
)。(2)若关于x的方程$4x-b-1=0$与其“相反方程”的解都是整数，则$b=$(
3
)。数学思想 降维 学思想，锻炼思维品质
答案：4. (1)$x = 0.5$
(2)3
提示:(1)若$x = 2$，则$p = 8$，则方程①为$5x - 10 = 0$，它的“相反方程”为$10x - 5 = 0$，求出$x = 0.5$。(2)因为方程$4x - b - 1 = 0$的解是整数，所以$b$是整数且大于或等于3，其“相反方程”$(b + 1)x - 4 = 0$的解是整数，此时$b + 1 = 4$，因此$b = 3$。(今后的学习中还会涉及负数的情况，此时只考虑大于0的整数)
(2)3
提示:(1)若$x = 2$，则$p = 8$，则方程①为$5x - 10 = 0$，它的“相反方程”为$10x - 5 = 0$，求出$x = 0.5$。(2)因为方程$4x - b - 1 = 0$的解是整数，所以$b$是整数且大于或等于3，其“相反方程”$(b + 1)x - 4 = 0$的解是整数，此时$b + 1 = 4$，因此$b = 3$。(今后的学习中还会涉及负数的情况，此时只考虑大于0的整数)
5. 转化思想
直线a、b互相平行，一个平面图形位于这组平行线间的部分，可以转化成和它面积相等的长方形。当这个长方形的长是2米时，它的宽称为这个圆在直线a、b间部分的“等面积宽”。例如：如图，圆的半径是1米，它的右半圆位于直线a、b间，右半圆的面积(π取3)：
$1×1×3÷2=1.5$(平方米)
这个圆在直线a、b间部分的“等面积宽”：
$1.5÷2=0.75$(米)
根据以上描述，解答下面问题(π取3)。
(1)一个半径是1.2米的半圆形(如图)，位于互相平行的直线a、b间的部分面积是多少平方米？这部分的“等面积宽”是多少米？
(2)一个直径是1米的圆(如图)，以每秒1米的速度向右平移进入互相平行的直线a、b内，这个圆的“等面积宽”最大是多少米？
直线a、b互相平行，一个平面图形位于这组平行线间的部分，可以转化成和它面积相等的长方形。当这个长方形的长是2米时，它的宽称为这个圆在直线a、b间部分的“等面积宽”。例如：如图，圆的半径是1米，它的右半圆位于直线a、b间，右半圆的面积(π取3)：
$1×1×3÷2=1.5$(平方米)
这个圆在直线a、b间部分的“等面积宽”：
$1.5÷2=0.75$(米)
根据以上描述，解答下面问题(π取3)。
(1)一个半径是1.2米的半圆形(如图)，位于互相平行的直线a、b间的部分面积是多少平方米？这部分的“等面积宽”是多少米？
(2)一个直径是1米的圆(如图)，以每秒1米的速度向右平移进入互相平行的直线a、b内，这个圆的“等面积宽”最大是多少米？
答案：5. (1)$1.2×1.2×3÷4 = 1.08$(平方米)，$1.08÷2 = 0.54$(米)
(2)$(1÷2)²×3÷2 = 0.375$(米)
提示:(1)位于互相平行的直线$a$、$b$间的部分是半径为1.2米的圆面积的$\dfrac{1}{4}$，求这部分的“等面积宽”用面积除以2米即可。(2)整个圆在互相平行的直线$a$、$b$内时，用圆的面积除以2米，就得到直径是1米的圆的最大的“等面积宽”。
(2)$(1÷2)²×3÷2 = 0.375$(米)
提示:(1)位于互相平行的直线$a$、$b$间的部分是半径为1.2米的圆面积的$\dfrac{1}{4}$，求这部分的“等面积宽”用面积除以2米即可。(2)整个圆在互相平行的直线$a$、$b$内时，用圆的面积除以2米，就得到直径是1米的圆的最大的“等面积宽”。
6. 数形结合 在$\boldsymbol{□}$里填合适的整数。
$\frac{1}{□}+\frac{1}{□}+\frac{1}{□}=1$，可以借助钟面来思考。
(1)小凯写的答案是$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1$，他画的是(
(2)写出(1)中另外三个钟面表示的算式：
$\frac{1}{□}+\frac{1}{□}+\frac{1}{□}=1$，可以借助钟面来思考。
(1)小凯写的答案是$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1$，他画的是(
D
)钟面。(2)写出(1)中另外三个钟面表示的算式：
A:$\dfrac{5}{12} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} = 1$；B:$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = 1$；C:$\dfrac{1}{6} + \dfrac{5}{12} + \dfrac{5}{12} = 1$
。答案：6. (1)D
提示:观察题干等式，结合题干图形，可以这样理解:把整个钟面看作一个整体，连接钟面上的数“6”和数“12”对应的点，将钟面平均分成2份，其中的一份是整个钟面的$\dfrac{1}{2}$；将钟面平均分成3份，其中数“8”、数“12”和中心点连接所包含的范围占整个钟面的$\dfrac{1}{3}$；将钟面平均分成6份，其中数“6”、数“8”和中心点连接所包含的范围占整个钟面的$\dfrac{1}{6}$，三个部分合起来是整个钟面，即$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = 1$，故选D。
(2)A:$\dfrac{5}{12} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} = 1$；B:$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = 1$；C:$\dfrac{1}{6} + \dfrac{5}{12} + \dfrac{5}{12} = 1$
提示:根据第(1)题中对钟面的划分方法计算。
提示:观察题干等式，结合题干图形，可以这样理解:把整个钟面看作一个整体，连接钟面上的数“6”和数“12”对应的点，将钟面平均分成2份，其中的一份是整个钟面的$\dfrac{1}{2}$；将钟面平均分成3份，其中数“8”、数“12”和中心点连接所包含的范围占整个钟面的$\dfrac{1}{3}$；将钟面平均分成6份，其中数“6”、数“8”和中心点连接所包含的范围占整个钟面的$\dfrac{1}{6}$，三个部分合起来是整个钟面，即$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = 1$，故选D。
(2)A:$\dfrac{5}{12} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} = 1$；B:$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = 1$；C:$\dfrac{1}{6} + \dfrac{5}{12} + \dfrac{5}{12} = 1$
提示:根据第(1)题中对钟面的划分方法计算。
7. 知识迁移 两个图形的重合度=重合面积÷(两个图形的面积和-重合面积)。
例如：如图中小圆的面积是4平方厘米，大圆的面积是9平方厘米，重合部分的面积是2平方厘米。大小两个圆的重合度是$2÷(4+9-2)=\frac{2}{11}$。
根据以上描述解答下面问题(π取3)。
(1)一个正方形和一个圆摆放在一起，有很多种摆法。小莹摆出了如图的三种。
正方形的边长是8厘米；图①中正方形和圆的重合度是(
(2)有两个圆，半径分别是1厘米和2厘米，这两个圆的重合度最大是(
例如：如图中小圆的面积是4平方厘米，大圆的面积是9平方厘米，重合部分的面积是2平方厘米。大小两个圆的重合度是$2÷(4+9-2)=\frac{2}{11}$。
根据以上描述解答下面问题(π取3)。
(1)一个正方形和一个圆摆放在一起，有很多种摆法。小莹摆出了如图的三种。
正方形的边长是8厘米；图①中正方形和圆的重合度是(
$\dfrac{3}{11}$
)；如图的三幅图中，正方形和圆的重合度最大的是图(②
)，重合度最小的是图(③
)。(2)有两个圆，半径分别是1厘米和2厘米，这两个圆的重合度最大是(
$\dfrac{1}{4}$
)。答案：7. (1)$\dfrac{3}{11}$，②，③
提示:题图①的重合面积:$3×(8÷2)²÷2 = 24$(平方厘米)，面积和:$3×(8÷2)² + 8×8 = 112$(平方厘米)，重合度:$24÷(112 - 24) = \dfrac{3}{11}$。题图②的重合面积最大，两个图形的面积和与重合面积的差最小，重合度最大；题图③的重合面积最小，两个图形的面积和与重合面积的差最大，重合度最小。
(2)$\dfrac{1}{4}$
提示:当小圆在大圆内时，两个圆的重合度最大。此时重合面积$=π$平方厘米，面积和$=π + 4π = 5π$(平方厘米)，重合度:$π÷(5π - π) = \dfrac{1}{4}$。
提示:题图①的重合面积:$3×(8÷2)²÷2 = 24$(平方厘米)，面积和:$3×(8÷2)² + 8×8 = 112$(平方厘米)，重合度:$24÷(112 - 24) = \dfrac{3}{11}$。题图②的重合面积最大，两个图形的面积和与重合面积的差最小，重合度最大；题图③的重合面积最小，两个图形的面积和与重合面积的差最大，重合度最小。
(2)$\dfrac{1}{4}$
提示:当小圆在大圆内时，两个圆的重合度最大。此时重合面积$=π$平方厘米，面积和$=π + 4π = 5π$(平方厘米)，重合度:$π÷(5π - π) = \dfrac{1}{4}$。