1. 找出每组数的最大公因数。
8和24 (
8和24 (
8
) 2和7 (1
) 30和45 (15
) 30和48 (6
)答案：1. 8 1 15 6
2. 下面说法错误的是(
① 两个连续自然数(0除外)的最大公因数是1。
② 如果两个数都是质数，那么这两个数一定没有公因数。
③ 两个数的最大公因数一定比这两个数都小。
②③
)。(填序号)① 两个连续自然数(0除外)的最大公因数是1。
② 如果两个数都是质数，那么这两个数一定没有公因数。
③ 两个数的最大公因数一定比这两个数都小。
答案：2. ②③
(1)2和3是12的(
A.因数
B.倍数
C.公因数
D.最大公因数
A
)，3是6和12的(C
)，6是6和12的(D
)。A.因数
B.倍数
C.公因数
D.最大公因数
答案：3. (1)A C D
(2)$a = 3b$($a$、$b$都是不为0的自然数)，$a$、$b$两数的最大公因数是(
A.3
B.$a$
C.$b$
D.1
C
)。A.3
B.$a$
C.$b$
D.1
答案：3. (2)C
(3)36和某一个数的最大公因数为12，这个数不可能是(
A.24
B.48
C.60
D.72
D
)。A.24
B.48
C.60
D.72
答案：3. (3)D
解析：
分别计算各选项与36的最大公因数：
36和24的最大公因数：$36=2^2×3^2$，$24=2^3×3$，最大公因数为$2^2×3=12$；
36和48的最大公因数：$48=2^4×3$，最大公因数为$2^2×3=12$；
36和60的最大公因数：$60=2^2×3×5$，最大公因数为$2^2×3=12$；
36和72的最大公因数：$72=2^3×3^2$，最大公因数为$2^2×3^2=36$。
D
36和24的最大公因数：$36=2^2×3^2$，$24=2^3×3$，最大公因数为$2^2×3=12$；
36和48的最大公因数：$48=2^4×3$，最大公因数为$2^2×3=12$；
36和60的最大公因数：$60=2^2×3×5$，最大公因数为$2^2×3=12$；
36和72的最大公因数：$72=2^3×3^2$，最大公因数为$2^2×3^2=36$。
D
(4)$A = 2×3×k$，$B = 2×5×k$，$A$和$B$的最大公因数是14，$k$是(
A.7
B.14
C.28
D.70
A
)。A.7
B.14
C.28
D.70
答案：3. (4)A
解析：
A和B的最大公因数是它们公有质因数的乘积，即$2×k$。已知最大公因数是14，所以$2×k = 14$，解得$k = 7$。
A
A
4. 按要求写两个数，使它们的最大公因数是1。
(1)两个数都是奇数：(
(2)两个数都是质数：(
(3)合数、质数各一个：(
(4)奇数、偶数各一个：(
(1)两个数都是奇数：(
5
)和(9
)。(2)两个数都是质数：(
3
)和(5
)。(3)合数、质数各一个：(
4
)和(3
)。(4)奇数、偶数各一个：(
3
)和(4
)。答案：4. 答案不唯一，如：(1)5 9 (2)3 5 (3)4 3 (4)3 4
解析：
(1)5 9
(2)3 5
(3)4 3
(4)3 4
(2)3 5
(3)4 3
(4)3 4
5. (1)如果两个数的最大公因数是8，那么这两个数的公因数还有(
1、2、4
)。答案：5. (1)1、2、4
(2)“五月五，过端午，粽香艾香飘满堂”。乐乐家包了30个豆沙粽和48个肉粽，把它们放在包装盒里，且每个包装盒里豆沙粽和肉粽的数量分别相等，如果豆沙粽正好装完，肉粽还剩3个，那么他家最多准备了(
15
)个包装盒。答案：5. (2)15
解析：
肉粽用去的数量：$48 - 3 = 45$（个）
求30和45的最大公因数：
$30 = 2×3×5$
$45 = 3×3×5$
最大公因数是$3×5 = 15$
最多准备了15个包装盒。
求30和45的最大公因数：
$30 = 2×3×5$
$45 = 3×3×5$
最大公因数是$3×5 = 15$
最多准备了15个包装盒。
(3)有两个不同的自然数，它们的和是120，最大公因数是15，满足条件的自然数有(
2
)组，分别是(15 和 105，45 和 75
)。答案：5. (3)2 15 和 105，45 和 75
6. 两根钢管分别长56分米、72分米，把它们锯成同样长的小段，每段要尽可能长，且没有剩余。每段钢管长多少分米？一共要锯几次？
答案：6. 56 和 72 的最大公因数是 8，故每段钢管长 8 分米，56÷8 - 1 = 6(次)，72÷8 - 1 = 8(次)，8 + 6 = 14(次)。
解析：
56和72的最大公因数是8，每段钢管长8分米。
56÷8 - 1 = 6（次）
72÷8 - 1 = 8（次）
6 + 8 = 14（次）
答：每段钢管长8分米，一共要锯14次。
56÷8 - 1 = 6（次）
72÷8 - 1 = 8（次）
6 + 8 = 14（次）
答：每段钢管长8分米，一共要锯14次。
7. 为庆祝抗日战争胜利80周年，社区在一个三条边分别为72米、60米和36米的三角形花圃上摆放盆花，要求每个角上都有一盆，且相邻两盆盆花间的距离都相等，那么至少要摆放多少盆盆花？
答案：7. 72、60 和 36 的最大公因数是 12，因此三条边分别被分为 72÷12 = 6(段)，60÷12 = 5(段)，36÷12 = 3(段)，所以盆花盆数为 6 + 5 + 3 = 14(盆)。
8. 转化思想 如果100、185、236被一个大于1的自然数除，得到的余数都相同，那么用2026除以这个自然数，得到的余数是多少？
答案：8. 3 提示：三个数中任意两个数的差都是这个自然数的倍数，因为 185 - 100 = 85，236 - 100 = 136，236 - 185 = 51，85、136、51 的最大公因数是 17，所以 2026÷17 = 119……3。
解析：
185-100=85，236-100=136，236-185=51。85、136、51的最大公因数是17。2026÷17=119……3，余数是3。