11. 符号意识 材料一：一个大于1的自然数，若被N除余1，被$(N-1)$除余1，被$(N-2)$除余1，…，被3除余1，被2除余1，那么称这个自然数为“明N礼数”。
材料二：设N，$(N-1)$，$(N-2)$，…，3，2的最小公倍数为k，那么“明N礼数”可以表示为$kn+1$(n为自然数)。
(1)下列各数是“明六礼数”的是(
A.120 B.121 C.122 D.123
(2)用只含n的式子表示“明十二礼数”为(
(3)最小的四位“明四礼数”是多少？
材料二：设N，$(N-1)$，$(N-2)$，…，3，2的最小公倍数为k，那么“明N礼数”可以表示为$kn+1$(n为自然数)。
(1)下列各数是“明六礼数”的是(
B
)。A.120 B.121 C.122 D.123
(2)用只含n的式子表示“明十二礼数”为(
$27720n + 1$（$n$为自然数）
)。(3)最小的四位“明四礼数”是多少？
答案：11. (1)B
提示:根据材料，“明六礼数”需满足被6、5、4、3、2除都余1。因为2、3、4、5、6的最小公倍数为60，所以“明六礼数”可表示为$60n + 1$（$n$为自然数）。选项中只有121满足，答案选B。
(2)$27720n + 1$（$n$为自然数）
提示:求2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12的最小公倍数。分解质因数:$4 = 2×2$，$6 = 2×3$，$8 = 2×2×2$，$9 = 3×3$，$10 = 2×5$，$12 = 2×2×3$。最小公倍数为$2×2×2×3×3×5×7×11 = 27720$，所以“明十二礼数”可以表示为$27720n + 1$（$n$为自然数）。
(3)2、3和4的最小公倍数是12，故“明四礼数”可以表示为$12n + 1$（$n$为自然数），最小的四位数为1000，则$12n + 1 = 1000$，解得$n = 83.25$，因为$n$为自然数，所以$n$最小可以取84，最小的四位“明四礼数”是$12×84 + 1 = 1009$。
提示:根据“明四礼数”的表示方法可求出。
提示:根据材料，“明六礼数”需满足被6、5、4、3、2除都余1。因为2、3、4、5、6的最小公倍数为60，所以“明六礼数”可表示为$60n + 1$（$n$为自然数）。选项中只有121满足，答案选B。
(2)$27720n + 1$（$n$为自然数）
提示:求2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12的最小公倍数。分解质因数:$4 = 2×2$，$6 = 2×3$，$8 = 2×2×2$，$9 = 3×3$，$10 = 2×5$，$12 = 2×2×3$。最小公倍数为$2×2×2×3×3×5×7×11 = 27720$，所以“明十二礼数”可以表示为$27720n + 1$（$n$为自然数）。
(3)2、3和4的最小公倍数是12，故“明四礼数”可以表示为$12n + 1$（$n$为自然数），最小的四位数为1000，则$12n + 1 = 1000$，解得$n = 83.25$，因为$n$为自然数，所以$n$最小可以取84，最小的四位“明四礼数”是$12×84 + 1 = 1009$。
提示:根据“明四礼数”的表示方法可求出。
12. 推理意识 黑板上写着乘积$a_1·a_2·…·a_{2015}$，其中$a_1$，$a_2$，…，$a_{2015}$都是大于0的整数，如果将其中的一个乘号改为加号(保持其余乘号)，我们发现在所得的2014个和数中有301个是偶数，则在$a_1$，$a_2$，…，$a_{2015}$中至多有(
302
)个偶数。答案：12. 302
提示:将第一个乘号改为加号，得到$a_{1} + a_{2}··· a_{2015}$，将第二个乘号改为加号，得到$a_{1}· a_{2} + a_{3}··· a_{2015}$，依次可以得到2014个算式和，由题意，其中301个为偶数。若$a_{1},a_{2},···,a_{2015}$都是奇数，则所得的2014个和数都是偶数；若$a_{1},a_{2},···,a_{2015}$中只有一个是偶数，则所得的2014个和数都是奇数，因此$a_{1},a_{2},···,a_{2015}$中至少有2个偶数。设$a_{1},a_{2},···,a_{2015}$中，从前往后，第一个偶数为$a_{m}$，最后一个偶数为$a_{n}$，$a_{m}∼ a_{n}$中任何一个乘号改为加号，得到的和数为偶数；$a_{1}∼ a_{m}$中任何一个乘号改为加号，得到的和数为奇数；$a_{n}∼ a_{2015}$中任何一个乘号改为加号，得到的和数为奇数。因为所得的2014个和数中有301个是偶数，所以$a_{m}∼ a_{n}$中有301个乘号，$a_{m}∼ a_{n}$共有$301 + 1 = 302$(个)数，在$a_{1},a_{2},···,a_{2015}$中至多有302个偶数。
提示:将第一个乘号改为加号，得到$a_{1} + a_{2}··· a_{2015}$，将第二个乘号改为加号，得到$a_{1}· a_{2} + a_{3}··· a_{2015}$，依次可以得到2014个算式和，由题意，其中301个为偶数。若$a_{1},a_{2},···,a_{2015}$都是奇数，则所得的2014个和数都是偶数；若$a_{1},a_{2},···,a_{2015}$中只有一个是偶数，则所得的2014个和数都是奇数，因此$a_{1},a_{2},···,a_{2015}$中至少有2个偶数。设$a_{1},a_{2},···,a_{2015}$中，从前往后，第一个偶数为$a_{m}$，最后一个偶数为$a_{n}$，$a_{m}∼ a_{n}$中任何一个乘号改为加号，得到的和数为偶数；$a_{1}∼ a_{m}$中任何一个乘号改为加号，得到的和数为奇数；$a_{n}∼ a_{2015}$中任何一个乘号改为加号，得到的和数为奇数。因为所得的2014个和数中有301个是偶数，所以$a_{m}∼ a_{n}$中有301个乘号，$a_{m}∼ a_{n}$共有$301 + 1 = 302$(个)数，在$a_{1},a_{2},···,a_{2015}$中至多有302个偶数。
13. 几何直观 先做一个边长为2厘米的等边三角形，再以三个顶点为圆心，2厘米为半径作弧，形成曲边三角形(如图①)，再准备两个这样的图形，把一个固定住(如图②中的阴影部分)，另一个围绕着它滚动，从顶点相接的状态下开始滚动，请问此图形滚动一周时经过的面积是多少平方厘米？(π取3.14)
答案：
13. $3×(π×2²×60÷360) + 3×(π×4²×60÷360 - π×2²×60÷360) = 8π = 25.12$(平方厘米)
提示:在数学中，本题所作出的这个曲边三角形叫“莱洛三角形”。如图①，为了求出“莱洛三角形”滚动一周时经过的面积，我们可以分2步来思考:
第1步:如图②所示，当“莱洛三角形”从顶点$A$的上方滚动到顶点$A$的左边时，它滚动的这部分面积是以点$A$为圆心、2厘米为半径、圆心角为$60^{\circ}$的扇形，在顶点$A$、$B$、$C$处各有这样的一个扇形；第2步:如图③所示，当“莱洛三角形”在边$AB$上滚动时，它滚动的这部分面积是以点$C$为圆心、4厘米为半径、圆心角为$60^{\circ}$的扇形面积减去半径为2厘米、圆心角为$60^{\circ}$的扇形面积。综上所述，去掉图④中间的“莱洛三角形”后所形成的组合图形的面积就是我们要求的面积。
13. $3×(π×2²×60÷360) + 3×(π×4²×60÷360 - π×2²×60÷360) = 8π = 25.12$(平方厘米)
提示:在数学中，本题所作出的这个曲边三角形叫“莱洛三角形”。如图①，为了求出“莱洛三角形”滚动一周时经过的面积，我们可以分2步来思考:
第1步:如图②所示，当“莱洛三角形”从顶点$A$的上方滚动到顶点$A$的左边时，它滚动的这部分面积是以点$A$为圆心、2厘米为半径、圆心角为$60^{\circ}$的扇形，在顶点$A$、$B$、$C$处各有这样的一个扇形；第2步:如图③所示，当“莱洛三角形”在边$AB$上滚动时，它滚动的这部分面积是以点$C$为圆心、4厘米为半径、圆心角为$60^{\circ}$的扇形面积减去半径为2厘米、圆心角为$60^{\circ}$的扇形面积。综上所述，去掉图④中间的“莱洛三角形”后所形成的组合图形的面积就是我们要求的面积。
14. 模型意识 如图，两个圆只有一个公共点C，大圆直径AC为36厘米，小圆直径BC为27厘米。甲、乙两只蚂蚁同时从C点出发，甲蚂蚁以每秒$0.6π$厘米的速度沿着大圆圆周顺时针爬行，乙蚂蚁以同样的速度沿着小圆圆周顺时针爬行。
(1)(
① BC上方 ② BC下方 ③ B点
(2)当乙蚂蚁第一次回到C点时，甲蚂蚁是否已经经过A点？距A点的圆上距离是多少厘米？(计算结果保留π)
(3)$t_1$秒后，甲、乙两只蚂蚁第n次相距最远，用含n的式子表示$t_1$。
(1)(
60
)秒后，甲蚂蚁第一次回到C点，此时乙蚂蚁在(②
)(填序号)。① BC上方 ② BC下方 ③ B点
(2)当乙蚂蚁第一次回到C点时，甲蚂蚁是否已经经过A点？距A点的圆上距离是多少厘米？(计算结果保留π)
(3)$t_1$秒后，甲、乙两只蚂蚁第n次相距最远，用含n的式子表示$t_1$。
答案：14. (1)60，②
提示:根据圆的周长公式$C = π d$，求出大圆的周长，再根据时间 = 路程÷速度，用大圆的周长除以甲蚂蚁的速度，即$36π÷(0.6π) = 60$(秒)。60秒时，乙蚂蚁爬的路程也是$36π$厘米，小圆的周长是$27π$，$36π÷(27π) = \dfrac{4}{3}$(圈)，即乙蚂蚁在$BC$下方。
(2)$36π÷2 = 18π$(厘米)，$27π＞18π$，$27π - 18π = 9π$(厘米)
甲蚂蚁已经经过$A$点，距$A$点的圆上距离是$9π$厘米。
提示:从$C$点到$A$点，是大圆周长的一半，大圆周长的一半是$36π÷2 = 18π$(厘米)，小圆的周长是$27π$厘米。因为$27π＞18π$，所以甲蚂蚁已经经过$A$点，距$A$点的圆上距离为已爬行的距离减去大圆周长的一半，即$27π - 18π = 9π$(厘米)。
(3)当甲蚂蚁爬到$A$点，乙蚂蚁爬到$C$点时，两只蚂蚁相距最远。$36π÷2 = 18π$(厘米)
18和27的最小公倍数是54，且54正好是18的奇数倍，从出发到第一次相距最远所用时间为$54π÷(0.6π) = 90$(秒)，第一次相距最远到第二次相距最远所用时间为$54π×2÷(0.6π) = 180$(秒)，$t_{1} = 90 + 180×(n - 1) = (180n - 90)$秒。
提示:当两只蚂蚁分别在直径的两端，即甲蚂蚁爬到$A$点，乙蚂蚁爬到$C$点时，两只蚂蚁相距最远。甲蚂蚁爬奇数个$36π÷2 = 18π$(厘米)时，在$A$点，乙蚂蚁从$C$点出发，则每爬完$27π$厘米都在$C$点。由于18和27的最小公倍数是54，$54÷18 = 3$，正好是18的奇数倍，所以从出发到第一次相距最远所需的时间为$54π÷(0.6π) = 90$(秒)，进而可知第一次相距最远到第二次相距最远所用时间为$54π×2÷(0.6π) = 180$(秒)，甲、乙两只蚂蚁第$n$次相距最远时，$t_{1} = 90 + 180×(n - 1) = (180n - 90)$秒。
提示:根据圆的周长公式$C = π d$，求出大圆的周长，再根据时间 = 路程÷速度，用大圆的周长除以甲蚂蚁的速度，即$36π÷(0.6π) = 60$(秒)。60秒时，乙蚂蚁爬的路程也是$36π$厘米，小圆的周长是$27π$，$36π÷(27π) = \dfrac{4}{3}$(圈)，即乙蚂蚁在$BC$下方。
(2)$36π÷2 = 18π$(厘米)，$27π＞18π$，$27π - 18π = 9π$(厘米)
甲蚂蚁已经经过$A$点，距$A$点的圆上距离是$9π$厘米。
提示:从$C$点到$A$点，是大圆周长的一半，大圆周长的一半是$36π÷2 = 18π$(厘米)，小圆的周长是$27π$厘米。因为$27π＞18π$，所以甲蚂蚁已经经过$A$点，距$A$点的圆上距离为已爬行的距离减去大圆周长的一半，即$27π - 18π = 9π$(厘米)。
(3)当甲蚂蚁爬到$A$点，乙蚂蚁爬到$C$点时，两只蚂蚁相距最远。$36π÷2 = 18π$(厘米)
18和27的最小公倍数是54，且54正好是18的奇数倍，从出发到第一次相距最远所用时间为$54π÷(0.6π) = 90$(秒)，第一次相距最远到第二次相距最远所用时间为$54π×2÷(0.6π) = 180$(秒)，$t_{1} = 90 + 180×(n - 1) = (180n - 90)$秒。
提示:当两只蚂蚁分别在直径的两端，即甲蚂蚁爬到$A$点，乙蚂蚁爬到$C$点时，两只蚂蚁相距最远。甲蚂蚁爬奇数个$36π÷2 = 18π$(厘米)时，在$A$点，乙蚂蚁从$C$点出发，则每爬完$27π$厘米都在$C$点。由于18和27的最小公倍数是54，$54÷18 = 3$，正好是18的奇数倍，所以从出发到第一次相距最远所需的时间为$54π÷(0.6π) = 90$(秒)，进而可知第一次相距最远到第二次相距最远所用时间为$54π×2÷(0.6π) = 180$(秒)，甲、乙两只蚂蚁第$n$次相距最远时，$t_{1} = 90 + 180×(n - 1) = (180n - 90)$秒。