8. 归纳法 阅读材料，探索应用。
(1)问题：将两个真分数的分母与分母相加，分子与分子相加，就得到一个新的分数，这个新的分数称为两个真分数的“合成分数”，这个“合成分数”与原来两个真分数的大小关系是怎样的？
例如：两个真分数分别为$\frac{1}{2}$、$\frac{2}{3}$，
它们的“合成分数”是$\frac{1+2}{2+3}=\frac{3}{5}$，
三个分数的大小关系是：
(
(2)发现：再多举几个例子，看是否有相同的规律：
我发现：
(3)应用：请用上面发现的规律解决问题。
请找出两个比$\frac{2}{105}$大且比$\frac{5}{87}$小的分数。
(1)问题：将两个真分数的分母与分母相加，分子与分子相加，就得到一个新的分数，这个新的分数称为两个真分数的“合成分数”，这个“合成分数”与原来两个真分数的大小关系是怎样的？
例如：两个真分数分别为$\frac{1}{2}$、$\frac{2}{3}$，
它们的“合成分数”是$\frac{1+2}{2+3}=\frac{3}{5}$，
三个分数的大小关系是：
(
$\dfrac{1}{2}$
)＜($\dfrac{3}{5}$
)＜($\dfrac{2}{3}$
)(2)发现：再多举几个例子，看是否有相同的规律：
我发现：
(3)应用：请用上面发现的规律解决问题。
请找出两个比$\frac{2}{105}$大且比$\frac{5}{87}$小的分数。
答案：8. (1)$\dfrac{1}{2}$，$\dfrac{3}{5}$，$\dfrac{2}{3}$
提示:本题考查异分母分数大小的比较，异分母分数大小比较时，可以先通分，使分数转化为分母相同的分数，分母相同，分子大的分数大。$\dfrac{1}{2} = \dfrac{1×15}{2×15} = \dfrac{15}{30}$，$\dfrac{3}{5} = \dfrac{3×6}{5×6} = \dfrac{18}{30}$，$\dfrac{2}{3} = \dfrac{2×10}{3×10} = \dfrac{20}{30}$，$\dfrac{15}{30}＜\dfrac{18}{30}＜\dfrac{20}{30}$，则$\dfrac{1}{2}＜\dfrac{3}{5}＜\dfrac{2}{3}$。
(2)$\dfrac{1}{2}$，$\dfrac{4}{9}$，$\dfrac{1}{2}$，$\dfrac{3}{5}$，$\dfrac{7}{9}$，$\dfrac{2}{3}$，$\dfrac{7}{9}$，$\dfrac{5}{6}$
“合成分数”的大小介于原来两个真分数之间。
提示:由(1)可得$\dfrac{4}{9}$与$\dfrac{3}{5}$的“合成分数”是$\dfrac{4 + 3}{9 + 5} = \dfrac{7}{14} = \dfrac{1}{2}$，异分母分数比较大小时，可以将分数转换成小数，再按小数大小比较的方法比较出分数的大小即可。$\dfrac{4}{9}≈0.44$，$\dfrac{3}{5} = 0.6$，$\dfrac{1}{2} = 0.5$，$0.44＜0.5＜0.6$，则$\dfrac{4}{9}＜\dfrac{1}{2}＜\dfrac{3}{5}$；同理，$\dfrac{2}{3}$与$\dfrac{5}{6}$的“合成分数”是$\dfrac{7}{9}$，$\dfrac{2}{3}≈0.67$，$\dfrac{5}{6}≈0.83$，$\dfrac{7}{9}≈0.78$，$0.67＜0.78＜0.83$，则$\dfrac{2}{3}＜\dfrac{7}{9}＜\dfrac{5}{6}$。综上，可以发现:“合成分数”的大小介于原来两个真分数之间。
(3)答案不唯一，如:$\dfrac{2 + 5}{105 + 87} = \dfrac{7}{192}$，$\dfrac{7 + 5}{192 + 87} = \dfrac{12}{279} = \dfrac{4}{93}$
提示:由(1)可得$\dfrac{2}{105}$与$\dfrac{5}{87}$的“合成分数”为$\dfrac{2 + 5}{105 + 87} = \dfrac{7}{192}$，$\dfrac{7}{192}$与$\dfrac{5}{87}$的“合成分数”为$\dfrac{7 + 5}{192 + 87} = \dfrac{12}{279} = \dfrac{4}{93}$，由(2)可得$\dfrac{2}{105}＜\dfrac{7}{192}＜\dfrac{5}{87}$，$\dfrac{7}{192}＜\dfrac{4}{93}＜\dfrac{5}{87}$，则两个比$\dfrac{2}{105}$大且比$\dfrac{5}{87}$小的分数可以为$\dfrac{7}{192}$和$\dfrac{4}{93}$。
提示:本题考查异分母分数大小的比较，异分母分数大小比较时，可以先通分，使分数转化为分母相同的分数，分母相同，分子大的分数大。$\dfrac{1}{2} = \dfrac{1×15}{2×15} = \dfrac{15}{30}$，$\dfrac{3}{5} = \dfrac{3×6}{5×6} = \dfrac{18}{30}$，$\dfrac{2}{3} = \dfrac{2×10}{3×10} = \dfrac{20}{30}$，$\dfrac{15}{30}＜\dfrac{18}{30}＜\dfrac{20}{30}$，则$\dfrac{1}{2}＜\dfrac{3}{5}＜\dfrac{2}{3}$。
(2)$\dfrac{1}{2}$，$\dfrac{4}{9}$，$\dfrac{1}{2}$，$\dfrac{3}{5}$，$\dfrac{7}{9}$，$\dfrac{2}{3}$，$\dfrac{7}{9}$，$\dfrac{5}{6}$
“合成分数”的大小介于原来两个真分数之间。
提示:由(1)可得$\dfrac{4}{9}$与$\dfrac{3}{5}$的“合成分数”是$\dfrac{4 + 3}{9 + 5} = \dfrac{7}{14} = \dfrac{1}{2}$，异分母分数比较大小时，可以将分数转换成小数，再按小数大小比较的方法比较出分数的大小即可。$\dfrac{4}{9}≈0.44$，$\dfrac{3}{5} = 0.6$，$\dfrac{1}{2} = 0.5$，$0.44＜0.5＜0.6$，则$\dfrac{4}{9}＜\dfrac{1}{2}＜\dfrac{3}{5}$；同理，$\dfrac{2}{3}$与$\dfrac{5}{6}$的“合成分数”是$\dfrac{7}{9}$，$\dfrac{2}{3}≈0.67$，$\dfrac{5}{6}≈0.83$，$\dfrac{7}{9}≈0.78$，$0.67＜0.78＜0.83$，则$\dfrac{2}{3}＜\dfrac{7}{9}＜\dfrac{5}{6}$。综上，可以发现:“合成分数”的大小介于原来两个真分数之间。
(3)答案不唯一，如:$\dfrac{2 + 5}{105 + 87} = \dfrac{7}{192}$，$\dfrac{7 + 5}{192 + 87} = \dfrac{12}{279} = \dfrac{4}{93}$
提示:由(1)可得$\dfrac{2}{105}$与$\dfrac{5}{87}$的“合成分数”为$\dfrac{2 + 5}{105 + 87} = \dfrac{7}{192}$，$\dfrac{7}{192}$与$\dfrac{5}{87}$的“合成分数”为$\dfrac{7 + 5}{192 + 87} = \dfrac{12}{279} = \dfrac{4}{93}$，由(2)可得$\dfrac{2}{105}＜\dfrac{7}{192}＜\dfrac{5}{87}$，$\dfrac{7}{192}＜\dfrac{4}{93}＜\dfrac{5}{87}$，则两个比$\dfrac{2}{105}$大且比$\dfrac{5}{87}$小的分数可以为$\dfrac{7}{192}$和$\dfrac{4}{93}$。
9. 极限思想 19世纪，英国数学家希尔维斯特证明了，如果不允许单位分数重复出现，那么每一个真分数也总可以表示为有限个单位分数之和。
“贪心算法”：每一步都去寻找一个最大的单位分数，以此类推，直到完全拆分为单位分数之和。
例：把$\frac{11}{12}$表示成若干个不同的单位分数之和，并且使这些单位分数尽可能少。
第一步：找出不超过$\frac{11}{12}$的最大单位分数，这个最大单位分数是$\frac{1}{2}$；
第二步：找出不超过$\frac{5}{12}$的最大单位分数，这个最大单位分数是$\frac{1}{3}$。
$\frac{11}{12}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{12}$
根据上面的计算过程，计算：
$\frac{5}{18}=\frac{1}{(\quad)}+\frac{1}{(\quad)}$
$\frac{1}{12}=\frac{1}{(\quad)}+\frac{1}{(\quad)}+\frac{1}{(\quad)}$
“贪心算法”：每一步都去寻找一个最大的单位分数，以此类推，直到完全拆分为单位分数之和。
例：把$\frac{11}{12}$表示成若干个不同的单位分数之和，并且使这些单位分数尽可能少。
第一步：找出不超过$\frac{11}{12}$的最大单位分数，这个最大单位分数是$\frac{1}{2}$；
第二步：找出不超过$\frac{5}{12}$的最大单位分数，这个最大单位分数是$\frac{1}{3}$。
$\frac{11}{12}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{12}$
根据上面的计算过程，计算：
$\frac{5}{18}=\frac{1}{(\quad)}+\frac{1}{(\quad)}$
$\frac{1}{12}=\frac{1}{(\quad)}+\frac{1}{(\quad)}+\frac{1}{(\quad)}$
答案：9. 4，36，13，157，24492
提示:不超过$\dfrac{5}{18}$的最大单位分数是$\dfrac{1}{4}$，剩下的分数是$\dfrac{1}{36}$，正好是一个单位分数，因此可表示为$\dfrac{5}{18} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{36}$；不超过$\dfrac{1}{12}$的最大单位分数是$\dfrac{1}{13}$，相减可得$\dfrac{1}{156}$，不超过$\dfrac{1}{156}$的最大单位分数是$\dfrac{1}{157}$，相减可得$\dfrac{1}{24492}$，因此可以表示为$\dfrac{1}{12} = \dfrac{1}{13} + \dfrac{1}{157} + \dfrac{1}{24492}$。
提示:不超过$\dfrac{5}{18}$的最大单位分数是$\dfrac{1}{4}$，剩下的分数是$\dfrac{1}{36}$，正好是一个单位分数，因此可表示为$\dfrac{5}{18} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{36}$；不超过$\dfrac{1}{12}$的最大单位分数是$\dfrac{1}{13}$，相减可得$\dfrac{1}{156}$，不超过$\dfrac{1}{156}$的最大单位分数是$\dfrac{1}{157}$，相减可得$\dfrac{1}{24492}$，因此可以表示为$\dfrac{1}{12} = \dfrac{1}{13} + \dfrac{1}{157} + \dfrac{1}{24492}$。
10. 集合思想 某班共有50名学生，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有22人，参加英语竞赛的有20人，限定每人最多参加两科。如果参加一科与未参赛的人数一样多，那么参加一科的人数是(
关键能力 降维 练素养，紧扣新版课标
10
)人；参加两科的人数是(30
)人。关键能力 降维 练素养，紧扣新版课标
答案：
10. 10，30
提示:设未参赛的人数为$x$，则参加一科的人数也为$x$，因为每人最多参加两科，所以图中重叠部分的人数为$(28 + 22 + 20 - x)÷2 = (70 - x)÷2$，依据如图得到方程$28 + 22 + 20 - (70 - x)÷2 = 50 - x$，解得$x = 10$，则参加一科的人数是10人，参加两科的人数是$(70 - 10)÷2 = 30$(人)。
10. 10，30
提示:设未参赛的人数为$x$，则参加一科的人数也为$x$，因为每人最多参加两科，所以图中重叠部分的人数为$(28 + 22 + 20 - x)÷2 = (70 - x)÷2$，依据如图得到方程$28 + 22 + 20 - (70 - x)÷2 = 50 - x$，解得$x = 10$，则参加一科的人数是10人，参加两科的人数是$(70 - 10)÷2 = 30$(人)。